Принцип виртуальных перемещений.
Для равновесия механической системы с идеальными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, была равна нулю
Дано, что механическая
система находится в равновесии и
требуется доказать, что
.
Так как система находится в равновесии,
то равнодействующая активных сил
и равнодействующая сил реакций связей
,
приложенных в
-й
точке системы, удовлетворяют условию
равновесия статики:
,
Пусть
,
докажем, что механическая система
находится в равновесии. Предположим,
что при заданных условиях система не
находится в равновесии, т. е. при действии
на систему активных сил хотя бы одна
точка получила действительное перемещение
и
.
Так как для стационарных
связей действительное перемещение
совпадает с одним из возможных (
),
то
или 
по крайней мере для одной точки системы,
вышедшей из равновесия. Суммируя по
всем точкам системы, получаем
.
Так как связи идеальные,
то
,
что противоречит условию.
Следовательно, система находится в равновесии.
Принцип виртуальных
перемещений может быть записан в иной
форме, если поделить уравнение, выражающее
этот принцип на временной интервал
,
в течение которого совершается это
перемещение.
Общее уравнение динамики.
Рассмотрим
систему, состоящую из N
материальных точек, с идеальными и
голономными связями, положение которой
однозначно определяется s
обобщенными координатами
.
Запишем для каждой точки системы основное
уравнение динамики
или
.
Зафиксируем время и дадим системе
виртуальное перемещение, при котором
радиус-векторы точек получат приращения
.
Умножим скалярно каждое уравнение на
и сложим полученные произведения
Так как связи идеальные, последняя сумма равна нулю и из уравнения получим
Учитывая, что
– это сила инерции j-й
материальной точки,
– работы активной силы и силы инерции,
перепишем равенство в виде:
.
Это уравнение называют общим уравнением динамики. Оно утверждает, что при движении системы с идеальными связями в любой момент времени сумма работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении системы равна нулю.
Обобщенные координаты и скорости. Число степеней свободы.
Виртуальным перемещением механической системы называют любую совокупность виртуальных перемещений ее точек, допускаемую всеми наложенными на систему связями. Система имеет множество различных виртуальных перемещений, из которых можно выбрать независимые между собой перемещения, а через них выразить любое виртуальное перемещение. Число независимых между собой виртуальных перемещений механической системы называют ее числом степеней свободы.
Рассмотрим систему из N материальных точек, подчиненную d голономным связям. Положение системы определяется 3N декартовыми координатами ее точек, из которых независимыми будут s = 3N – d. Для голономной системы число независимых координат совпадает с числом степеней свободы.
В качестве независимых координат не обязательно выбирать декартовы координаты точек системы. Ее положение можно однозначно определить с помощью любых независимых между собой параметров. Их называют обобщенными координатами.
На рис. 9.5 показан кривошипно-шатунный механизм, расположенный в плоскости xOy. Положение механизма определяется его точками O, A, B.
Обозначим через r и l длины кривошипа ОA и шатуна AB и запишем уравнения связей, наложенных на систему:
;
.
Итак, количество связей d = 8, количество точек системы N = 3 и число стержней свободы s = 3N – d = 1. Выберем в качестве обобщенной координаты угол φ между кривошипом и положительным направлением оси x и определим изменяющиеся координаты точек системы:
.
Таким образом, обобщенная координата φ однозначно определяет положение системы.