- •Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •13. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема Коши. Общее и частное решения.
- •Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделенными переменными, с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема Коши.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
- •Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Необходимое и достаточное условие линейной независимости частных решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
- •Структура общего решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений n - го порядка.
- •Метод вариации произвольных постоянных.
- •Решения однородных линейных дифференциальных уравнения п - го порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •Метод подбора частного решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка. Метод суперпозиции решений.
- •Двойные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
- •Полярная система координат. Переход в двойных интегралах от декартовой системы координат к полярной системе координат. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
- •Приложения двойных интегралов.
- •Тройные интегралы и их свойства. Теорема о среднем. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •Криволинейные координаты в пространстве. Переход в тройных интегралах от декартовой системы координат к криволинейной системе координат.
- •Цилиндрическая система координат. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат.
- •Сферическая система координат. Вычисление тройных интегралов в сферической системе координат.
- •Приложения тройных интегралов.
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина.
- •Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского - Гаусса.
- •Векторные функции скалярного аргумента.
- •Скалярное поле. Поверхности уровня, линии уровня.
- •Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
- •Векторное поле. Векторные линии.
- •Поток векторного поля. Дивергенция векторного поля. Векторная запись формулы Остроградского - Гаусса.
- •Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля.
Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.
☼ Сист ф-й {φ1(x), φ2(x), φn(x)} наз-ся лин. независ. на интервале (a,b), если их лин комбинация тождественно равна нулю(≡0), т. и т.т., когда все αi=0. α1φ1(х)+α2φ2(х)+…+αnφn(x)≡0. x (a,b) т. и т.т. α12+α22+αn2=0
☼ Сист ф-й {φ1(x), φ2(x), φn(x)} наз-ся линейно зависимой на (a,b), если их линейная комбинация тождественно равна 0, при условии,что хотя бы 1 из αi≠0. . α1φ1(х)+α2φ2(х)+…+αnφn(x)≡0. x (a,b) т. и т.т. αi≠0.
Теор: Критерий лин завис-ти сист ф-й. Для того,чтобы сист ф-й {φ1(x), φ2(x), φn(x)} была лин завис на инт (a,b) – необходимо и достаточно, чтобы одну из функций можно было представить в виде лин комбинации остальных ф-й. Док-во: Необх α1φ1(х)+α2φ2(х)+…+αnφn(х)≡0, х (a,b) при усл, что αi≠0, α1φ1(х)= -α2φ2(х)/α1 -…-αnφn(х)/α1≡0, βi= -αi/α1,тогда α1φ1(х)=β2φ2(х)+…+ β nφn(х)≡0 Дост-ть: Одну из ф-й представим в виде лин комб φK(x)=α1φ1(x)+…+αK-1φK-1(x)+αK+1φK+1+…+αnφn. Перенесем в одну сторону: α1φ1(x)+…+αK-1φK-1(x) - φK(x)+αK+1φK+1+…+αnφn=0 x (a,b), αK= -1≠0 →лин завис. Ч.т.д. Зам-я: 1) Если среди сист ф-й есть две равные между собой ф-и – сист лин завис; 2) Если среди сист ф-й есть тождественно равные 0(≡0), то сист ф-й лин завис; 3) Если среди ф-й есть 2 ф-и таких что, их отношение, есть величина постоянная, для x (a,b), то такая сист ф-й лин завис. 4) Если 2 ф-и таковы,что их отношение не явл пост величиной для люб х из (a,b), то сист ф-й лин независ.
Определитель Вронского. Необх усл лин завис сист ф-й
Рассм сист ф-й y1=φ1(x),…, yn=φn(x) на (a,b) и пусть эти ф-и имеют производные до n-1 порядка включительно на (a,b).
☼ Определитель n-го порядка вида: W[y1,…,yn]= наз-ся определителем Вронского и обозначается следующим образом: W[y1,…,yn].
Т: Необх усл лин завис сист ф-й: Если сист ф-й y1,…,yn лин завис на (a,b) и имеет произв до (n-1)го порядка включительно на (a,b), то определитель Вронского=0 в люб точке интервала (a,b). (y1,…, yn – лин завис, произв до (n-1) порядка включительно)↔( W[y1,…,yn]=0, x (a,b)). Док-во: Т.к. сист ф-й лин завис по условию, то по Крит лин завис можно представить в виде лин комб: {y1=α2y2+…+αnyn, y1’=α2y2’+…+αnyn’, … y1(n-1)=α2y2(n-1)+…+αnyn(n-1)}. (◙) Берем любое х из инт и фиксируем. Рассм опред Вронс5кого для сист х в в эт т. x (a,b) фиксируем, W[y1(х),…,yn(х)]= Но ф-я у1 и ее произв имеют представление (◙)→ это лин комб остальных столбцов → определитель=0 х (a,b).
Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений однородных линейных дифференциальных уравнений п - го порядка.
Лин диф-й оператор Рассм 2 лин пр-ва L1, L2. ☼Если кажд эл-ту y из L1 сопост элемент по опред закону z из L2, то действует оператор A: отображающий L1 в L2. y L1 !z L2 A: L1→L2. z=Ay
☼ Оператор А – линейный, если выполняется 2 условия: 1) y1, y2 L1, A(y1+y2)= Ay1+Ay2 2) y1 L1, λ R, A(λy)= λ(Ay).
Рассм ЛП С(a,b)={мн-во ф-й непр на (a,b)}, C(n)={мн-во ф-й, имеющ непр произв до n порядка включительно на (a,b)}
☼ Если кажд эл-ту у на (a,b) сопост единств эл-т С, такой что z=…, то говорят, что задан диф-й оператор L[y]. y C(n)(a,b) !z C(a,b). z=y(n)+k1(x)y(n-1)+…+kn-1(x)y’+kn(x)y. L[y]= y(n)+k1(x)y(n-1)+…+kn-1(x)y’+kn(x)y. Этот оператор линейный. Зам-е: 1) мн-во C(a,b) C(n)(a,b) – Л.П. относит операций слож и умножения на ч-ло.
Линейн д.у. n-го порядка
☼ Д.У. вида: y(n)+k1y(n-1)+…+kn(x)y=f(x) (1) , ki(x), i=1n, f(x) непр на (a,b) известные ф-и - наз-ся лин д.у. n-го порядка (ЛДУ n порядка). С помощью ЛД оператора можно (1) записать: L[y]=f(x) (1’), f(x)=0, x (a,b), то ур-е y(n)+k1(x)y(n-1)+…+kn-1(x)y’+kn(x)y=0 (2) – наз-ся однородным ЛДУ n-го порядка. Короткая запись: l[y]=0 (2’). Если f(x)≠0. L[y] – неоднородное ЛДУ n-го порядка. Однородное – нулевое решение всегда решение тривиальное.
Покажем, что для ОЛДУ и НЛДУ n-го порядка разрешима любая задача Коши. Проверим в окр-ти точки M0(x0,y0,y0’,…,y0(n-1)) 1)условие y(n)=f(x)-k1(x)y(n-1)+…+kn-1(x)y’+kn(x)y=F(x,y,y’,…,y(n-1)) ∂F/∂y= -kn(x), ∂F/∂y’= -kn-1(x), ∂F/∂y(n-1)= -k1(x), x0 (a,b), y0,y0’,…,y0(n-1) – возможные начальные условия, удовл т Коши. Усл Т Коши выполняется→Найдется: частн решение y=φ(x) (x0-δ,x0+ δ), φ’(x0)=y0’, φ(x0)=y0, φ(n-1)(x0)=y0(n-1). Зам-е:можно показать,что ЛДУ (1) имеет единственное решение задачи Коши не только в окр-ти т х0, но и на всем интервале (a,b).
Св-ва решений ОЛДУ Имеем ОЛДУ n-го порядка Т1 Если y1, y2 являются решениями ОЛДУ (2) или (2’), то их сумма тоже решение этого ур-я. Док-во: L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]=0 →(y1+y2) решение (2’).
Т2 Если y – решение ОЛДУ n-го порядка, λ-действ ч-ло, то λу – также решение ОЛДУ. Док-во: L[λy]= λL[y]= λ*0=0 → →y – реш ОЛДУ (2) или(2’). Следствие: если y1,y2 – решения ОЛДУ, C1…Cn – произвольные постоянные, то ф-я равная y=C1y1+C2y2+…+Cnyn (3)– является решением ОЛДУ n-го порядка. Зам-е: в общем случае (3) не является общим решением – у1, у2=7у3,…уn.