9. Задача с равенствами. Метод исключения.

(1).Будем предполагать, что ф-ции и имеют нужную гладкость.

В некоторых случаях из системы ограничений задачи (1), (2)

удается выразить (исключить) некоторые переменных через остальные . Не ограничивая общности, будем считать, что первые переменных выражены через последние (переменные можно просто перенумеровать), то есть система (2) эквивалентна системе

, (3) где – некоторые функции, .

Система (3) наз. уравнениями связи. Исключая с помощью (3), первые переменные из функции , приходим к задаче , (4)

где .

Задачи (1) и (4) эквивалентны в том смысле, что если – оптимальный план задачи (1), то его последние компоненты – оптимальный план задачи (4), обратно, если – оптимальный план задачи (4), то вектор – оптимальный план задачи (1).

Задача (4) – задача на безусловный минимум. Метод исключения, описанный выше, значительно упрощает задачу. Его применяют и в тех случаях, когда лишь из части уравнений системы (2) можно выделить некоторые переменные через остальные. Тогда, исключая эти переменные из целевой функции и остальных ограничений (в которых не удается выразить переменные), мы снова приходим к задаче (1), эквивалентной исходной, но с меньшим числом переменных и с меньшим числом ограничений равенств (на количество исключенных переменных).

10. Задача с равенствами. Обобщенное правило Лагранжа

(1).Будем предполагать, что ф-ции и имеют нужную гладкость. По параметрам задачи (1) составим обобщенную ф-цию Лагранжа:

- множитель Лагранжа функции. Для получения условия оптимальности будем использовать теорему о неявных функциях ( ).

Теорема 1 (Обобщённое правило множителей Лагранжа). Если – локально-оптимал. план зад.(1), то найдётся такой обобщённый вектор Лагранжа , что (5)

Доказательство. Распишем условие (5), получаем:

(5*). Тогда требование теор. означает на самом деле, что если – локально-оптимал. план, то вектора (6) явл. лин. зависимыми.

Предположим противное. Требование теор. не выполн., несмотря на то, что – локально-оптимал. план, т.е. вектора(6) лин. независ-е. Рассм. тогда вектор-ф-цию переменных и в окрестности точки , . Ясно, что если подставить эту точку в вектор-ф-цию, то она примет нулевое значение. В силу линейной независимости векторов (6) в окрестности этой точки выполняются все условия о неявных функциях. Согласно теореме найдутся такие числа и функция , что будут выполняться условия:

1. 2. 3. .

Тогда условие означает, что является планами задачи. Поскольку , то при достаточно малых эти планы лежат в сколь угодно малой окрестности плана . Тогда из тождества или при малых отрицательных получаем .

Это неравенство означает, что в сколь угодно малой окрестности плана найдутся планы лучшие, чем . Это противоречит локальной оптимизации .

Ч.т.д.

11. Задача с равенствами. Классическое правило Лагранжа.

(1).Будем предполагать, что ф-ции и имеют нужную гладкость.

По параметрам задачи (1) составим классическую ф-цию Лагранжа:

- множитель Лагранжа функции. Для получения условия оптимальности будем использовать теорему о неявных функциях ( ).

Пусть дана задача: (1)

Опр. Некоторый план зад.(1) (здесь необязательно оптимал.) будем называть обыкновенным, если вектора (7) лин. независимы .

Теор.2 (Классич. правило множителей Лагранжа). Если – обыкновенный локально-оптимал. план зад.(1), то всегда найдётся такой единств. классический вектор Лагранжа , что выполняется условие: (8)

Док-тво. Пусть –обыкновенный локально-оптимал. план. Док-м, что в силу обыкновенности в (5*) множитель . Предположим противное, т.е. . Тогда из условия(5*) получаем , (9) в котором не все множители нулевые. Тогда(9) означает лин. зависимость векторов и противоречит обыкновенности . Итак, . Разделим тогда выражение (5*) на и переобозначим: , тогда придём к условию (8).

Докажем единственность . Предположим противное. Найдётся ещё один вектор Лагранжа такой, что . Вычитая из этого равенства равенство (8), придём к , причём не все коэффициенты . Это означает линейную зависимость векторов (7) и снова противоречит обыкновенности .

Ч.т.д.