1.Основные определения кинематики (механическое движение, механическая система, материальная точка, абсолютно твердое тело, система отсчета).

Кинематика раздел механики, в кот. Описывается мех. движ. без указания причин такого движения.

Механическое движение изменение положения тела в пространстве относительно других тел, с течением времени. Механическая система – совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых, как единое целое.

Механическая точка тело, размерами и формой кот. можно пренебречь в условиях данной задачи.

Абсолютно твердое тело тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным. Система отсчета тело отсчета, система координат, жестоко связанная с телом отсчёта и часы, т.е. прибор для измерения промежутков времени между событиями.

2.Векторный (координатный) способ задания положения материальной точки в пространстве. Кинематические уравнения движения.

Координатный способ задания положения м.т. положение м.т. в пространстве можно задать радиус вектором (вектор, проведенный из начала координат к м.т.)

r=xi+yj+zk

Кинематические уравнения движения материальной точки - функциональные зависимости координат от времени, выражающие чакон движения материальной точки: или r=r(t)

Рис.1 стр.4

3.Путь и перемещение материальной точки. Мгновенная скорость, средняя скорость, средняя путевая скорость материальной точки.

Траекторией движ. матер. точки назыв. линия описываемая матер. точкой при ее движении относительно данной системы темы отсчета.

Длиной пути назыв. расстояние l, измеряемое вдоль траектории в направлении движ. матер. точки за данный промежуток времени.

Перемещением S за данный промежуток времени назыв. вектор, соединяющий начальное и конечное положение матер. точки.

Мгновенная скорость предел средней скорости за бесконечно малый промежуток времени. Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения в данной точке траектории.

Средней скоростью матер. точки за данный промежуток времени или на данном участке пути назыв. отношение перемещения за данный промежуток времени к этому промежутку времени: <V>=

Средней путевой скоростью матер. точки за данный промежуток времени иди на данном участке пути называется отношение дли­ны пути l к промежутку времени t, за который этот путь пройден: <V>=

Скоростью матер. точки в момент времени t назыв. век­тор, равный первой производной от радиус-вектора по времени:

V= Или V=

Размерность скорости в системе СИ: [ V ] = м/с.

V= ; V= ;

Вектор V направлен по касательной к траектории материальной точ­ки в сторону ее движения.

Пусть - единичный вектор, направленный по касательной к траек­тории в данной точке в сторону движения

Модуль перемещения | dr | равен длине пути dl за малый промежуток времени dt

| dr | = dl

Тогда элементарное перемещение материальной точки

dr=| dr | = dl

Скорость V=V

Путь, пройденный матер. точкой за время от момента до

4.Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения.

Ускорение первая производная от скорости по времени или вторая производная то радиус вектора по времени.

Нормальное

Тангенсальное

Модуль тангенсального ускорения характеризует быстроту изменения модуля скорости м.т.

Модуль ускорения

5.Вычисление пути и перемещения материальной точки.

Равномерное прямолинейное:

Равнопеременное прямолинейное:

6.Кинематика вращательного движения твердого тела (вектор элементарного поворота, угловая скорость, угловое ускорение).

Вектор элементарного угла поворота – вектор, модуль которого равен самому углу поворота dφ за промежуток времени dt, направленный вдоль лси вращения по правилу правого буравчика: если рукоятку буравчика вращать в сторону увеличения угла φ, то поступательное движение буравчика даст направление вектора dφ). Угловая скорость – отношение вектора элементарного угла поворота dφ к некоторому промежутку времени dt, в течение которого происходил этот поворот. Угловое ускорение – первая производная от угловой скорости по времени.

7.Частные случаи вращательного движения (равнопеременное вращение, равномерное вращение, частота, период вращения).

Равномерное вращение – такое вращение тела вокруг неподвиж оси, при котором угловая скорость = const.

Кинематич.урав.равномерного вращ. Мат.точки вокруг неподвиж.оси имеет вид:

Частота – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности в единицу времени. v=1/T Период – время, за которое точка совершает один полный оборот. Равнопеременное вращение – такое вращение тела вокруг неподвиж оси, при котором е при котором угловое ускорение = const.

Кинематич.урав.равнопеременного вращ. Мат.точки вокруг неподвиж.оси имеет вид:

8.Связь угловых и линейных характеристик вращательного движения (тангенциальное ускорение, нормальное ускорение).

1. Найдём связь лин.скорости V мат.точки с угловой скор.

Пусть за время dt мат.т.М повернулась на элементарный угол поворота d вокруг неподвиж. Оси ОО` и прошла путь dl

Рис.9 стр.11

dl=Rd или тогда V= = = докажем это

V= = т.к. V=

2.Найдём ускорение а мат.точки через угловые характеристики:

=

Рис.10 стр.12

= т.к. то Rn

Следовательно – тангенциальное ускорение

Rn - нормальное ускорение

9.I закон Ньютона. Сила, масса, ускорение. II закон Ньютона. III закон Ньютона.

1 закон Ньютона: м.т. сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, пока внешняя сила не выведет ее из этого состояния. Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или деформируется. Масса – скалярная величина, которая является мерой инертности тела. Масса – величина аддитивная, те масса всего тела равна сумме масс частей этого тела Ускорение – первая производная от скорости по времени или вторая производная от пути по времени.

2закон Ньютона: скорость изменения импульса м.т. равна действующей на нее силе.

3закон Ньютона: две м.т. действуют друг на друга с силами равными по модулю, и направленными в противоположные стороны, вдоль прямой, соединяющей эти точки.

10.Импульс тела. Элементарный импульс силы.

Импульс тела – величина, численно равная произведению массы на скорость тела и имеющая направление. Количество движения. Элементарный импульс силы F за малый промежуток времени в течении кот. она действует назыв.

11.Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского. Уравнение Циолковского.

Произведем вывод уравнения движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за промежуток времени dt

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

dp=mdv+udm

здесь учтено, что dmdv - малое высшего порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми. Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому

Fdt= mdv+udm

или (1) Второе слагаемое в правой части (1) называют реактивной силой . Если u противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

ma=F+ (2) которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).

Рассмотрим случай отсутвтия воздействия внешних сил на ракету. Положим в уравнении (1) F=0 и будем считать, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим откуда v= =

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени стартовая масса m0, а ее скорость ракеты равна нулю, то С = uln(m0). Следовательно,

v=

Это соотношение называется формулой Циолковского.

Выражения (2) и (3) верны для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

12.Работа и механическая энергия.

Работа – скалярное произведение силы на перемещение.

_Или

Механическая энергия – мера механического движения тел и механического воздействия системы тел друг с другом и с внешними телами.

13.Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Закон сохранения механической энергии консервативной системы.

Консервативные силы силы, действующие в потенциальных полях.

Неконсервативные силы, что не принадлежат к консервативным:

- силы трения, которые возникают при скольжении одного тела по поверхности другого

- силы сопротивления, которых испытывает тело, двигаясь в жидкой или газообразной среде. Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Закон сохранения энергии консервативной системы: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы (внутренние и внешние).

14.Динамика вращательного движения твердого тела (основное уравнение).

производная по времени момента импульса механической системы относительно неподвижной точки равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к системе относительно той же точки.

15.Моменты силы и импульса относительно неподвижной точки и оси.

Момент силы относительно точки: векторное произведение радиус вектора r проведенного из неподвижной точки к точке приложения силы на эту силу.

M=[rF]

Неподвижной оси: проекция на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки, взятой на этой оси.

Момент импульса относ.точки: векторное произведение радиус вектора r проведенного из неподвижной точки к мат.точке на импульс м.точки. L=[rP].

Момент импульса относ.оси назыв.проекция на эту ось вектора мом.импульса относит.произвол.точки, выбранной на этой оси.

16.Моменты инерции материальной точки, системы материальных точек и тела относительно оси. Теорема Штейнера (с доказательством).

Момент инерции м.т.: произведение массы на квадрат ее расстояния до оси. М системы материальных точек тела относительно оси: сумма произведения масс на квадрат их расстояния до оси.

Момент инерции тела:

Т. Штейнера (док.) – мом.инерции тела относительно произвол. Оси = сумме мом. Инерции тела относ.оси, провед.через центр асс, параллельно данной и проведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Пусть – мом.инерции тела относ.произвол. оси ОО`; – момент инерции тела относительно оси, проход.через центр масс тела, через тС,параллельно оси ОО`; а – расстояние между ними; m – масса тела

Тогда:

Рис.12 стр.23

Пусть dm-малый элемент тела.Проведём вектора a, ,

=

Рис.13 стр.24

По теореме косинусов: =

Умножим обе части и проинтегрируем:

– координата элемента dm в системе координат с началом в центре масс тела. Координата центра масс: , но т.к. и , то или :

17.Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Работа и мощность для вращательного движения тела.

Кинетическая энергия всего тела:

Работа

За время dt сила F совершает работу

Т.к. dr=Rd то

Элементар.работа во вращ.движ. имеет вид:

Мощность подставим получим N=M

18.Центр масс и закон его движения.

Центром масс или центром инерции системы материальных точек или механической системы называется точка С, радиус-вектор которой равен отношению суммы произведений масс всех материальных точек сис­темы на их радиус-векторы к массе всей системы:

В случае непрерывного распределения массы:

Скорость центра масс мех. системы равна отношению импульса этой системы к ее массе

Т.е.

Закон движ.центра масс:

19.Абсолютно упругий и неупругий удары. Примеры прямого, центрального соударения шаров.

Ударом назыв. явление изменения скоростей тел на конечные знач. за очень короткий промежуток времени, происходящее при их столкновениях.

Общая нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения назыв. ливней удара.

Удар называется прямым, если перед ударом скорости центра масс (соударяющихся тел параллельны линии удара.

Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник.

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара. При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии. Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.