- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
НЛДУ n-го порялка с пост коэф-ми. Метод подбора.
y(n)+a1y(n-1)+…+any=f(x) (25) λn+a1λn-1+…+an=0 (7) yOH=yOO+yЧН С помощью метода вариаций частное неоднородное. В отдельном случае его можно находить методом подбора, если правая часть – вид многочлена 1) L[y]=Pn(x) yЧН=(A0xn+A1xn-1+…+An)xs, s – число,показывающее сколько раз 0-корень ур-я 2) L[y]=Pn(x)eαx yЧН=(A0xn+A1xn-1+…+An)eαxxS, s – число, к-е означает сколько раз число λ встречается среди корней хар ур-я (7) 3) L[y]=eαx [Pn(x)sin βx+Qm(x)cos βx], yЧН=eαx[(A0xn+…+An)sin βx+(B0xn+..+Bn)cos βx]xS, выберем наибольш степень max(m,n)=n, m≤n. s – число, к-е означает сколько раз пара компл сопряж чисел α±iβ встречается среди корней характер ур-я.
Т Метод наложения (суперпозиции) решений. Если y1- частн реш L[y]=f1(x), y2 – частн решение L[y]=f2(x), уn – частн решение неоднор ур-я L[y]=fn(x), то y=y1+y2+…+yn L[y]=f1(x)+f2(x)+…+fn(x).
Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
Рассм ф-ю 2х переменных с областью определения D. z=f(x,y), D Произвольным образом произвольными кривыми разобьем область Dна n элементарных областей. (∆S1), (∆S2)…( ∆Sn). Площадь каждой ∆S1, ∆S2… ∆Sn , диаметр - d1,d2,…dn.
☼Диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками лежащими на границе области и обзначается d.
В кажд элем обл-ти выбираем диаметр, наибольший из них – d. max(d1,d2,…,dn)=d Произв образом в кажд элем обл-ти ∆Sk выбираем т Mk(xk,yk) (∆Sk), k=1,n. И вычисл знач ф-и в этих т. f(xk,yk), k=1,n. f(xk,yk)*∆Sk , k=1,n. Суммируем по всем k. f(x1,y1) ∆S1+f(x2,y2) ∆S2+…+f(xn,yn) ∆Sn= (1) Сумма (1) интегральная сумма для ф-и f(x,y) по области D.
☼Если при стремлении к нулю наибольшего из диаметров d существуют конечный предел интегральной суммы (1) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элемнтарные, ни от выбора точек в кажд элемент обл-ти, то этот предел наз-ся – двойным интегралом для ф-и f(x,y) по области D = .
☼Обл D – квадрируемая, если она имеет площадь.
Т Необх условие существ двойного интеграла.
Если ф-я 2х переменных f(x,y) интегрируема в ограниченной замкнутой квадрируемой обл-ти D, то ф-я ограничена в этой обл-ти.
Т Дост усл сущ двойн интегр (∫∫) Если ф-я 2х переем f(x,y) непр в огр, замкн, квадрир обл-ти D, то она интегрируема в этой обл-ти. Зам-е: В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые обл-ти.
Пусть ф-я f(х,у) неотрицательна и определена в обл-ти D. Пов-ть z=f(x,y). Геом смысл ∫∫ для ф-и f(x,y) по обл-ти D заключается в следующем: если ф-я f(x,y) неотриц в обл-ти D, то ∫∫ по обл-ти D от f(x,y) = объему цилиндрич тела, ограниченного: сверху пов-ю z=f(x,y), снизу областью D, в к-ю проэктируется эта пов-ть в пл-ти хоу, с боков – цилиндрич пов-ю с образующими || оси Оz. =VЦИЛИНДРИЧ ТЕЛА
Св-ва ∫∫
1) =SD, f(x,y)=1, (x,y) D
2) f1(x,y), f2(x,y) - интегрир в D, то их алг сумма интегрир в D [f1(x,y)± f2(x,y)] ∫∫[f1(x,y)± f2(x,y)]dxdy=∫∫f1(x,y)dxdy± ∫∫f2(x,y)dxdy При условии, что они интегрируемы
3) λ R, f(x,y) интегрир на D, то λf(x,y) тоже инт-ма на D. Справедливо ∫∫λf(x,y)dxdy=λ∫∫f(x,y)dxdy
4) Если ф-я f(x,y) интегрируема в D и некоторой произвольной кривой обл-ти D разбивается на 2 обл-ти D1 и D2, в каждой из к-х эта ф-я интегрируема, то f(x,y)dxdy= f(x,y)dxdy± f(x,y)dxdy. При док-ве эту кривую включают в разбиение.
5) Если f(x,y), g(x,y) интегрир в обл-ти D, причем f(x,y)≤g(x,y) в D (x,y) D, то f(x,y)dxdy≤ g(x,y)dxdy
6) Если f(x,y) интегрируема в D, то | f(x,y)dxdy| ≤ |f(x,y)|dxdy. -|f(x,y)| ≤f(x,y)≤|f(x,y)|.
7) Теорема о среднем: Если ф-я f(x,y) непр в D, то найдется единств т (ξ,η) такая что f(x,y) интегрируема в D. !( ξ,η) D: f(x,y)dxdy=f(ξ,η)SD Док-во: Т.к. ф-я непр в D, тона достигает наим, наиб знач m-наим, М- наиб знач f(x,y) в D. m ≤f(x,y) ≤M, (x,y) D. По 5 св-ву: mdxdy ≤ f(x,y)dxdy ≤ Mdxdy, По 3 св-ву: m, M- константы → m dxdy ≤ f(x,y)dxdy ≤M f(x,y). По св-ву: mSD ≤ f(x,y)dxdy ≤MSD. m ≤ f(x,y)dxdy / SD ≤M.
Согласно т о промежут знач ф-и 2х найдется: (x,y) (D): f(x,y)dxdy / SD=f(x,y). Умножим на SD обе части: f(x,y)dxdy=f(x,y)SD Ч.т.д.
Вычисление ∫∫ в Декарт сист корд:
☼ Обл-ть D- правильная в направлении оси oy (ординат), если любая прямая || oy и проходящая ч\з внутр т обл-ти D пересекает границу этой обл-ти в 2х точках – т. входа обл-ти и обл-ти выхода из обл-ти.
☼ Обл-ть D- правильная в направлении оси oх (абсцисс), если любая прямая || oх и проходящая ч\з внутр т обл-ти D пересекает границу этой обл-ти в 2х точках – т. входа обл-ти и обл-ти выхода из обл-ти.
Об-ть прав в оси ох и оу – наз-ся правильной. Зам-е: Если указ прямая в определении (|| оси), проходит через границу обл-ти, то с границей имеет 1 общ т. Или несколько (беск мн-во) точек.
Двухкратным (повторным) интегралом наз-ся инт вида:
, если обл-ть Dправильная в направлении оу (оси ординат) или интеграл вида: , где обл-ть D правильная в напр оси абсцисс (ох). Теорема: Если ф-я f(x,y) непр обл-ти D, к-я правильная в напр оси ординат (оу), то ∫∫ вычисляется по след ф-ле. f(x,y)dxdy= . Если f(x,y) непр в обл D, к-я правильн в направлении оси абсц (ох), то f(x,y)dxdy=