§4. Уравнение Шрёдингера

1. Уравнение Шрёдингера. В 1925 г. австрийский физик Эрван Шрёдингер, основываясь на общих соображениях, сконструировал дифференциальное уравнение для волновой функции Де Бройля (подробнее см. [1], с.с. 137-178).

. Общее уравнение Шрёдингера (4.1)

Здесь – мнимая единица, ħ=h/2π, m – масса частицы, U – потенциальная энергия частицы, функция координат, t – время, ∆ – оператор Лапласа.

Для систем в стационарном состоянии, когда все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени, уравнение Шрёдингера имеет вид:

. Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний (4.2)

Здесь E – полная энергия системы. В случае стационарного поля она остаётся постоянной.

Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Его справедливость доказывается тем, что все вытекающие из него следствия очень хорошо согласуются с ответом. Поэтому до настоящего времени уравнение Шрёдингера вызывает у некоторых физиков чувство полумистического восхищения.

2. Вероятностный смысл функции Ψ. В том же 1926 г. немец Макс Борн показал, что функция Ψ имеет вероятностный смысл. Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности p нахождения частицы в точке пространства, . Вероятность P нахождения частицы в объёме пространства V находится интегрированием.

(4.3)

Из вероятностного смысла волновой функции Ψ следует, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить положение частицы в пространстве или определить траекторию её движения. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местонахождении частицы или о траектории её движения некорректно. С помощью волновой функции Ψ можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в разных по величине и положению объёмах пространства.

3.Частица в одномерной потенциальной яме. Математический аппарат квантовой механики очень труден. Число задач, в которых уравнение Шрёдингера решается точно, невелико. В большинстве задач решения приближённые. Они изучаются в курсах теоретической физики.

Самая простая задача о движении частицы в одномерной потенциальной яме рассматривается здесь для того, чтобы познакомиться с некоторыми понятиями квантовой механики и убедиться в том, что условия квантования энергии заложены в самом уравнении Шрёдингера.

Рассмотрим состояние частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Это значит, что потенциальная энергия U частицы удовлетворяет условиям:

(4.4)

Здесь l – длина потенциальной ямы вдоль оси ОX.

Так как в задаче нет изменяющихся во времени силовых полей, то она соответствует уравнению Шрёдингера для стационарных состояний (4.2). В декартовых координатах, в которых составлена задача, выражение ∆Ψ имеет вид:

(4.5)

Задача одномерная, члены, содержащие переменные y и z, выпадают. Уравнение (4.2) упрощается. (Напомним, что в яме U = 0).

или (4.6)

Покажем, что стенки ямы непроницаемы для частицы. Выйти за пределы ямы она не может. Отсюда следуют граничные условия для волновой функции Ψ.

(4.7)

Обозначим коэффициент Тогда

(4.8)

Это уравнение напоминает уравнение движения незатухающего гармонического осциллятора. Разница в том, что в осцилляторе независимая переменная – время t. Здесь независимая переменная – координата x. Решение уравнения (4.8) имеет вид:

(4.9)

4. Квантование энергии. Найдём по условиям задачи постоянные интегрирования А и α. Воспользуемся вначале краевыми условиями (4.7).

(4.10)

Из первого условия вытекает (Случай А = 0 приводит к тому, что в любой точке ямы. Но это возможно лишь при отсутствии там частицы, что противоречит условию задачи).

Из второго условия также нельзя определить амплитуду А. Но из него вытекает условие квантовой энергии частицы.

Действительно, При и отсюда следует:

где n = 1, 2, 3, ... (4.11)

Условие n = 0 нужно исключить, так как здесь получается А это значит Ψ = 0 при любых x.

Итак, из условия (4.11) следует:

(4.12)

В уравнении Шрёдингера уже заложен дискретный спектр значений энергии частицы Е. Уравнение Шрёдингера (4.8) имеет решение не при любых значениях Е, а лишь при некоторых, определяемых формулой (4.12). Эти избранные значения Е называются собственными значениями параметра, в данном случае, собственными значениями энергии Е.

5. Нормировка волновой функции. Вторая постоянная интегрирования – амплитуда А функции Ψ находится из условия нормировки. Суть этого условия в том, что достоверно известно, что частица находится в яме. Вероятность P пребывания частицы в яме равна 1. Отсюда

(4.13)

Так как то

Итак, (4.14)

Решение уравнения (4.8) имеет вид:

(4.15)

Значения Ψ, удовлетворяющие уравнению Шрёдингера, называются собственными функциями уравнения Шрёдингера.

На рис. 16а слева показан график функции Ψ в яме при разных квантовых числах n = 1, 2, 3, … То, что значения Ψ в каждой точке пространства не меняется во времени (стационарная задача) позволяет толковать её как стоячую волну, образованную сложением бегущей волны (слева направо) с упруго отражённой от стенки x = l (справа налево).

При n = 1 наиболее вероятное пребывание частицы в области середины ямы x = l/2. При n = 2 обнаружить частицу в центре маловероятно. Зато с одинаковой вероятностью можно найти её вблизи центров x = l/4 и x = 3l/4 «половинок» ямы.

Длина волны λ, характеризующая волну Ψ, найдётся из уравнения: Отсюда,

6.Коплексная форма функции Ψ. Пусть вдоль оси ОХ двигается фотон с энергией и импульсом В классическом приближении фотону соответствует электромагнитная волна – бесконечная синусоида.

(4.16)

Физически здесь А – напряжённость электрического поля волны. Фазу волны можно представить через энергию и импульс фотона. Так как то

(4.17)

Волновая функция фотона есть

(4.18)

То, что величина А есть напряжённость электрического поля, для описания волновых свойств фотона не имеет принципиального значения. Выражение (4.18) можно формально применить для описания волновых свойств и других нейтральных частиц – нейтрино, нейтрона ...

Для описания волновых свойств электрически заряженных частиц в волновую функцию добавляется ещё мнимая часть.

(4.19)

Здесь – мнимая единица. Компактнее в записи и удобнее в преобразованиях не тригонометрическая, а экспоненциальная форма записи функции Ψ. Так как по формуле Эйлера (4.20)

то (4.21)

Квадрат модуля комплексной функции есть произведение этой функции Ψ на сопряжённую Ψ^*.

7. Ротатор. Квантование момента импульса. Ротатором в квантовой механике называется неизменная вращающаяся система, состоящая из частицы массой m c угловой степенью свободы. То есть полагается, что частица может двигаться по окружности радиуса r со скоростью v. Координатой движения является угол поворота φ. Поскольку система квантовая, то по окружности движения частицы должна распространятся волна Де Бройля.

Решение уравнения Шрёдингера для обоснований условий квантования момента импульса ротатора является сложной математической задачей. Поэтому сформулируем здесь основные итоги.

В отличие от классической механики в квантовой механике определённые значения одновременно могут иметь только квадрат момента импульса L² и одна из проекций момента импульса на координатную ось, например L_z.

а. Квадрат момента импульса L² принимает дискретный ряд значений,

где l = 0, 1, 2, … (4.22)

так называемое азимутальное квантовое число.

В зависимости от энергетического уровня число l может принимать значения от 0 до п – 1, где п – главное квантовое число.

б. Проекция момента импульса на произвольную ось Z также принимает дискретный ряд значений,

где m = 0, ±1, ±2, … (4.23)

так называемое магнитное квантовое число.

в. Проекция момента импульса на произвольную ось Z не может превосходить его модуля или (4.24)

Отсюда следует, что максимально возможное значение числа как целого числа равно l. Даже при m = l Это обусловлено тем, что направление момента импульса в пространстве является неопределённым.

Заметим, что произвольная ось Z задаётся в эксперименте обычно с помощью электрического или магнитного поля. В этом случае в качестве оси Z берут направление силовых линий поля. Неопределённость ориентации момента импульса L квантовой системы не есть лишь свидетельство размытости момента импульса в пустом пространстве. Оно остаётся неопределённым и при наличии внешнего воздействия со стороны поля.

Квантовое число m определяет ориентацию момента импульса L относительно оси Z при l = 1. Модуль момента импульса Это радиус сферы, в которой вписаны три конуса с вершинами в центре сферы. При m = 0 конус вырождается в диск, L_z = 0. При m=+1 получаем конус в верхней части, его высота L_z равна +ћ. При m = –1 получаем конус в нижней части, его высота L_z = –ћ. То, что известна одна проекция на ось, можно толковать так, что вектор прецессирует по стенке конуса.

Если l увеличить, например l = 2, то модуль L также увеличивается, Радиус сферы стал больше. Но больше стало и число возможных ориентаций вектора , m = 0, ±1, ±2. В результате проекции L_z по-прежнему кратны ћ.

Заметим, что углы между векторами при l = 2 неодинаковы. Угол при вершине конуса m = +2 равен 35°, а при m = +1 равен 66° (между осью Z и образующей).

8. Принцип причинности в квантовой механике. Классическая механика, описывая движение макротел, создаёт детерминированную, то есть причинно собственную картину мира. Это означает следующее.

Пусть имеется система конечного числа материальных точек m₁, m₂, …m_i в определённом силовом поле. Известно уравнение движения каждой материальной точки этой системы.

... ... (4.25)

Здесь к – число частиц в системе, - суммарная сила, действующая на i-тую частицу.

Принцип причинности утверждает, что если известны начальные условия этой системы, то есть координаты и импульсы всех материальных точек в некоторый момент времени, то состояние системы определено на любой момент времени как в прошлом, так и в будущем.

Положение не меняется, если в систему входят не только материальные точки, но и тела. Нужно лишь, чтобы их механические параметры были известными.

Исходя из открытого им принципа неопределённостей, Гейзенберг предположил, что принцип причинности в микромире нарушается. Поскольку нельзя однозначно определить координаты и импульсы микрочастиц в системе, то по мнению Гейзенберга, нельзя и спрогнозировать состояние микросистемы на какой-то момент времени.

Представляется, что этот вывод Гейзенберга неверен. Дело в том, что при переходе от макро- в микромир меняется группа понятий, описывающих состояние системы. Происходит переход от координаты и импульса к волновой функции Ψ. Причинность приобретает статистический характер. Динамический детерминизм переходит в статистический детерминизм.

9. Туннельный эффект – это чисто квантовое явление. Суть его в том, что микрочастица способна преодолевать энергетический барьер не только в тех случаях, когда её полная энергия Е больше потенциальной энергии U барьера. Это обычно в классической механике (инфинитное движение). Оказывается, существует отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу с энергией E<U по другую сторону барьера, что в классической механике исключено.

Рассмотрим два случая.

а. Взаимодействие частицы с потенциальным барьером. Пусть частица с полной энергией Е движется вдоль оси ОХ и взаимодействует с энергетическим барьером, высота которого U>E (рис. 17, вверху).

В общем случае вопрос ставится так: каков коэффициент отражения R частицы от стенки барьера и какова плотность вероятности обнаружить частицу в разных точках оси ОХ?

Вначале, решая уравнение Шрёдингера, отыскиваются волновые функции Ψ₁ и Ψ₂ в областях 1 и 2. Поскольку Ψ – функция вдоль оси ОХ должна быть непрерывной, решения Ψ₁ и Ψ₂ на границе барьера в точке х = 0 «склеиваются».

Оказалось, что коэффициент отражения частицы от барьера R = 1, а коэффициент пропускания T = 1 – R = 0. Это соответствует классическим представлениям. Но плотность вероятности обнаружить частицу за барьером не равна нулю. Она определяется выражением:

(4.26)

Здесь m – масса частицы.

На рис. 17 внизу показана зависимость от глубины проникновения х для электрона (m=9,1·10^–31 кг) при высоте потенциального барьера U – E = 1 эВ. Принято А = 1. Плотность вероятности обнаружить частицу на границе барьера (х=0) , в глубине 0,1 нм – около 30%, в глубине 0,5 нм – 0,5%. И уже только в глубине 1 нм (10 атомных поперечников) и далее становится исчезающе малой величиной.

Итак, микрочастицы отражаются от потенциального барьера, но не как от непроницаемой стенки, а проникая на некоторую глубину. Это похоже на полное внутреннее отражение световой волны на границе с оптически менее плотной средой, когда волна «провисает» сквозь границу на некоторую глубину, соизмеримую с длиной λ.

б. Взаимодействие частицы с барьерной стенкой конечной толщины. Пусть частица с энергией Е, двигаясь вдоль оси ОХ, взаимодействует со стенкой высотой U>E и толщиной d (рис. 18, вверху). Области 1 и 3 по обе стороны стенки одинаковы.

Оказалось, что коэффициент пропускания Т определяется выражением:

(4.27)

Так как Т ≠ 0, то R ≠ 1. Не всегда микрочастица отражается от стенки. Существует отличная от нуля вероятность, что частица пройдёт сквозь стенку. Плотность вероятности уменьшается с толщиной стенки d очень быстро. На рис. 18 внизу показана зависимость коэффициента пропускания Т для электрона от толщины стенки d при высоте потенциального барьера U – E = 5 эВ. При d = 0,1 нм Т = 10%, при d = 0,2 нм Т ≈ 1%. При d>0,5 нм величина Т становится исчезающе малой.

Прохождение через потенциальный барьер не сопровождается изменением энергии частицы. Она выходит из пределов барьера с той энергией, с какой в него попадает. В выражении «туннельный эффект» подчёркивается тот факт, что частица не взбирается на вершину барьера. Она проходит сквозь него.