8.1. Докажите, что последовательность, заданная в примере a1=1, an+1=an+1/an при n≥1, не имеет предела.
Решение: Допустим, что предел существует и равен q. Переходя к пределу в данном равенстве, получаем: q=q+1/q. Отсюда видно, что такого значения q не существует.
8.2. Докажите, что члены последовательности из примера a1=1, а2=0, при n≥3, начиная с третьего, совпадают.
Решение: Из условия nan = a1+…+аn-1. Отсюда, , что и требовалось.
Этот пример показывает, что иногда рекуррентное построение скрывает очень простую последовательность.
8.3. Докажите, что числа Фибоначчи задаются формулой .
Решение: Непосредственные вычисления показывают, что a1=а2=1. Найдем сумму аn-2+аn-1 при n≥3. Имеем: что и требовалось.
Примеры заданий. 8.4. Рекуррентное соотношение xi=8*xi-1/9+a/9/(xi-1)8 при положительном a может быть использовано для быстрого вычисления
1) 2) 3) a9 4) 9a8 5) 8/9 a9
Решение: Предполагая наличие предельного значения T для xi и переходя к пределу в обеих частях равенства, получим: T=8*T/9+a/9/T8. Это уравнение имеет решение T = . Верный ответ №1.
8.5. Пусть a0, a1, a2 ... члены последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.... Из равенств
1) an+1=a0+a1+a2+...+an-1+1;
2) a0+a2+...+a2n-(a1+a3+a5 +...+a2n-1) = a2n-1-1;
3) a2n+12= a2n*a2+2n + 1;
4) an+p=a0+a1+a2+...+an+p-1+3;
5) a2k+1 = ak2+ ak+12;
истинным не является
1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5
Решение: Данная последовательность аналогична последовательности Фибоначчи с добавлением a0=0. Можно решить эту задачу, доказав равенства для любых n , k и p.
Докажем, например, первое равенство. Естественно воспользоваться принципом математической индукции. При n=0 имеем a1=1=0+1=a0+1. Пусть справедливо равенство an=a0+a1+a2+...+an-2+1. Тогда an+1=an+an-1=a0+a1+a2+...+an-1+1, что и требовалось.
Этот подход трудоемкий и не учитывает специфику тестов.
Другой подход - рассмотреть конкретные значения параметров n , k, p и проверить равенства. Истинным не является равенство, которое хотя бы при одном значении параметра нарушено. Верный ответ №4. Действительно, при n=p=1 должно выполняться равенство a2= a0+a1+3, т.е. 1=0+1+3 - равенство ложное.
8.6. Если: F2k = 2 F2k-1 - 3k; F2k-1=(2k+ )2+F2k-2; F1=1, то значение F4 равно ________
Решение: По условию, F2= 2 F1-3=-1; F3=52+F2=24; F4=2F3 -6=42. [Предыдущая тема] [Теоретическая часть] [Тестирование] [Следующая тема]