8. Разбиение множества . Покрытие, образованное семейством непустых, попарно непересекающихся подмножеств множества , называют разбиением . Множества называют блоками разбиения.

Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное множество, состоящее из элементов а и b, в котором зафиксирован порядок расположения элементов. Отметим два характерных свойства упорядоченных пар: 1)   если  ; 2)  . Можно дать и строгое определение упорядоченной пары, но в этом случае, приобретая строгость, оно теряет наглядность.

Определение 1

Упорядоченной парой называется множество (a; b)={{a};{a, b}}.

Теорема 2

Если (a; b)=(x; y), то a=x, b=y.

Доказательство

Из (a; b)=(x; y) следует {{a};{a; b}}={{x};{x; y}}. Равенство двух двухэлементных множеств возможно лишь при равенстве составляющих их элементов. Здесь возможны два случая: 1) {a}={x}, {a; b}={x; y} или 2) {a}={x, y}, {a; b}={x}. В первом случае из равенства {a}={x} следует а=х, а из второго равенства   и того, что а=х, следует у=в, что и требовалось доказать. Во втором случае из равенства {a}={x, y} следует а=х=у, а из равенства {a; b}={x} следует х=а=в. В частности, а=х ив=у. Теорема доказана. Индуктивно определим упорядоченный набор длины n.

Определение 3

1) (a; b)={{a};{a; b}}; 2) (a1,a2,...,an,an+1)=((a1,a2,...,an),an+1). Упорядоченные наборы длины n называются также упорядоченными n-ками, векторами, кортежами.

Определение. Прямым произведением  множеств X и Y называется множество  , элементами которого являются все возможные упорядоченные пары <x, y>, такие, что  .

Определение. Прямым произведением  множеств Х1, Х2, …, Хn называется совокупность всех упорядоченных n-ок <x1, …, xn> таких, что  . Если Х1=Х2=…Хn, то пишут  .

Пусть   — множество. Множество всех подмножеств множества   называется булеаном   (также степенью множества, показательным множеством илимножеством частей) и обозначается   или  . Ясно, что   и  .

. Бинарные отношения, способы задания.

Двуместная логическая ф-я двузначной логики с одинаковыми алфавитами для вхождений н-ся бинарным отношением. R=<x²,{0,1},R>; r={0,1};

(обл-ть отправления, прибытия)

A={<x,y>€x:<x,y,z>€R=>Пр₃<x,y,r>=1}; Ā={<x,y>€x:<x,y,z>€R=>Пр₃<x,y,r>=0}; A∩=Ø; AUĀ=R;

Далее будем рассматривать всюду определенные соответствия. А – обл. неопр. значений хАу <x,y>€A.

Существует 4 способа задания отношений:

1) Состоит в 1 непосредственном перечислении таких пар. Приемлем лишь в случае конечного множества R .

2) Матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами для всех i и j. Н-р, турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение "xi - победитель xy").

3) Графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствия (пронумерованные) элементы множества X , и если x_iRy_j , то от вершины x_i проводят направленную дугу к вершине x_j .

4) Сечениями. Для определения отношений на бесконечных множествах альтернатив. (Множество).