9.Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей
Пример 
.
– правильная дробь. Разложим знаменатель
на простейшие сомножители, получим:
.
Корни знаменателя:
- кратности 2 и
– простые корни.
Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:
.
Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:
.
Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.
Откуда
,
,
.
Чтобы
найти коэффициент
составим уравнение, приравнивая
коэффициенты при
слева и справа в тождестве.
Получим
уравнение: 
Откуда
.
Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.
10.Интегрирование иррациональных функций
Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.Наиболее часто встречаются иррациональности вида:
;
– несократимые дроби.
Рекомендуется
подстановка:
,
где
– наименьшее общее кратное знаменателей
дробей (н.о.к.)
.
;
Подстановка:
,
где
н.о.к.
.
.
Подстановка:
,
где
н.о.к.
приводит подынтегральную функцию к
рациональному виду.
; Подстановка:
,
.
; Подстановка:
,
.
; Подстановка:
,
.
Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .
;
Подстановка: , где н.о.к. .
.
Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.
приводится к одному из видов в п. II
методом выделения полного квадрата
трехчлена, стоящего под корнем квадратным.
12-13. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.
− рациональная функция от
и
.
Это означает, что над аргументами
производятся только рациональные
операции: сложение, вычитание, умножение,
деление, возведение в целые степени
(положительные и отрицательные). Интегралы
этого вида приводятся к рациональной
функции от
универсальной тригонометрической
подстановкой:
,
.
Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.
Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.
.
Где и – целые положительные числа. Если и – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,
,
.
Пример
=
=
Если одно из чисел или – нечетное, или и – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену
(или
)
–
.
Пример
=
=
=
.