1.Предел и неприрывность функций.

1)Понятие функции.способы задания функции,обратная функция,сложная функция,график функции,операции над функциями:1.Пусть Х и Y-некоторые числовые множества.Функией называется множество упорядоченных пар чисел (x;y),таких,что xэX,yэУ,и каждое Х входит в одну и только одну пару этого множества,а каждое У входит по крайней мере в одну пару.При этом говорят,что числу Х поставлено в соответствие число У,и пишут У=f(x).Число У называется значением функции f в точке X.переменную У называют зависимой переменной(или аргументом).множество Х-областью определения(или существования)функции,а множество Y-множеством значений функции.2.спосбы задания ф-ий:Задать функцию f-значит указать ,как по каждому значению аргумента Х находить соответствующее ему значение функции f(x).существуют 3 основных способа задания функции:Аналитический,табличный,графический. Аналитический способ:этот способ состоит в том что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы,указывающей,какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение ф-ии,соответствующее данному значению.Табличный способ:приведем следующую таблицу:

х	0	0.1	0.2	3	0.6	4	0.8	1.5	2
У	-1	10	1	-2	-8	0.5	-2	5	7

Поставим в соответствие каждому Х,записанному в первой строке таблице,число У,стоящее во второй строке этим числом Х,и будем говорить,что полученная функция задана таблицей.Областью определения данной ф-ии яв-ся множество,состоящее из девяти чисел Х,перечисленных в первой строке таблицы,а множеством ее значений-множество,состоящее из девяти чисел У,перечисленных во 2й строке.С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента.Таблицы часто используют для задания ф-ии.Так хорошо известны,например,таблицы тригонометрических ф-й,таблицы логарифмов и многие другие.Примерром табличного способа задания ф-ии может служить расписание движения поезда,которое определяется местоположение поезда в отдельные моменты времени.Графический способ: Графический способ задания функции обычно используют в практике физических измерений,когда соответствие между переменными ХиУ задается посредством графика.3. Обра́тная фу́нкция-функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:  для всех;  для всех  4)Сложная функция-функция от функции.Если z-функция от у,т.е.z(y),а у, в свою очередь-функция от х, т.е. у(х),то,функция f(x)= z(y(x))называется сложной-функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.В такой функции х-независимая,а у – промежуточная переменная.При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).Производная дифференцируемой сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточной функции по независимому аргументу: Эта формула легко распространяется на случай, когда у сложной функции имеется два, три и более промежуточных аргументов («цепное правило»): если z = f₁(y₁),y₁ = f₂(y₂), …, y_n-1 = f_n(x), то 5)График функции-множество точек,у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента  , а ординаты-соответствующими значениями функции  .Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного  , которые являются множеством точек плоскости  .В общем случае, график функции (оператора)   есть множество

2)Основные элементарные функции: Элементарные функции-функции,которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций алгебраические:степенная,рациональная.трансцендентные:показательная и логарифмическая;тригонометрические и обратные тригонометрические.Каждую элементарную функцию можно задать формулой,то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции,хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.Алгебраическая функция-элементарная функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть неявно задана с помощью алгебраического уравнения.Формальное определение:Функция   называется алгебраической в точке  , если существует окрестность точки  , в которой верно тождество где   есть многочлен от   переменной.Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения. Степенна́я фу́нкция-функция  , где   (показатель степени)-некоторое вещественное число.К степенным часто относят и функцию вида  ,где k-некоторый масштабный множитель.Существует также комплексное обобщение степенной функции.На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом. Рациональная функция-это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид где, -многочлены от любого числа переменных.Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: , где P(x) и Q(x)-многочлены.Другим частным случаем является отношение двух линейных функций-дробно-линейная функция.Показательная функция-математическая функция  ,где   называется «основанием»,а  -«показателем» степени.В вещественном случае основание степени -некоторое неотрицательное вещественное(действительное)число,а аргументом функции является вещественный показатель степени.В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.В самом общем виде- , введена Лейбницем в 1695 г.Тригонометри́ческие фу́нкции-элементарные функции,которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или,что эквивалентно,зависимость хорд и высот отцентрального угла в круге).Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки.Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено,их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.Наука, изучающая свойства тригонометрических функций,называется тригонометрией.К тригонометрическим функциям относятся:прямые тригонометрические функциисинус(sin x)косинус(cos x)производные тригонометрические функциитангенс(tg x)котангенс(ctg x)другие тригонометрические функциисеканс(sec x)косеканс(cosec x)

3)Понятие числовой последовательности как функции,заданной на множестве натуральных чисел:Последовательностью-называется функция,заданная на множестве натуральных чисел.Если область значений последовательности-числовое множество,то последовательность называют числовой,если область значений-множество функций,то последовательность называют функциональной.

4)понятие предела и понятие непрерывности ф-ии:Преде́л фу́нкции(предельное значение функции)в заданной точке,предельной для области определения функции-такая величина,к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.Определение:Функция   имеет предел   в точке  , предельной для области определения функции  , если для каждой окрестности предела А существует проколотая окрестность точки  , образ которой при отображении   является подмножеством заданной окрестности точки  .Понятие непрерывности ф-ии:Пусть f(x)определена в некоторой окрестности точки х0.ОПРЕДЕЛЕНИЕ1:Функция f(x)называется непрерывной в точке х0,если предел функции и ее значение в этой точке равны,т.е. lim (x->x0)f(x)=f(x0) (1).Т.к. lim (x->x0)х=х0,то соотношение(1)можно записать в следующем виде: lim (x->x0)f(x)=f(lim (x->x0)x).т.е.для непрерывной ф-ии можно переставить знак ф-ии и знак предела.Приведем равносильные определения непрерывности ф-ии «на языке последовательностей»:ф-ия f(x)называется непрерывной в т.х0,если для любой последовательности значений аргумента х:х1,х2,х3,…,хн,…,сходящиеся к х0,последовательность соответствующих значений ф-ии:f(x1),f(x2)…f(xn)…сходится к f(x0)

5)Единственность предела:теорем:Если функция или последовательность имеет предел,то он единственнен. Доказывается так.Возьмем два числа А1иА2 и пусть они оба пределы последовательности x(n).Тогда для всех n начиная с некоторого N для произвольно взятого числа эпсилон выполняются неравенства модуль(x(n) - A1) <= эпсилон и модуль(x(n) - A2) <= эпсилон. Раскрывая эти неравенства, получаем A1 - эпсилон <= x(n) <= А1+ эпсилон и A2 - эпсилон <= x(n) <= А2+ эпсилон. Если А1 и А2 различны,то может быть, например А1 < А2. Тогда можно подобрать такое эпслон, что будет выполняться только одно из неравенств, а другое выполняться не будет. А должны выполняться оба неравенства сразу при любом эпсилон.

6)Предел Сложной ф-ии:теорема:Пусть дана сложная ф-ия у=f(g(x)),и lim(x->a)g(x)=b; lim(x->b)f(x)=c,тогда lim(x->a)f(g(x)=c,т.е. lim(x->a)f(g(x)= lim(x->a)f(x)=c;Доказательство:нужно показать.что lim(x->a)f(g(x)=c =>для любых(из тетрадки выписать);по условию дано,что lim(x->b)f(x)=c,т.е.для ….