9. Определенный интеграл: определение, свойства линейности

и аддитивности, интегрирование неравенств.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n  ∞, d  0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений. Линейность: [C₁f₁(x) ± C₂f₂(x) ] = C₁ f₁(x)dx ± C₂ f₂(x)dx

Аддитивность: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Интегрирование неравенств: если f(x) и g(x) интегрированы на [ a, b ] и выполняется соотношение: f(x) ≥ g(x), то для любых Х из [ a, b ], то f(x)dx ≥ g(x)dx

10. Определенный интеграл: определение, теорема о среднем, ее гео­метрический смысл.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ( a, b ), называется предел интегральной суммы при n  ∞, d  0, при условии 1) существует Lim, 2) Lim не зависит от Т. Интегральная сумма есть функция,

определенная на множестве разбиений. Теорема о

среднем: если y = f(x) непрерывна на [ a, b ] 

существует С , принадлежащее [ a, b ] 

f(x)dx = f(c)ba. Геометрический смысл:

Yср = ( f(x)dx) / ( b – a ) = f(c).

11. Теорема о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирова­ние по частям в определенном интеграле.

Теорема о дифференцировании: если f(x) непрерывна на [ a, b ]  Ф(х) = f(x)dx, первообразная для f(x), Ф^/(х) = f(x). Доказательство: ΔФ(х) = f(c)Δx , С принадлежит

[ x, x + Δx ]. Поделим все на ΔС и перейдем к Lim. Lim ΔФ(х) / Δх = Lim f(c) = f(x), при условии, что Δх0, Cx. Формула Ньютона-Лейбница: если F(x)—есть какая-либо первообразная функции f(x), то справедливо следующее: f(x)dx = F(b) – F(a).

Замена переменной: если f(x) непрерывна на [ a, b ], x = φ(t) 1) φ(α) = a, φ(β) = b,

2) φ(t), φ^/(t)—непрерывна на [ a, b ]. 3) f φ(t) определена и непрерывна на [ α, β ], тогда

f(x)dx = f φ(t)*φ^/(t)dt. При вычислении определенного интеграла к исходной переменной не возвращаются. Интегрирование по частям: если U и V имеют непрерывные производные на[ a, b ], то UdV = UV│_a^b - VdU

12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных и поляр­ных координатах с помощью определенного интеграла.

Если мы работаем в прямоугольных координатах, то нужно определить части фигуры, форма которых задается функциями. Также необходимо определить пределы интегрирования. В итоге можно получить интеграл вида: f(x) – g(x) dx и разбить его на два и более интегралов. Если у нас полярные координаты, то нужно выделит интересуемый нас спектр, рассчитать углы в пределах которых он лежит, а так же определить функции которыми задан интересуемый фрагмент.

13.Определение длины кривой. Вычисление длины кусочно-гладкой кривой.

Кривая L называется гладкой, если x(t), y(t), z(t)—непрерывны, и у них существуют непрерывные производные. Определение длины кривой: длиной кривой L называется предел параметра ломанной при неограниченном изменении ее звеньев.

Вычисление длины: L = (x^/)(t) + (y^/)(t) + (z^/)(t) dt. Если x, y или z равна нулю, то одна из координат отсутствует. Если y = f(x), то L = √ ( 1 + y(x)² dx . Если кривая дана в полярных координатах, то ρ = ρ(x), α ≤ φ ≤ β, тогда x(φ) = ρ(φ)cos (φ) ,

y(φ) = ρ(φ)sin (φ)  L = ρ² + (ρ^/)² dφ

14. Вычисление объема тела по площадям его плоских сечений. Объем тела вращения.

Объем по площадям сечений: пусть x=a, x=b—плоскость, тогда X принадлежит [ a,b ], еще известна площадь, тогда V = S(x) dx. Объем тела вращения: V = π f²(x) dx

15. Вычисление площади поверхности вращения.

S = 2π*f(x)√ 1 + f²(x) dx

16. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

Определение: 1) если f(x) определена и неограниченна на полуинтервале [ a, b ), 2) если ограничена и интегрируема на интервале [ a, b-Е ], для любого Е > 0, то существует Lim f(x) dx ( при Е  0 ) –несобственный интеграл от неограниченной функции на отрезке [ a,b ]. Если этот предел существует и конечен, то интеграл—сходящийся, иначе—расходящийся.

17. Несобственные интегралы от функций на бесконечном интервале. Примеры сходящихся и расходящихся интегралов.

1) Если f(x) интегрируема на [ a,b ], 2) f(x)—непрерывна при х ≥ а, то Lim ∫ f(x) dx = f(x) dx –несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом. Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует—расходящимся.

Если интеграл от +∞ до -∞, то это несобственные интегралы от функции на бесконечном интервале. Такой интеграл можно решить, если разделить его на интеграл с бесконечным верхним и нижним значением.