1.Первообра́зная. Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:

F'(x)= ƒ(x).

Неопределенный интеграл и его свойства. Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

6.     

1. ∫ xαdx = xα+1/ (α+1) + C α ≠-1	10. = ln | x + | + C
2. = ln |x| + C	11. = arctg( )+C
3. ∫ ex= ex + C	12. = ln | | + C
4. ∫ ax dx = ax/lna + C	13 = ln | | + C
5. ∫ sin(x)dx = - cos(x) + C	14. = ln |tg( )| + C
6. ∫ cos(x)dx = sin(x) + C	15. = ln |tg( )| + C
7. = tg(x) + C	16.∫ tg(x) dx = – ln |cos(x)| + C
8. = -ctg(x) + C	17.∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C
9. = arcsin ( )+ C

2. Понятие об основных методах интегрирования

а). Метод разложения.

Пусть f(x) = f₁(x) + f₂(x). Тогда на основании свойства 4

.

f₁, f₂ стараемся подобрать так, чтобы интегралы брались непосредственно.

б). Метод подстановки (введение новой переменной)

Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента и, учитывая, что

dx = j^/(t)dt,

получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле

.

То есть интеграл, стоящий в правой части, может оказаться проще интеграла в левой части.

в) Метод интегрирования по частям

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.

d(u×v) = udv + vdu.

Отсюда udv=d(u×v)-vdu.

Интегрируя обе части этого уравнения, получим

.

Интегрирование рациональных дробей.

Нужно вычислить интеграл вида

, где Р(х) - целый многочлен; а,b,c - const, a ¹ 0.

Разделив Р(х) на знаменатель, получаем

.

Теперь все сводится к вычислению

.

3. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование тригонометрических функций.

I. Интеграл вида ∫R(sinx;cosx)dx, где R(sin(x), cos(x)) – это рациональная функция относительно sin(x) и cos(x) подстановкой tg(x/2) = t сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

Такая подстановка называется универсальной, т.е. она пригодна для вычислений интеграла sin(x) и cos(x).

II. Интеграл вида ∫(sin^mx)*(cosⁿx)dx I случай. m и n – положительные, одно из них нечетное.

Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin^2p(x)cosⁿ(x) sin(x)dx = – ∫(sin²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)) =

= – ∫(1 –cos²x) ^p cosⁿ(x) d(cos(x)).

II.случай. m и n – целые, положительные, четные.

Пусть m=2p, n=2q, тогда

∫sin^m(x)cosⁿ(x)dx = ∫sin^2p(x)cos^2q(x)dx = ∫(sin²x) ^p(cos²x) ^qdx =((1-cos2x)/2)^p*((1+cos2x)/2)^q;

Возводя скобки в соответствующие степени и разбивая интеграл на сумму интегралов, в результате получаем интегралы либо типа а), либо типа б).

III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ctg(x)=t;

Интегрирование иррациональных функций.

I. Интеграл вида R(X,((ax+b)/(cx+d))^(1/n)), где R(X,((ax+b)/(cx+d))^(1/n)) - рациональная функция относительно x и ((ax+b)/(cx+d))^(1/n) , подстановкой (ax+b)/(cx+d)=tⁿ сводится к интегралу от рациональной функции относительно t.

II. Интегралы от дифференцированных биномов (биномиальный дифференциал).

Определение : x^m(a + bxⁿ)^P dx – называется дифференциальным биномом.

Академик Чебышев доказал, что ∫ x^m(a + bxⁿ)^P dx выражается через элементарные функции в трех случаях:

1) если P-целое, то следует сделать подстановку

(x)^λ=t, где λ – общий знаменатель чисел m и n.

2)P – не целое, (m+1)/n - целое, тогда вводим a+bxⁿ=t^s, где s – знаменатель P.

3) P+(m+1)/n- целое, тогда замена такая:

ax^–n + b = t^S , где s – знаменатель P.

В остальных случаях интеграл не берется.

III. Тригонометрические подстановки.

R(X,(a²-x²)^(1/2) ))

а) Интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx

подстановкой x = a∙sin(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

б) интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx подстановкой x= a∙ sec(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

в) интеграл вида ∫R(X,(a²-x²)^(1/2) )dx подстановкой x = a∙tg(t) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin(t) и cos(t).

4. Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которыхстремится к нулю: Где Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).

Интегрирование по частям для определенного интеграла

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

где означает разность значений произведения функций uv при x = b и x = a.