Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки следующего вида

С другой стороны из курса высшей математики кривизна плоской кривой может быть представлена через её координаты следующим образом:

Приравнивая (18.3) и (18.4) получим точное ДУУЛБ

Полученное дифференциальное уравнение имеет большие трудности при решении, поэтому его упрощают, учитывая известную гипотезу малости деформаций

Учитывая небольшие углы поворота сечений для реальных балок получаем следующее приближенное ДУУЛБ, которое будет называться в дальнейшем основным дифференциальным уравнением упругой линии балки.

Данное уравнение справедливо для правой системы координат.

Полученное уравнение решается путем двойного интегрирования

В этом решении произвольные постоянные интегрирования представляют собой по геометрическому смыслу соответственно угол поворота и прогиб в начале координат

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных или начальных условий построения расчетной схемы балки. Рассмотрим основные разновидности граничных условий.

Балкой равного сопротивления называется балка, в которой момент сопротивления сечения изменяется пропорционально изгибающему моменту.

В балках равного сопротивления изгибу в любом сечении нормальные напряжения одинаковы и равны допускаемым напряжениям.

 в любом сечении, на любом dz.

Примером балки равного сопротивления может служить консоль прямоугольного сечения.Примером балки равного сопротивления изгибу может служить рессора. В рессоре момент сопротивления сечения Wx и [Г] – напряжение – постоянны в любом сечении на любой длине z от опоры.

8) Кручением называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает единственный внутренний силовой фак­тор - крутящий момент T (рис. 2.5.1).

Рассмотрим кручение стержней с поперечным сечением в виде круга или кольца.

Стержень, передающий крутящий момент, называется валом.

Если вал вращается с посто­янной скоростью n об/мин., и передает мощность Р Нм/с, то угловая скорость вращения вала равна

w= п n/30 (рад/с), а передаваемая мощность Р = М w

С ледовательно, внешний момент М =30Р/п n.

Зная величины внешних моментов и используя метод сечений, можно определить моменты, возникающие в поперечных сечениях ва­ла.

Крутящий момент Т в сечении стержня считается положительным, если, при взгляде со стороны сечения, он стре­миться повернуть отсеченную часть против часовой стрелки.

Напряжение и угол закручивания

если на поверхности стержня круглого се­чения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности на­нести радиальные линии, то после деформации кручения будет выполняться следующее:

1.все образующие поворачиваются на один и тот же угол (гамма)у, следовательно, прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

• поперечные сечения вала остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

• каждое сечение поворачивается относительно другого на не­который угол (фи) ф, называемый углом закручивания;

радиальные линии на торцевой поверхности остаются пря­мыми, их длина при деформировании не меняется.

В поперечных сечениях действуют толь­ко касательные напряжения (тау), направленные перпендикулярно к ра­диусу-вектору точки сечения.

У словие прочности при кручении формулируется следующим об­разом: максимальное касательное напряжение, возникающее в опас­ном сечении вала, не должно превышать допускаемого напряжения (тау)[т]. Следовательно

Как следует из закона парности касательных напряжений, одно­временно с напряжениями, действующими в плоскости поперечного сечения вала, действуют касательные напряжения в продольных плоскостях. Таким образом, все элементы вала при кручении находят­ся в состоянии чистого сдвига. Так как чистый сдвиг является част­ным случаем плоского напряженного состояния, при котором б1 = t(тау),

б₂ = 0, б₃ = -t, то при повороте граней элемента I на 45° возникают

только нормальные напряжения, равные по величине t(тау).

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

J0 — геометрический полярный момент инерции; L — длина стержня; G — модуль сдвига. Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

9) Сложным сопротивлением называется нагружение, при котором в поперечных сечениях стержня возникает несколько внутренних сило­вых факторов.

Наиболее часто в расчетной практике встречаются следующие ви­ды сложного сопротивления:

1)косой изгиб;2)внецентренное растяжение-сжатие;3)изгиб с кручением.

При анализе сложного сопротивления используется принцип неза­висимости действия сил. Искомая величина при этом находится в ре­зультате сложения величин, полученных при простых видах нагруже­ния.

Косым изгибом называется вид нагружения стержня, при котором плоскость действия изгибающего момента М не проходит через глав­ную ось поперечного сечения.

Напряжения и перемещения при косом изгибе находятся с исполь­зованием принципа независимости действия сил. Косой изгиб рас­сматривается как результат сложения двух плоских изгибов, происхо­дящих во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Р азложим изгибающий момент М на составляющие М x, М у, действующие в плоскостях, проходящих через главные оси поперечного сечения Оу и Ох (рис. 2.7.1): М_х= A/cos(фи), Му = Msin(фи). Здесь ф -угол отклонения плоскости действия Мот оси у.

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения оп­ределяются как сумма напряжений, возникающих от моментов М_х и М_у. С учетом формулы сигма=Мх/ Iх у, получим

Н ейтральной линией (н.л.) называется геометрическое место точек, в которых нормальные напряжения равны нулю. Нейтральная линия делит сечение на растянутую и сжатую области. Уравнение нейтраль­ной линии, в соответствии с формулой , имеет вид:

Учитывая, что M у / М х = tg(фи) и обозначая у0/х0 = - tg(альфа), где а угол отсчитываемый от оси- Ox , получим tg(альфа)=Ix/Iy tg( фи)

)

Отсюда следует, что если I_х не равно I_у то альфа не равно фи, следовательно, в об­щем случае нейтральная линия не перпендикулярна плоскости дейст­вия изгибающего момента М

М аксимального значения нормальные напряжения достигают в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения. Эти точки называются опасными. На рис. 2.7.2 опасными являются точки А и В.

Внецентренным растяжением-сжатием называется такой вид нагружения стержня, при котором внешние силы действуют параллель­но продольной оси стержня.

Пусть сила F приложена в точке с координатами х_F, y_F. Если привести эту силу к центру тяжести сечения О, то получится, что в сечении действуют продольная сила N = F и изгибающие мо­менты М_х = Fy_F, М_у = Fx_f .

И спользуя принцип суперпо­зиции, получим, что напряжения при внецентренном действии продольной силы равны сумме напряжений, возникающих от каждого внутреннего усилия

10)Энергетические методы Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения

Потенциальная энергия деформации при растяжении, кручении и изгибе была рассмотрена в предыдущих лекциях. При изгибе мы не учитываем энергию, возникшую за счёт сдвига.

В общем случае сопротивления бруса деформированию при нагружении в его поперечных сечениях возникают шесть внутренних силовых факторов:

Для бруса длиной из линейно-упругого материала потенциальная энергия определяется формулой

, (1)

где коэффициенты зависят от формы поперечного сечения. Например, для прямоугольного сечения , для круглого - для тонкостенной трубки

Если стержневая система состоит из нескольких элементов, то необходимо произвести суммирование энергий по числу этих элементов. Энергия растяжения и сдвига, как правило, меньше энергий изгиба и кручения. Вместе с тем возможны случаи (например, внецентренное сжатие), когда энергия растяжения и изгиба одного порядка. Энергия от сдвига в (1), сопровождаемая возникновением перерезывающих сил, может быть определена следующим образом: удельная потенциальная энергия чистого сдвига Следовательно,

Используя формулу Журавского для касательного напряжения, найдём:

где обозначено

формула Кастилиано — одна из осн. теорем механики линейно деформируемого тела, находящегося иод действием системы независимых друг от друга внешних сил. Сущность теоремы Кастильяно состоит в том, что частная производная от потенциальной энергии тела по одной из приложенных сил равна перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.

Пусть на закрепленное тело действует система сил. Пусть dFn при этом на малую величину измениться и потенциал. Энергия деформации.

U1=U+dU

dU= dU/dFn*dFn

U1=U+dU/ dFn*dFn (1) она вызывает бескон.мал. перемещение dFn dбn

dW1= dFn*dбn (2)

приложим всю систему сил

W2=U+dFn*бn

W= dFn*dбn+U+ dFn*бn (3)

U1=W

Учит 1 и2

U+ dU/ dFn*dFn= dFn*dбn+U+ dFn*бn

dU/ dFn= dбn+бn

dU/ dFn= бn – Теорема Кастильяно

Теорема Кастильяно. – перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по этой силе. Пренебрегая влиянием на перемещение осевых и поперечных сил, имеем потенциальную энергию: , откуда .

Применяя теорему Кастильяно к развернутому выражению потенц. энергии в общем виде через внутр. силы (через М, Q, N — для стержневых систем и через а и т — для сплошных тел), можно обосновать метод Мора — Максвелла для вычисления перемещений линейно деформируемых стержневых систем или обобщение этого метода иа сплошные тела; более общее доказательство, предусматривающее также перемещения от изменения темп-ры и т.п., вытекает из принципа возможных перемещений.

В литературе теорема Кастильяно иногда используется для непосредств. вычисления перемещений с составлением развернутого выражения потенц. энергии в условиях частной задачи и его дифференцированием. Этот прием менее эффективен, чем метод Мора— Максвелла, и является устаревшим.

Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется формулой (формула или интеграл Мора):

Черта над М, Q и N указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы. Для вычисления входящих в формулу интегралов надо перемножить эпюры соответствующих усилий