Основные определения

Граф задается в виде пары множеств G = (V, E), где V - конечное множество элементов,  E - множество бинарных отношений между элементами.

Элементы называются вершинами, а бинарные отношения - ребрами или дугами.

Графы делятся на ориентированные (орграфы) и неориентированные графы.

В ориентированном графе (орграфе) бинарные отношения между вершинами упорядочены, то есть отношения между парой вершин u, v (u, v}   (v, u). В орграфе такие отношения называются дугами. Дуги  направлены от одной вершины к другой.

 

В неориентированном графе отношения симметричны, то есть (u, v) = (v, u). В неориентированном графе нет дуг, связи называют ребрами.

 

Под взвешенным графом  понимается граф, ребрам которого поставлены в соответствие числа - веса или цены, или стоимости. Весовая функция графа  W - это отображение множества весов на множество ребер графа. Весовая функция может храниться в структуре графа (списках смежности или матрице смежности) или в отдельной матрице весов.

Подграфом  графа G(V, E) является граф G'(V', E') такой, что V' V и E' E.

Для орграфа приняты понятия входящих и выходящих дуг.

Для неориентированного графа используется понятие инцидентного ребра.

Для вершины 1 в орграфе есть одна выходящая и одна входящая дуга, в неориентированном графе вершина 1 имеет 3 инцидентных ребра.

Для графов введено понятие смежных вершин. В орграфе с дугой (u, v) вершина v является смежной с вершиной u, если дуга (u, v) - выходящая для u и входящая для v. В неориентированном графе с ребром (u, v) вершина v -  смежная с вершиной u и наоборот, вершина u - смежная с вершиной v.

В орграфе вершина 1 -  смежная с вершиной 4 , но вершина 4 - не смежная с вершиной 1.

В неориентированном графе 1 и 4 - смежные друг другу.

Степенью вершины в неориентированном графе называется число инцидентных ей ребер. В орграфе различаютисходящую и входящую степени. Сумма исходящей и входящей степеней вершины называется степенью вершины орграфа.

Путь длины k из вершины u в вершину v определяется как последовательность вершин <v₀, v₁, v₂, ...,v_k>, в которой v₀=u, v_k = v и (v_i-1, v_i) E для всех i=1, 2, …,k. Вершина u называется началом пути, v - концом пути. 

Под взвешенной длиной пути во взвешенном графе понимается сумма весов ребер, соединяющих вершины пути <v₀, v₁, v₂, ...,v_k>.

Если для вершин u и v существует путь P, то вершина v достижима из вершины u по пути P.

Простой путь не содержит одинаковых вершин и ребер.

Циклом в графе называется путь, в котором начальная  вершина совпадает с конечной. Цикл называется простым,если в нем нет одинаковых вершин кроме первой и последней. Граф, не содержащий циклов, называется ациклическим.Граф,  содержащий хотя бы один цикл,  называется циклическим.

Неориентированный граф называется связным, если для любой пары вершин существует путь. В неориентированном графе отношение достижимости является отношением эквивалентности на множестве вершин. Такое множество называется связной компонентой.

Орграф называется  сильно связным, если из любой его вершины достижима любая другая вершина.

Любой орграф можно разбить на сильно связные компоненты, которые определяются как классы эквивалентности сотношениями "u достижимо из v" и "v достижимо из u".

Орграф сильно связен тогда, когда состоит из одной сильно связной компоненты.

Два графа G = (V, E) и G' = (V', E') называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие f : v   v' между множествами их вершин, при котором ребрам одного графа соответствуют ребра другого графа.

 

Полным графом называется неориентированный граф, содержащий все возможные ребра для данного множества вершин, то есть любая вершина смежна с любой другой.

Неориентированный граф (V, E) называется двудольным, если множество вершин можно разбить на две части таким образом , что концы любого ребра окажутся в разных частях.

Ациклический неориентированный граф называется лесом, связный ациклический неориентированный граф называется деревом без выделенного корня.