1.Функция. Область определения и множество значений. График функции. Монотонные функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Примеры монотонных, четных, нечетных, периодических функций.

Определение функции: Пусть дано числовое множество Х и его элемент х є X, который назовем переменной величиной. Множество X всех значений, которые может принимать данная переменная величина x, называется областью изме-нения данной переменной величины x.Переменные величины принято обознать маленькими латинскими буквами, расположенными в конце алфавита. Пусть дано некоторое множество Y и у – его элемент. Если каждому значению переменной x из множества X ставится в соответствие по известному закону (или правилу) некоторое число y, единственное для каждого x, то говорят, что на множестве Х задана функция y = y(x). К примеру, в качестве правила можем взять возведение в квадрат переменной х. Если закон обозначен буквой f, то пишут y = f(x). При этом переменная х называется аргументом функции или независимой переменной, множество Х – областью определения (областью задания) функции. Множество значений: Аргумент x є X, элемент y принадлежит Y и должен определяться однозначно.Число у, соответствующее данному значению х, называется частным значением функции в точке х. Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество, которое называют областью значений или множеством значений функции и обозначают Е(у). Множество Е может совпадать с У, а может и не совпадать. Например,пусть Х = R и Y = R. Пусть функция есть возведение в квадрат, т. е. y = x2. Тогда множество значений – все неотрицательные числа E(y)= [0; +∞).Графиком у = х2 является парабола, а графиком функции у = kx + b – прямая.Основное свойство графика (теорема)Всякая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точкеДок-во. I. Пусть дан график y = f(x). Если для какой-то точки х0 найдутся две различные точки графика, то будем иметь y1 = f(x0) ≠ y2 = f(x0), что невозможно по определению функции. II. Обратно. Пусть множество G точек на плоскости таково, что каждая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Докажем, что множество G является графиком некоторой функции.Спроектируем множество G на ось абсцисс и обозначим проекцию через А. Назовем А областью определения функции. Пусть х є А.Сопоставим ему элемент у следующим образом: проведем вертикальную прямую через точку (х; 0). Она пересечет множество G в одной точке, ординату которой назовем у. Получили закон x → y. Это число у удовлетворяет определению функции.

Ч етная функция :Определение. Функция f(x) называется четной, если 1) ее область определения симметрична относительно нуля, и 2) имеет место равенство f(− x) = f(x). Другое опр-ние. Функция f(x), заданная на множестве Х, называется четной, если для любого числа х є D(f) число − х также принадлежит D(f) и имеет место равенство f(− x) = f(x). Нечетная функция Определение. Функция f(x) называется нечетной, если 1) ее область определения симметрична относительно нуля, и 2) имеет место равенство f(− x) = − f(x). Другое опр-ние. Функция f(x), заданная на множестве Х, называется нечетной, если для любого числа х є D(f) число − х также принадлежит D(f) и имеет место равенств f(− x) = − f(x). Бывают функции с несимметричной относительно нуля областью определения.Например. Определите, является ли функция у = четной или нечетной.Решение. О.о. есть [0; +∞) – несимметричное множество. Не является. Или говорят, что четность не определяется.Определение. Числовое множество М называется симметричным относительно начала координат, если для любого действительного числа а М число −а также принадлежит множеству М.а М => − а М.

Г рафик четной функции: Так как для четной функции выполнено равенство f(− x) = f(x), то ее график симметричен относительно оси Оу. Это значит, что та часть графика, которая расположена в правой полуплоскости, отображена зеркально относительно оси Оу в левую полуплоскость.

у = х² – 1. у =

Г рафик нечетной функции: Поскольку для нечетной функции справедливо равенство f(− x) = − f(x), то ее график симметричен относительно начала координат. Две точки на координатной плоскости называются симметричными относительно начала координат, если начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти две точки.

y = х³ у = 1/x

монотонные функции: Назовем словом промежуток любой интервал, отрезок, полуинтервал, бесконечный полуинтервал и обозначим его < a; b>. Пусть на промежутке < a; b> задана функция y = f(x).Определение. Функция f(x) называется возрастающей (строго возрастающей) на промежутке < a; b>, если для любых значений x1, ,x2 из этого промежутка приx1 < x2 выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Определение. Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на промежутке < a; b>, если для любых значений x1, ,x2 из этого промежутка при x1 < x2 выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Геометрически строго возрастающая функция изображается графиком, поднимающимся вверх вправо, а строго убывающая – графиком, опускающимся вниз вправо. Строго возрастающие и убывающие функции называются монотонными.Примеры: y = x² на [0; +∞);

У разных функций области определения различны: у одних О.О. совпадает с R, например, линейная, квадратичная, синус, косинус; у других О.О. есть подмножество R, например, корень квадратный. Поэтому определение периодической функции звучит по-разному для таких функций, а смысл одинаков. Функция у = f(х) с областью определения D называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для всякого числа х  D числа х + Т и х – Т также принадлежат области определения D и выполняется равенство f(x + T) = f(x) (1)Число Т называется периодом функции f(х). Функция, определенная на R, называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для любого числа х имеет место равенство f(x + T) = f(x) Функции у = sinх и у = cosх обладают наименьшим положительным периодом, равным 2π. Пример: Рассмотрим функцию у = b (b = const).Ее график – прямая, параллельная оси ОхЯвляется ли она периодической?Ответ: является периодической на R, ее период – любое число, не равное 0.Эта функция не имеет наименьшего положительного периода. График периодической функции повто-ряется на любом отрезке [ a; a + T ], где число Т – период, число а принадлежит области определения.

2 .Определение обратной функции, ее свойства и график.

3. Определение уравнения с одной переменной. Область определения уравнения. Корень уравнения. Равносильные уравнения.

Пусть f(x) и g(x) –функции, изучаемые в средней школе, или же это сложные функции. Рассмотрим запись f(x) = g(x).Запись вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной, если ставится задача о нахождении таких чисел х, которые обращают данное уравнение в верное числовое тождество. Пусть дано уравнение f(x) = g(x), гдеf(x), g(x) – некоторые функции.Функция f(x) называется левой частью, а g(x) – правой частью уравнения.Уравнение всегда содержит знак равенства, но только один. Областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) неизвестного называется пересечение областей определения всех функций, входящих в правую и левую части уравнения Пишем ОДЗ : 1) В уравнении есть дробь: Знаменатель не равен нулю 2)В уравнении есть корень четной степени: Подкоренное выражение >= 0 3) В уравнении есть тангенс или котангенс.4. В уравнении есть логарифмическая или показательная функция.5. Уравнение содержит все выше перечисленное в любой комбинации. Корень уравнения: Число а называется корнем уравнения f(x) = g(x) , если1) оно принадлежит области определения уравнения;2) значения функций f(x) и g(x) в точке х = а совпадают: f(a) = g(a). Таким образом, если речь идет об уравнении, то нас интересует задача нахождения корней этого уравнения.Что значит решить уравнение?Рассмотрим уравнение cos2x = 5/2.Оно не имеет решения. А следующее уравнение?Х²= – 1. Равносильные уравнения: Два уравнения f(x) = g(x) и f1(x) = g1(x) называются равносильными на некотором множестве М, если они имеют в этом множестве одни и те же решения, т.е. каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого,или же оба не имеют решений.

21. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и разности двух аргументов. Формулы двойного аргумента. Формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведения и произведений в суммы.у = sinx

Ф ункция у = sinx определена на всей числовой прямой.Def(sinx) = (– ∞; + ∞);E(sinx) = [–1; 1].Так как О.О. симметрична относительно 0, то проверим равенство sin(–x) = –sinx.Функция нечетная. В самом деле. sin(−х) = − sin х нечетная; sin(x + 2πn) = sin(x). Число 2πn также период функции. Число 2π – наименьший положительный период. Функция у = sinx принимает максимальное значение, равное 1. Это в точках х = п/2 + 2пk,где k .И минимальное значение,равное –1, в точкахх = – п/2 + 2пk, где k z.

у = cosx : Функция у = cosx определена на всей числовой прямой.Def(cosx) = (– ∞; + ∞);E(cosx) = [–1; 1].Так как О.О. симметрична относительно 0, то проверим равенство cos (–x) = cosx.Функция четная. В самом деле. cos(−х) = cosх четная ; cos(x + 2πn) = cos (x). Число 2πn также период функции. Число 2π – наименьший положительный период Функция у = cosx принимает максимальное значение, равное 1. Это в точках х = 2пk,где k z.И минимальное значение,равное –1, в точках х = п + 2пk, где k z.

Функции тангенс и котангенс: Числовые функции, заданные равенствами у = tg x и y = ctg x, называются соответственно тангенсом и котангенсом. Областью определения тангенса является множество всех чисел х, для которых cos x ≠ 0. Областью определения котангенса является множество всех чисел х, для которых sin x ≠ 0. Множество значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, т.е. R. Тангенс и котангенс являются нечетными функциями tg(−α) = − tg α; ctg(−α) = − ctg α.

Л иния тангенсов: Прямая ОР проходит через начало координат и точку Р(cosα ; sinα). Ее уравнение y = tg α∙x.Абсцисса точки Т, лежащей на этой прямой, равна 1. Найдем ординату из уравнения прямой. Получим tg α.

Ч тобы найти значение тангенса для конкретного аргумента х, надо изобразить линию тангенсов, отложить на единичной окружности аргумент х, через полученную точку и начало координат провести прямую до пересечения с линией тангенсов, ордината полученной точки будет значением тангенса.

Линия котангенсов: Период функции равен пk, где k z ,

т о есть ctg(x) = ctg(x + пk), где k z .Наименьший положительный период равен п (при k = 1).

Функция у = 1/cosx называется секонсом:y = 1/cosx = secx. Ее область определения: все то множество х, где cosx ≠ 0, т.е. х ≠ π/2 + πk, где k є Z. Функция y = 1/sinx называется косеконсом: y = 1/sinx = cosecx.Def(1/sinx) – это то множество х, гдеsinx ≠ 0, т.е. х ≠ πn, где n є Z. Шесть тригонометрических функций sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx Правило, как запомнить: sinx ∙ cosecx = 1; cosx ∙ secx = 1; tgx ∙ ctgx = 1.

Четность, нечетность тригонометрических функций: Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией, т.е. sin(−α) = − sin α; cos(−α) = cos α; tg(−α) = − tg α; ctg(−α) = − ctg α.

Т еорема. Для любых действительных чисел α и β справедливо равенство cos (α + β) = cos α ∙cos β − sin α ∙sin β .Для док-ва понадобится формула длины отрезка, концы которого заданы своими координатами: точки А(х1; у1) и В(х2; у2). АВ = Δ АОР = Δ NОМ(1 признак) => РА =MN.Координаты точек:Р(cos(α + β); sin (α + β)); A(1; 0);M(cos α; sin α);N(cos(−β); sin(−β)) = N(cosβ; sin(−β)). PA² = MN² PA² = (cos(α + β) − 1)2 + (sin(α + β)) − 0)2 = 1 − 2 cos(α + β) + cos2(α + β) + sin2(α + β) = 1 − 2 cos(α + β) + 1 = 2 − 2 cos(α + β).MN² = (cos α − cos β)2 + (sin α − sin(− β))2 = cos2α − 2cosα cos β + cos2β + sin2α − 2sinα sin(− β) + sin2 (− β) =1 − 2cos α cos β + 1 + 2sin α sin β = 2 − 2cos α cos β + 2sin α sin β. Подставим в равенство PA² =MN² . PA²= MN² 2 − 2 cos(α + β) = 2 − 2cosα cos β + 2sinα sin β; − 2 cos(α + β) = − 2cosα cos β + 2sinα sin β;Сократим на − 2:cos (α + β) = cos α ∙cos β − sin α ∙sin β. (1)Теорема доказана.Теорема 2: cos (α − β) = cos α ∙cos β + sin α ∙sin βДок-во. Заменим в доказанной формуле cos (α + β) = cos α ∙cos β − sin α ∙sin β число β на число β1 = − β. Получим cos (α + β1) = cos α ∙cos β1 − sin α ∙sin β1 или cos (α − β) = cos α ∙cos(−β) − sin α ∙sin(− β) .Учитывая, что cos(−β) = cosβ и sin(− β) = −sinβ,cos (α − β) = cos α ∙cosβ + sin α ∙sin βПолучим формулы приведения: cos (α + β) = cos α ∙cos β − sin α ∙sin β (1)Подставим β = π :cos (α + π) = cos α ∙cos π − sin α∙sin π = − cos α. β = π/2 :cos (α + π/2 ) = cos α∙cos π/2 − sin α∙sin π/2 = − sin α Итак, cos (π + α) = − cos α.cos (π/2 + α) = − sin αТеоремы сложения для синуса: sin(α + β) = sinα ∙cos β + cos α ∙sin β (5)sin(α − β) = sinα ∙cos β − cos α ∙sin β (6)Док-во . Из формулы (3) sin(α + β) = cos (π/2 − (α + β)) == cos((π/2 − α)− β) = cos (π/2 − α)∙cos β + sin(π/2 − α) ∙sin β = sin α∙cos β + cosα ∙sin β.Итак, sin(α + β) = sinα ∙cos β + cos α ∙sin β . Подставим в формулу (5) вместо β число −β. sin(α + β) = sinα ∙cos β + cos α ∙sin β (5)Получим формулу (6):sin(α − β) = sinα ∙cos β − cos α ∙sin β (6) Формулы двойного аргумента: Подставим в формулу (1) вместо β число α: cos (α + α) = cos α ∙cos α − sin α ∙sin α cos2α = cos2α − sin2α (7) Аналогично подставим в формулу (5):sin(α + α) = sinα ∙cos α + cos α ∙sin α sin2α = 2 sinα ∙cosα . Формулы понижения степени: Имеем cos2α = cos2α − sin2α . Из тригон. единицы sin2α = 1− cos2α . cos2α = cos2α − (1 – cos2α ) = 2 cos2α − 1. Отсюда 2 cos2α = 1 + cos2α . Или

Преобразование произведений в суммы : sin(x + y) = sinx cosy + siny cosx.sin(x − y) = sinx cosy − siny cosx.Сложим оба равенства, получим sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sinx cosy, или 2 sinx cosy = sin(x + y) + sin(x − y) .sinx cosy = 1/2 (sin(x + y) + sin(x − y)) и так для всех остальный sinx cosy; sinx siny;cosx cosy

Сумма синусов в произведение: Или х = α + β, у = α − β.sinx = sin(α + β) = sinα ∙cos β + cos α ∙sin β . siny = sin(α − β) = sinα ∙cos β − cos α ∙sin β .Сложим почленно: sinx + siny = 2 sin α ∙cos β; или sinx + siny = 2 sin((х + у)/2) ∙cos((х − у)/2) и так для всех остальный.