3. Теорема Куна-Таккера.
Рассмотрим задачу
(1), в
которой
– вектор-функция,
ф-ции
– выпуклые ф-ции;
–
выпуклое мн-ство простой структуры,
т.е. подмн-тво, кот. задается с помощью
простейших ограничений на одну переменную
(
).
Задача наз. основной задачей выпуклого
программирования.
Опр. Мн-тво
планов основной задачи выпуклого
программирования регулярно,
если существует вектор
(2)
Усл.(2) наз. условием
Слейтера.
Геометрич.(2) означает,что у зад.(1)
существует такой план
,
кот. явл. внутренней точкой по основным
ограничениям.
Теорема 2.
(Куна-Таккера)
Для того, чтобы
был оптимальный план основной задачи
выпуклого программирования, для которой
выполняется условие регулярности (2),
необходимо и достаточно, чтобы существовал
такой вектор
такой, что пара
является седловой точкой функции
Лагранжа и при этом выполн. условие
дополняющей не жесткости:
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
–
оптимал. план (1) и выполняется
. Тогда по нему и параметрам зад.(1)
построим три подмножества:
.
Ясно, что мн-тво
явл. границей мн-тва
,
т.е.
1. Доказываем, что
множества
и
выпуклые.
2. Докажем, что множества и не пересекаются.
3. Докажем, что
вектор
.
4. Докажем, что в
,
а так как
,
то
.
5. Докажем, что на выполняется условие .
Таким образом, пара удовлетворяет (3) и, следовательно, является седловой точкой функции Лагранжа.
Ч.т.д.
4. Критерий оптимальности для гладкой выпуклой задачи.
Рассм. зад.
(1),
– выпуклая ф-ция,
– выпуклое мн-во,
.
Ф-цию
переменных, около некоторой т.
(в малой окрестности) можно разложить
в ряд
(2)
Разложение (2)
справедливо лишь для
в малой окрестности точки
,
и в этой же окрестности справедливо
утверждение: знак выражения слева
необходимо и достаточно совпадает со
знаком первого ненулевого слагаемого
справа. Это утверждение легко доказывается
методом от противного.
Теор.3. Для
того чтобы
был оптимальным планом задачи (1)
необходимо и достаточно, чтобы
(3).
А в случае, когда
,
то (3) эквивалентно условию стационарности
.
(4)
Док-во. Необходь.
Пусть
– оптимал. план зад.(1). Возьмем произвол.
точку
и построим точку
.
Если
достаточно мало, то т.
лежит в сколь угодно малой окр-ности
.
Запишем разложение:
.
Т.к. левая часть равенства
,
то неотрицательно и первое слагаемое
справа. А так как
,
то приходим к (3).
Пусть теперь к
тому же
– внутренняя точка. Построим вектора
.
При достаточно малом
.
Подставляя его в (3):
.
Т.к.
,
то
.
Из этого нерав-тва следует (4).
Если предположить
и положить
,
то придем к противореч.
Достаточность.
Пусть выполняется (3). Докажем, что
– оптимальный план задачи (1). Так как
функция
– гладкая и выпуклая, то для нее
выполняется гладкий критерий выпуклости:
оптимальный
план.
Ч.т.д.
Из этой теоремы и
теоремы Куна-Таккера следует схема
исследования гладкой основной задачи
выпуклого программирования (
,
).