Скачиваний:
21
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
18.34 Кб
Скачать

  5.1. Выражение (sqrt(x) > x**2)) и P и (ln(x)/ln(1/3) > ln(0.7)/ln(1/3)) истинно при значениях переменных

  1) x = 0.3, P = да   2) x = 0.8 , P = нет

  3) x = 0.8, P = да   4) x = 0.6, P = нет

  5) x = 0.3, P = нет

  Решение: В силу ассоциативности конъюнкции, выражение принимает значение да тогда и только тогда, когда (sqrt(x) > x**2))= да , P= да, (ln(x)/ln(1/3) > ln(0.7)/ln(1/3)) = да . Следовательно, отпадают 2,4,5 ответы. Истинность выражения sqrt(x) > x**2 равносильна условию 0A)).

  5.4. Высказывание "для выполнения условия В достаточно выполнение условия А" соответствует справедливости логического выражения   1) А v В   2) А-> В   3) А^В    4) В->А    5) АВ

  Решение: Высказывание из условия означает, что при справедливости условия А условие В непременно выполняется (обратное неверно: может оказаться, что при справедливости условия В условие А не выполняется). Пример: условие В соответствует четности натурального числа, условие А - кратности числа 4. Таким образом, верный ответ №2.

  5.5. Логическая функция принимает значение да при значениях переменных

  1) A=да, B=С=нет    2) A=B=да, С= нет    3) A=С=да, В=нет   4) В=С=да, А=нет    5) В=да, А=С=нет.

  Решение: Поскольку для истинности конъюнкции необходимо, чтобы истинными были все сомножители, то высказывание С должно принимать значение да. Это отметает 1, 2, 5 ответы. Далее, при А=да дизъюнкция в скобках принимает значение да , ее отрицание принимает значение нет, а тогда то же значение принимает и данная функция. Тем самым 3 ответ неверен. Верный ответ №4.

Иной подход основан на применении эквивалентностей. Здесь применены формулы 7, 8, 2. Ассоциативность использована для того, чтобы последнее выражение записать без скобок, поскольку результат не зависит от порядка расстановки скобки. Последняя формула по определению конъюнкции принимает значение да только если логические переменные принимают значения да.

  5.6. Схеме

соответствует логическая функция 1) 2) 3)

4) 5)

  Решение: Прослеживая блок за блоком, получаем: на выходе из первого блока реализована функция , на выходе из второго - функция и т.д. Верный ответ №4.

Примеры заданий на рассуждения.

  5.7. Каждый из жителей города является либо рыцарем (всегда говорит правду), либо лжецом (всегда лжет). Жителя А спросили: "Кто вы, рыцарь или лжец?" После его ответа у жителя В спросили: "Что ответил А?". В ответил: "А сказал, что он лжец". Из этой беседы следует истинность утверждения

  1) А и В - рыцари

  2) вывода об А сделать нельзя, В - лжец

  3) А - лжец, В - рыцарь

  4) вывода о В сделать нельзя, А - рыцарь

  5) вывода о В сделать нельзя, А - лжец

  Решение: Составим таблицу возможных вариантов и соответствующих ответов. Здесь важно то, что В отвечает не на вопрос: "Кто А?", а на вопрос: "Что ответил А?". A B ответ А ответ В рыцарь рыцарь Я рыцарь А сказал, что он рыцарь рыцарь лжец Я рыцарь А сказал, что он лжец лжец рыцарь Я рыцарь А сказал, что он рыцарь лжец лжец Я рыцарь А сказал, что он лжец Отсюда видно, что данный в условии задачи ответ В означает, что В лжец, при этом, А может быть как рыцарем, так и лжецом. Верный ответ №2.

  5.8. Известно, что Единорог лжет по понедельникам, вторникам и средам и говорит правду во все остальные дни недели. Единорог может сказать: "Вчера я лгал. После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд"

  1) в понедельник    2) во вторник    3) в воскресенье

  4) в четверг    5) в среду

  Решение: Если сегодня один из дней, когда единорог говорит правду, то три дня, когда он лжет, разделяются одним днем. Очевидно, что такого дня нет. Значит, сегодня один из дней, когда единорог лжет. Фактически он произнес два утверждения, каждое из которых должно быть ложным. Но первое утверждение ложно только в один из "ложных" дней - в понедельник. Верный ответ №1.        5.9. За круглым столом сидят мужчины А, В, С и женщины D, E, F. Известно, что А и В сидят рядом, С сидит напротив А. Среди утверждений   I. все женщины сидят подряд

  J. напротив В сидит женщина

  K. D и E сидят рядом

при разных вариантах расположения истинными могут оказаться   1) только одно    2) I и J    3) I и K    4) J и K    5) Все три

  Решение: Изобразим данные из условия задачи на схеме. Очевидно, что утверждение I всегда ложно (свободные места для женщин не расположены рядом). Также просто определить, что утверждение J всегда истинно (все мужчины уже сидят, а напротив B - свободное место). Утверждение K может быть как истинным (когда F сидит между B и C), так и ложным (когда F занимает одно из мест между A и C). Верный ответ №4.

Часто в тесты включаются логические задачи, в которых требуется установить соответствие между элементами тех или иных множеств или сделать вывод из исходных данных. Такие задачи иногда удобно решать с помощью таблиц

  5.10. Пять подруг пошли в кафе, чтобы отпраздновать пятилетие окончания школы. Они сели за круглый стол, каждая заказала напиток, основное блюдо и десерт, причем ни у кого из сидящих рядом не было одинаковых блюд.

  Известно, что

  1. Катя и Иванова заказали апельсиновый сок, Таня и Петрова - вишневый, Смирнова - яблочный.   2. Катя и Николаева ели бифштекс, Марина и Смирнова - антрекот, одна из подруг заказала утку.   3. Аня и Смирнова ели мороженое, Марина и Козлова - пирожное, одна из подруг - фруктовый салат.

  Неверно, что

  1) Аня ела утку, Лена мороженое.

  2) Катя ела фруктовый салат, Таня бифштекс.

  3) Катя ела пирожное, Лена пила вишневый сок.

  4) Таня ела антрекот, Лена пирожное.

  5) Марина пила апельсиновый сок, Аня ела антрекот.

  Решение: Необходимо установить соответствие между именами (Катя, Таня, Аня, Марина, Лена), фамилиями (Иванова, Петрова, Николаева, Смирнова, Козлова), заказанными соками (два апельсиновых, два вишневых, яблочный), основными блюдами (два бифштекса, два антрекота, утка), десертами (два пирожных, два мороженых, фруктовый салат).

  1. Катя не Иванова и не Петрова (из 1), не Николаева и не Смирнова (из 2). Следовательно, Катя Козлова, она заказала апельсиновый сок, бифштекс и пирожное.

  2. Смирнова не Катя, не Таня (из 1), не Марина (из 2), не Аня (из 3), следовательно, Смирнова Лена, она заказала яблочный сок, антрекот и мороженое.

  3. Поскольку Катя Козлова не сидит рядом с Ивановой и Николаевой, то она сидит рядом с Леной Смирновой и Петровой. При этом, Катя не сидит рядом с Мариной (из 3). Поскольку Марина не Николаева (из 2), то Марина Иванова. Она заказала апельсиновый сок, антрекот и пирожное.

  4. Поскольку Таня не Петрова (из 1), то Таня Николаева, она заказала вишневый сок, бифштекс, фруктовый салат.

  5. Наконец, Аня Петрова, она заказала вишневый сок, утку, мороженое.

Таким образом, верный ответ №1.

Приведем примеры применения таблиц.

  5.11. На вечере присутствовали четыре супружеские пары. Мужей звали Саша, Боря, Вова, Гриша, жен - Аня, Бэлла, Валя, Галя. Во время одного из танцев все они танцевали друг с другом, ни один мужчина не танцевал со своей женой и при этом

  1. Бэлла танцевала с Сашей;

  2. Аня танцевала с мужем Гали;

  3. Валя танцевала с мужем Ани;

  4. Боря танцевал с женой Вовы;

  5. Вова танцевал с женой Саши.

Справедливо утверждение   1) Гриша муж Бэллы и танцевал с Галей.

  2) Гриша муж Гали и танцевал с Аней.

  3) Гриша муж Ани и танцевал с Валей.

  4) Вова муж Бэллы и танцевал с Аней.

  5) Гриша муж Вали и танцевал с Аней.

  Решение: Составим таблицу 4 4, столбцы которой соответствуют мужчинам, строки - женщинам. В клеточках сверху от дроби знак "+" соответствует браку, снизу от дроби совместному танцу. В остальных местах расположены знаки "-". Должны выполняться следующие свойства:

А) Во всякой строке и во всяком столбце как сверху, так и снизу от дроби должно быть по одному знаку "+".

Б) Ни в одной клеточке не может быть двух знаков "+".

  Саша Боря Вова Гриша Аня -3(3)/-2 -9/+10(4) +8(3)/-7 -9/-11 Бэлла -2/+1(1) -8/-2 -9/-2 +14/-2 Валя +4/-2 -5/-6 -5/+6(5) -5/-7 Галя -3(2)/-2 +11(2)/-12 -9/-7 -12/+13   Цифры в скобках соответствуют условиям задачи, на основании которых поставлен тот или иной знак. Индексы отражают последовательность заполнения таблицы. Разумеется, последовательность заполнения таблицы может быть и другой. Последовательно применяются описанные свойства и условия задачи. Верный ответ №1.

Иногда удобно решать задачи на соответствие, используя разные приемы. В качестве примера приведем задачу, приписываемую Альберту Эйнштейну. Считается, что с ней способны справиться лишь 2% людей. Разумеется, заданий такой трудности в тестах не бывает.

  5.12. Пять домов расположены в ряд и занумерованы слева направо. Все дома окрашены в разные цвета, в них живут люди разных национальностей, которые имеют разные хобби, предпочитают разные напитки и держат разных животных.

  a. Англичанин живет в красном доме.

  b. Швед держит собак.

  c. Датчанин пьет чай.

  d. Зеленый дом слева от белого.

  e. Хозяин зеленого дома любить пить кофе.

  f. Филателист содержит птиц.

  g. Хозяин желтого дома нумизмат.

  h. В центральном доме предпочитают молоко.

  i. Норвежец живет в первом доме.

  j. Меломан живет по соседству с хозяином кошек.

  k. Хозяин лошадей живет рядом с нумизматом.

  l. Любитель пива любит и кроссворды.

  m. Немец любит смотреть телевизор.

  n. Норвежец живет рядом с синим домом.

  o. Меломан живет по соседству с пьющим воду.

  Кто разводит рыбок?

  Решение: Занумеруем дома слева направо. Далее построим таблицу.   1 2 3 4 5 Цвет Желт7 Синий2(n) Крас6(1,a) Зел4(3,d) Бел5(4,d) Нац-ть Норв1(a) Датч19(18,c) Англ9(6,a) Нем17(16,m) Швед20 Напиток Вода12(3,10,c,l) Чай18 Мол3(h) Кофе10(4,e) Пиво14(13,l) Хобби Нумиз8(7,g) Мел13(12,o) Фил22 Тел16(9,m) Крос15(14,l) Животн Кош24(13,j) Лош11(8,k) Птиц23(22,f) Рыб25 Соб21(20,b)   Индексы поясняют последовательность заполнения таблицы. В скобках указаны номера шагов и условия, использованные при очередном выводе. Ответ: рыбок разводит немец, который живет в зеленом доме, любит пить кофе и смотреть телевизор.

  5.13. За одной из четырех дверей может быть спрятан клад. Надписи на дверях слева направо таковы: "Клад здесь", "Клада здесь нет", "Клада здесь нет", "Клад здесь". Известно, что если клад действительно есть и надпись на некоторой двери истинна, то на соседней (или соседних) ложна и наоборот. Тогда

  1) Клад за первой или второй дверью;

  2) Клад за первой или третьей дверью;

  3) Клад за четвертой дверью;

  4) Клад за первой дверью;

  5) Клада нет ни за одной дверью.

  Решение: Пусть клад есть. Клада не может быть ни за первой, ни за четвертой дверями, поскольку тогда на двух соседних дверях надписи истинные. Аналогично, клада не может быть ни за второй, ни за третьей дверями, по-скольку тогда на двух соседних дверях надписи ложные. Тем самым, верный ответ №5.

  5.14. Из истинности высказываний "неверно, что если магазин А открыт, то магазин С тоже" и "из двух магазинов В и С открыт один" следует, что открыты только магазины

  1) А,В,С    2) В,С    3)    С,А    4) А,В    5) А

  Решение: Приведем два решения: формальное и неформальное. Формальное решение. Обозначим через А, В, С высказывания, истинные, если соответствующий магазин открыт. Первое высказывание означает истинность высказывания , второго - (первая часть истинна, если хотя бы один магазин закрыт, вторая - если хотя бы один магазин открыт. Условие задачи состоит в том, что логическое выражение истинно. Преобразуем это выражение, используя эквивалентности 1-11. Получим: = = = . В соответствии с дистрибутивными законами, получим: = = . Истинность последнего выражения означает, что открыты магазины А и В. Правильный ответ №4.

Неформальное решение. Из второго условия следует, что ответы 1 и 2 неверные (В и С не могут быть открыты одновременно), ответ 5 (В и С не могут быть закрыты одновременно). Ответ 3 неверен в силу первого условия. Таким образом, правильным может быть только ответ №4. Неформальное решение в данном случае проще, но при этом легче что-либо просмотреть.

[Предыдущая тема] [Теоретическая часть] [Тестирование] [Следующая тема]

Соседние файлы в папке index_files