- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Векторное поле. Векторные линии.
Рассм вект поле,задаваемое вектором a=a(M).
☼Векторн линия поля а – линия, касат к к-й в кажд её т М имеет направление соответствующего ей вектора а(М). (н-р, силовые линии магн поля). Совокупность всех вект линий поля, проходящих ч/з некоторую замкнутую кривую – векторная трубка. Векторные линии поля: a=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k. описываются системой д.у. вида: dx/ P(x,y,z)= dy/ Q(x,yz)=dz/ R(x,yz)
Вект линией вект поля наз-ся кривая, направление к-й в кажд ее точке совпадает с напр вектора, отвечающего этой точке. F=F(p), т.Р (V).
F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k. r’(t)=x’(t)i+y’(t)j+z’(t)k
Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
☼Потоком вект поля F=F(p) в V в направлении нормали n к пов-ти σ наз-ся поверхностный инт 1 рода в направлении нормали к этой пов-ти от скалярн произведения вект поля на единичный вектор нормали по этой пов-ти и обозначается П – поток, П= (F, n0)dσ. П= (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dσ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy Рассмотрим гидродинамический смысл понятия ПОТОК. Рассм поле скоростей движения жидкости ч/з пов-ть σ, тогда поток – общее количество жидкости, протекающее в единицу времени ч/з пов-ть σ в направлении вектора нормали, если f(P) – вектор скорости течения жидкости в данной точке. diυ F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z, тогда ф-ла Остр-Гаусса в вект ф-ме: diυ F dV= (F, n0)dσ, (dV=dxdydz)
Важн хар-ка вект поля явл дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля. П<0 – внутри обл-ти V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости(точки, где вект линии заканчиваются, S (-)полюс магнита), П>0 – из обл-ти V вытекает больше жидкости, чем втекает в нее – внутри обл-ти имеются источники (т,где вект линии начинаются, N (+)полюс магнита), П=0 – из обл-ти вытекает столько же жидк,сколько и втекает. Дивергенция (расходимость) вект поля в т М а(М)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k – наз-ся скаляр вида: =∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z и обозначается div a(M)=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z. Св-ва дивергенции: 1) а – пост вектор,div a=0, 2) div (λ*a)= λdiva, λ=const. 3) div(a+b)= diva+divb, 4) U – скалярн ф-я, то div (U*a)=U*diva+ a*gradU. Ф-ла Остроградск-Гаусса – поток вект поля ч/з замкнут пов-ть S(в направлении внешней нормали,т.е. изнутри) равен тройному инт от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной пов-ю. (∂P/∂x+ ∂Q/∂y+ ∂R/∂z)dxdydz= [P(x,y)cosα+ Q(x,y)cosβ+ R(x,y,z)cosγ]dσ, div F dV=V div F
Дивергенцией вект поля в т М наз-ся предел отношения потока поля ч/з (замкнутую) пов-ть σ, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой пов-ю, при условии, что вся пов-ть стягивается в т М (V→0). В точке див-я – явл скал велич. Образует скал поле в данном вект поле. Из физич смысла потока: divF >0 – точка источник, divF<0 – точка сток, div=0 – в обеме V нет ни источников, ни стоков. Вект поле,в кажд т которого дивергенция равна 0, т.е. div F≡0 – поле назся соленоидальным(трубчатым)