- •5 Числовая последовательность
- •2) Предел произведения двух переменных величин равен произведению пределов этих величин:
- •3) Формулировка
- •[Править]Доказательство
- •30 Тейлора формула
- •Доказательство
- •40 Свойства двойного интеграла
- •41 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
- •42 Интегральная сумма
- •48 Криволинейный интеграл второго рода
- •Градиент
- •52 Формула Грина
Доказательство
Если f(x; y) непрерывна на D, то существуют наименьшее m и наибольшее М значения функции f(x; y), т.е. по свойству 6 имеем:
то есть число I/S находится между m и М.
Но непрерывная функция f(x; y) принимает все промежуточные от m до М значения существует точка M* D:
40 Свойства двойного интеграла
Линейность. ∫∫ (α ⋅ f ( x, y ) + β ⋅ g ( x, y)) dxdy = α ⋅ ∫∫ f ( x, y)dxdy + β ⋅ ∫∫ g ( x, y)dxdy ;
D D D
(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).
1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем
2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β · g(x, y)] также интегрируема в области D, причем
3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.
4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то
Применение: Обычный определенный интеграл от функции одной переменной хорошо знаком студентам первого курса и имеет многочисленные приложения в различных отраслях знаний. Однако, существует иного задач в геометрии, физике, экономике, для которых недостаточно обычного определенного интеграла – интеграла по одномерному координатному отрезку. Таковы, например, задачи о вычислении площади поверхности (не являющейся поверхностью вращения), объема тела в общем случае, массы пластинки или тела переменной плотности. Для решения этих задач нужно уметь интегрировать по плоской или даже пространственной области. Такие интегралы называются двойными и тройными соответственно.
41 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
(а) Пусть область D задается неравенствами (см. Рис. 3):
a ≤ x ≤ b,
yнижн ( x) ≤ y ≤ yверхн ( x) , (1)
где функции
yнижн ( x) и
yв ер х н ( x)
непрерывны на отрезке [a; b] , и функция
f ( x, y)
непрерывна в области D. Тогда двойной интеграл от функции
f ( x, y)
по области D
42 Интегральная сумма
Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .
Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков , называется шагом разбиения, где — длина отрезка.
Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .
Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , т.е. .
Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция .
Разобьём область V произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать объём области ; символом обозначим наибольший из диаметров областей : .
В каждой из подобластей выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .
Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается .
Если расписать значение через координаты точки , и представить как , получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .
Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.
43 Свойства тройного интеграла по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.
Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и .
Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .
Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .
45 - 47 Криволинейный интеграл первого рода
Свойства
1. Линейность:
2. Аддитивность: если в одной точке, то
3. Монотонность: если на , то
4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль функции :
Очевидно, что: .
5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .
6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Вычисление
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда
.
Здесь точкой обозначена производная по : .