Постановка задачи линейного программирования и свойства ее решений

     Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.      Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.      Формы записи задачи линейного программирования:      Общей задачей линейного программирования называют задачу                          (2.1)      при ограничениях                       (2.2)                           (2.3)                            (2.4)                                   (2.5)       - произвольные                   (2.6)      где   - заданные действительные числа; (2.1) – целевая функция; (2.1) – (2.6) –ограничения;   - план задачи.      Пусть ЗЛП представлена в следующей записи:                                                        (2.7)                                         (2.8)                                             (2.9)      Чтобы задача (2.7) – (2.8) имела решение, системе её ограничений (2.8) должна быть совместной. Это возможно, если  r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r=n система имеет единственное решение, которое будет при  оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n. В этом случае система векторов  содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, вообще говоря, может быть несколько, но не более  . Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n – rпеременных будут свободными, их обозначают СП. Не ограничивая общности, будем считать, что базис составляют первые mвекторов  . Этому базису соответствуют базисные переменные  , а свободными будут переменные  .      Если свободные переменные приравнять нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом).      Теорема. Если система векторов   содержит m линейно независимых векторов  , то допустимый план                                         (2. 10)      является крайней точкой многогранника планов.      Теорема. Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.

17) Эксперимент (от лат. experimentum — проба, опыт), метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления действительности. Отличаясь отнаблюдения активным оперированием изучаемым объектом, Э. осуществляется на основе теории, определяющей постановку задач и интерпретацию его результатов. Нередко главной задачей Э. служит проверка гипотез и предсказаний теории, имеющих принципиальное значение (так называемый решающий Э.). В связи с этим Э., как одна из форм практики, выполняет функцию критерия истинности научного познания в целом.

Эксперимент, метод исследования возник в естествознании нового времени (У. Гильберт, Г. Галилей).Впервые он получил философское осмысление в трудах Ф. Бэкона, разработавшего и первую классификацию Э. (см. Соч., т. 1, М., 1971, с. 299—310). Развитие экспериментальной деятельности в науке сопровождалось в теории познания борьбой рационализма и эмпиризма, по-разному понимавших соотношение эмпирического и теоретического знания. Преодоление односторонности этих направлений, начатое немецкой классической философией, нашло завершение в диалектическом материализме, в котором тезис о единстве теоретической и экспериментальной деятельности является конкретным выражением общего положения о единстве чувственного и рационального, эмпирических и теоретических уровней в процессе познания.

Современная наука использует разнообразные виды Э. В сфере фундаментальных исследований простейший тип Э.— качественный Э., имеющий целью установить наличие или отсутствие предполагаемого теорией явления. Более сложен измерительный Э. (см. Измерение), выявляющий количественную определённость какого-либо свойства объекта. Ещё один тип Э., находящий широкое применение в фундаментальных исследованиях,— так называемый мысленный Э. Относясь к области теоретического знания, он представляет собой систему мысленных, практически не осуществимых процедур, проводимых над идеальными объектами. Будучи теоретическими моделями реальных эксперимент, ситуаций, мысленные Э. проводятся в целях выяснения согласованности основных принципов теории. В области прикладных исследований применяются все указанные виды Э. Их задача — проверка конкретных теоретических моделей. Для прикладных наук специфичен модельный Э., который ставится на материальных моделях, воспроизводящих существ, черты исследуемой природной ситуации или технического устройства. Он тесно связан с производств. Э. Для обработки результатов Э. применяются методы математической статистики, специальная отрасль которой исследует принципы анализа и планирования эксперимента.

С 20-х гг. 20 в. развиваются социальные Э. Они способствуют внедрению в жизнь новых форм социальной организации и оптимизации управления. Поэтому социальный Э., выполняя познавательную функцию, относится к сфере управления обществом. Объект социального Э., в роли которого выступает определённая группа людей, является одним из участников Э., с интересами которого необходимо считаться, а сам исследователь оказывается включенным в изучаемую им ситуацию. Содержание и процедуры социальных Э. обусловлены также правовыми и моральными нормами общества.

18) Оценка сложных систем может проводиться для разных целей. Во-первых, для оптимизации - выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы. Во-вторых, для идентификации - определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях. В-третьих, для принятия решений по управлению системой. Под оценкой понимают результат, получаемый в ходе процесса, который определен как оценивание.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем:

Этап 1. Определение цели оценивания. В системном анализе выделяют два типа целей:

Качественной называют цель, достижение которой выражается в номинальной шкале или в шкале порядка;

Количественной называют цель, достижение которой выражается в количественных шкалах. Определение цели должно осуществляться относительно системы, в которой рассматриваемая система является элементом (подсистемой).

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

I. Понятие и виды шкал

сложный система оценивание шкала

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.

Шкала – это средство фиксации результатов измерения свойств объектов путем упорядочивания их в определенную числовую систему, в которой отношение между отдельными результатами выражено в соответствующих числах. В процессе упорядочивания каждому элементу выборки ставится в соответствие определенный балл (шкальный индекс), устанавливающий положение наблюдаемого результата на шкале.

Шкалирование — это операция упорядочивания исходных эмпирических данных путем перевода их в шкальные оценки. Шкала дает возможность упорядочить наблюдаемые явления, при этом каждое из них получает количественную оценку (квантифицируется). Шкалирование помогает определить низшую и высшую ступени исследуемого явления.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов < X, ф, Y>, где X реальный объект, Y шкала, ф гомоморфное отображение X на Y.

В исследованиях применяют классификацию шкал, предложенную С.Стивенсоном (см. рис. 1), согласно которой четыре основных способа измерения, связанные с различными правилами, называют измерительными шкалами (номинальная, порядковая, интервальная и шкала отношений).

Выделяют следующие виды шкал:

1) Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам х. или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов. Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов, поэтому шкалы номинального типа часто называют также шкалами наименований.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.

2) Шкала называется ранговой (шкала порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам. Измерение в шкале порядка может применяться, например, в следующих ситуациях:

1.   необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. Это ситуация, когда интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением этих объектов;

2.   нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

3.   какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примером шкалы порядка может служить шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе. Другими примерами шкал порядка могут служить шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, различные социологические шкалы и т.п.

3) Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Тип шкал интервалов содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида ф (х) = ах + Ь, где

х ? Y шкальные значения из области определения Y; я > 0; Ъ любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах.

Примером шкал интервалов могут служить шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений: t °F = 1,8 t°C + 32.

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись означает, что расстояние между х{я х2 в К раз больше расстояния между х3 и х4 и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.

4) Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия ср (х) = ах, а> О, где X&Y- шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа.

Нетрудно убедиться, что в шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов. Действительно, пусть в одной шкале объектам ах и а2 соответствуют шкальные значения хх и х2, а в другой ф (jtj) = ах^ и ф (х2) - ах2 , где а > О - произвольное действительное число. Тогда имеем:

Данное соотношение объясняет название шкал отношений. Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.

Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

5) Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига ср (х) - х + Ь, где х е Y -шкальные значения из области определения Y; Ь действительные числа. Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств.

Примерами измерений в шкалах разностей могут служить измерения прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.

Другим примером измерения в шкале разностей является летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.

Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а: (а = 1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной.

Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

6) Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования:

ф (х) = {е}, где е(х) =х.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

II. Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах

Особенностью измерения и оценивания качества сложных систем является то, что для одной системы по разным частным показателям качества могут применяться любые из типов шкал от самых слабых до самых сильных. При этом для получения надежного значения показателя может проводиться несколько измерений. Кроме того, обобщенный показатель системы может представлять собой некую осредненную величину однородных частных показателей.

При измерении и оценке физических величин обычно трудностей не возникает, так как перечисленные величины измеряются в абсолютной шкале. Измерение, например, ряда антропометрических характеристик осуществляется в шкале отношений. Более сложной является оценка в качественных шкалах. Однако отдельные показатели в процессе системного анализа уточняются, и, как следствие, появляется возможность от измерения и оценки в качественных шкалах перейти к оценке в количественных шкалах.

В любом случае при работе с величинами, измеренными в разных шкалах, необходимо соблюдать определенные правила, которые не всегда очевидны. Иначе неизбежны грубые просчеты и промахи при оценке систем. Проиллюстрируем широко распространенную ошибку при использовании балльной оценки. Пусть для экспертизы представлены две системы А и Б, оцениваемые по свойствам y1, y2, у3, y4 . Качество каждой системы оценивается как среднеарифметическое по пятибалльной системе, но оценка в баллах является вследствие округления не совсем точной. Так, например, свойства, имеющие фактический уровень 2,6 и 3,4 балла, получат одинаковую оценку 3 балла. Результаты экспертизы приведены в табл. 1.

По фактическому качеству лучшей является система А, а по результатам экспертизы лучшей признают систему Б. Таким образом, способы измерения и обработки их результатов оказывают существенное влияние на результаты.

Избежать ошибок можно, используя результаты, полученные в теории шкалирования, они определяют правила и перечень допустимых операций осреднения характеристик.

Проводить осреднение допускается только для однородных характеристик, измеренных в одной шкале. Это означает, например, что не имеет физического смысла вычисление среднего значения скорости для мобильного абонентского пункта, если слагаемыми являются скорость передачи данных и скорость перемещения этого объекта. Иными словами, осредняются только такие значения уi , i = 1, ..., п, которые представляют собой или оценки различных измерений одной и той же характеристики, или оценки нескольких различных однородных характеристик.

Каждое значение показателя уi может иметь для исследователя различную ценность, которую учитывают с помощью коэффициентов значимости ct , причем

n

∑ сi = 1.

i=1

Для получения осреднённого значения показателя наиболее часто применяют основные формулы осреднения. ( Таблица 2. смотреть Приложение 2.)

Простая и взвешенные средние величины различаются не только по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении задач системного анализа. При этом средневзвешенные величины используются для сравнения систем с учетом вклада различных факторов в осредненную оценку. Например, среднее количество информации, получаемой из сети Интернет организацией, пользующейся услугами различных прикладных служб. Если эта средняя величина входит в систему показателей себестоимости, протоколов работы, типов используемых линий, то следует применять взвешенное среднее, так как произведение невзвешенного среднего на общую пропускную способность линий не даст количества полученной информации, поскольку служба электронной почты используется, например, значительно реже, чем WWW, и, следовательно, вносит меньший вклад в общее количество получаемой информации. Если же необходимо изучить связь количества получаемой информации с днем недели, то следует применять простое среднее количество информации за сутки, полностью абстрагируясь от различий между типами служб.

Среднеарифметическое используется в случаях, когда важно сравнить абсолютные значения какой-либо характеристики нескольких систем. Например, скорость вывода на печать текстов (лист/мин) для различных печатающих устройств.

Если при замене индивидуальных значений показателя на среднюю величину требуется сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин (измерение вариации характеристики в совокупности), то в качестве средней следует использовать среднеквадратичное. Например, при определении местоположения источника радиоизлучения в радиоразведке вычисляется среднеквадратичное отклонение нескольких измерений.

Среднегеометрическое, в свою очередь, используется для определения относительной разности отдельных значений при необходимости сохранения произведения индивидуальных величин тогда, когда среднее значение качественно одинаково удалено от максимального и минимального значений, т.е. когда важны не абсолютные значения, а относительный разброс характеристик. "Например, если максимальная производительность процессора на операциях с данными целочисленного типа составляет для сжатия текстового файла миллион условных единиц, а для сжатия изображений графических объектов сто, то какую величину считать средней? Среднеарифметическое (500 000) качественно однородно с максимальным и резко отлично от минимального. Среднегеометрическое по логике дает верный ответ: 10 000. В статистике среднегеометрическое находит применение при определении средних темпов роста.

Среднегармоническое используется, если необходимо, чтобы неизменной оставалась сумма величин, обратных индивидуальным значениям характеристик. Пусть, например, в режиме обмена данными средняя скорость передачи данных по прямому каналу составляет 64 Кбайт/с, а средняя скорость по обратному каналу 2,4 Кбайт/с. Какова средняя скорость обмена данными? При замене индивидуальных значений скорости у1 = 64 и у2 = 2,4 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время передачи в обе стороны, иначе средняя скорость может оказаться любой. Таким образом,

Yср = 2(1/64+1 /2,4) -1 ≈ 4,8 Кбайт/с.

Соотношение между разными типами средних величин определяется правилом мажорантности средних

СГр ≤ СГм ≤ СА ≤ СК.

Использование необоснованных способов определения средних величин может привести к искусственному завышению или занижению осредненного значения показателя качества системы. В качестве упражнения обучаемым предлагается определить свой средний балл за прошедшую сессию на основе перечисленных средних величин.

Сводные данные по характеристикам разных шкал и перечень допустимых операций осреднения характеристик приведены в табл. 3, откуда следует, что для величин, измеренных в номинальной шкале, никаких осреднений производить не допускается. Сводные данные по характеристикам разных шкал.Таблица 3. (смотреть в Приложении 3.)

Среднеарифметическое применимо для величин, измеренных в шкалах интервалов, разностей, отношений и абсолютной, но недопустимо для шкалы порядка. Более устойчивой оценкой среднего является медиана (50-процентный квантиль), которая рекомендуется как основной показатель для шкал порядка, интервалов, разностей, отношений и абсолютной.

Математическое ожидание допустимо для шкал интервалов, разнрстей, отношений и абсолютных, но не столь устойчиво, как медиана. Применение математического ожидания для величин, измеренных в шкале порядка, является некорректным. Среднегеометрическое является единственно допустимым средним для степенных и логарифмических шкал, а также одним из допустимых для шкалы отношений. Для шкалы отношений допустимы также средневзвешенное арифметическое, среднегармо-ническое и среднеквадратичное.

Средневзвешенное арифметическое, часто применяемое как обобщенный линейный критерий, допустимо использовать тогда и только тогда, когда значения частных показателей можно представить мультипликативным метризованным отношением линейного порядка или, другими словами, когда они измерены в шкале отношений.

Будущее развития теории шкалирования и ее применения для нужд математического обеспечения ИС связаны с дальнейшим развитием понятия измерения. Наиболее перспективным представляется расширение понимания шкалы путем привлечения понятий нечеткой и лингвистических переменных, используемых в теории нечетких множеств. Обобщение понятия характеристической функции путем перехода к понятию функции принадлежности μn ? [0,1], используемой в этой теории, создает базу для введения более тонкой структуры измерения качественных характеристик и учета неопределенностей, свойственных сложным системам, на основе понятия нечеткой шкалы. Например, пусть рассматриваемое нечеткое множество возраст людей. Нечеткими переменными (шкальными значениями), означающими возраст, являются лингвистические переменные «молодой», «средний», «старый» с приписанными им функциями принадлежности, которые можно определить так, как показано на (рис. 2.) При этом 20-летний человек относится к нечеткому подмножеству возраста «молодой» с функцией принадлежности μмол = 0,8, и он же с функцией принадлежности μср = 0,1 относится к нечеткому подмножеству возраста «средний». Рис. 2. Пример нечеткой шкалы. (смотреть Приложение 4.)

III. Шкала уровней качества систем с управлением

При оценивании качества систем с управлением признают целесообразным введение нескольких уровней качества, проранжированных в порядке возрастания сложности рассматриваемых свойств.

Первичным качеством любой системы является ее устойчивость. Для простых систем устойчивость объединяет такие свойства, как прочность, стойкость к внешним воздействиям, сбалансированность, стабильность, гомеостазис (способность системы возвращаться в равновесное состояние при выводе из него внешними воздействиями). Для сложных систем характерны различные формы структурной устойчивости, такие, как надежность, живучесть и т.д.

Более сложным, чем устойчивость, является помехоустойчивость, понимаемая как способность системы без искажений воспринимать и передавать информационные потоки. Помехоустойчивость объединяет ряд свойств, присущих в основном системам управления. К таким свойствам относятся надежность информационных систем и систем связи, их пропускная способность, возможность эффективного кодирования/декодирования информации, электромагнитная совместимость радиоэлектронных средств и т.д.

Следующим уровнем шкалы качества системы является управляемость способность системы переходить за конечное (заданное) время в требуемое состояние под влиянием управляющих воздействий. Управляемость обеспечивается прежде всего наличием прямой и обратной связи, объединяет такие свойства системы, как гибкость управления, оперативность, точность, производительность, инерционность, связность, наблюдаемость объекта управления и др. На этом уровне качества для сложных систем управляемость включает способность принятия решений по формированию управляющих воздействий.

Следующим уровнем на шкале качеств является способность. Это качество системы, определяющее ее возможности по достижению требуемого результата на основе имеющихся ресурсов в заданный период времени. Данное качество характеризуется такими свойствами, как результативность (производительность, мощность и т.п.), ресурсоемкость и оперативность. Итак, способность - это потенциальная эффективность функционирования системы, способность получить требуемый результат при идеальном способе использования ресурсов и в отсутствие воздействий внешней среды.

Наиболее сложным качеством системы является самоорганизация. Самоорганизующаяся система способна изменять свою структуру, параметры, алгоритмы функционирования, поведение для повышения эффективности. Принципиально важными свойствами этого уровня являются свобода выбора решений, адаптируемость, самообучаемость, способность к распознаванию ситуаций.

Введение уровней качества позволяет ограничить исследования одним из перечисленных уровней. Для простых систем часто ограничиваются исследованием устойчивости. Уровень качества выбирает исследователь в зависимости от сложности системы, целей исследования, наличия информации, условий применения системы.

IV. Методы качественного и количественного оценивания систем

Методы оценивания систем разделяются на качественные и количественные.

Качественные методы используются на начальных этапах моделирования, если реальная система не может быть выражена в количественных характеристиках, отсутствуют описания закономерностей систем в виде аналитических зависимостей. В результате такого моделирования разрабатывается концептуальная модель системы.

Простейшей формой задачи оценивания является обычная задача измерения, когда оценивание есть сравнение с эталоном, а решение задачи находится подсчетом числа эталонных единиц в измеряемом объекте. Например, пусть х - отрезок, длину которого надо измерить. В этом случае отрезку сопоставляется действительное число ф (х) - его длина.

Более сложные задачи оценивания разделяются на задачи: парного сравнения, ранжирования, классификации, численной оценки.

Задача парного сравнения заключается в выявлении лучшего из двух имеющихся объектов. Задача ранжирования - в упорядочении объектов, образующих систему, по убыванию (возрастанию) значения некоторого признака. Задача классификации - в отнесении заданного элемента к одному из подмножеств. Задача численной оценки - в сопоставлении системе одного или нескольких чисел.

Перечисленные задачи могут быть решены непосредственно лицом, принимающим решение, или с помощью экспертов - специалистов в исследуемой области. Во втором случае решение задачи оценивания называется экспертизой.

Качественные методы измерения и оценивания характеристик систем, используемые в системном анализе, достаточно многочисленны и разнообразны.

К основным методам качественного оценивания систем относят:

* методы типа мозговой атаки или коллективной генерации идей;

типа сценариев;

*  экспертных оценок;

*  типа Дельфи;

*  типа дерева целей;

*  морфологические методы.

Количественные методы используются на последующих этапах моделирования для количественного анализа вариантов системы.

Наличие неоднородных связей между отдельными показателями сложных систем приводит к проблеме корректности критерия превосходства к необходимости идти на компромисс и выбирать для каждой характеристики не оптимальное значение, а меньшее, но такое, при котором и другие показатели тоже будут иметь приемлемые значения.

Для решения проблемы корректности критерия превосходства были разработаны методы количественной оценки систем:

*  методы теории полезности;

*  методы векторной оптимизации;

*  методы ситуационного управления, инженерии знаний.

Методы теории полезности основаны на аксиоматическом использовании отношения предпочтения множества векторных оценок систем.

Методы векторной оптимизации базируются на эвристическом использовании понятия векторного критерия качества систем (многокритериальные задачи) и включают методы главного критерия, лексикографической оптимизации, последовательных уступок, скаляризации, человеко-машинные и другие методы. При решении задач векторной оптимизации векторный (многокомпонентный) критерий эффективности, выраженный через показатели исходов операции, заменяют скалярным на основе какой-либо функции свертки.

Методы ситуационного управления, инженерии знаний основаны на построении семиотических моделей оценки систем. В таких моделях система предпочтений ЛПР формализуется в виде набора логических правил, по которым может быть осуществлен выбор альтернатив. При этом понятие векторного критерия в явном виде не используется.

Рассмотрение указанных подходов в системном анализе основано на трех важных особенностях.

Во-первых, считается, что не существует системы, наилучшей в независящем от ЛПР смысле. Всегда система может быть наилучшей лишь для данного ЛПР. Другое ЛПР в данных условиях может предпочесть альтернативную систему.

Во-вторых, считается, что не существует оптимальной системы для всех целей и воздействий внешней среды. Система может быть эффективной только для конкретной цели и в конкретных условиях. В других условиях и для других целей система может быть неэффективной. Например, конверсия танков в интересах сельского хозяйства показала, что эта техника по сравнению с тракторами неэффективна по показателям ресурсоемкости.

В-третьих, методы исследования операций (линейное, нелинейное, динамическое программирование и др.) не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к задачам оценивания сложных организационных систем, поскольку вид целевой функции или неизвестен, или не задан аналитически, или для нее отсутствуют средства решения.

19) Определение понятия «мозговой штурм» Метод мозгового штурма (мозговой штурм, мозговая атака, англ. brainstorming) — оперативный метод решения проблемы на основе стимулирования творческой активности, при котором участникам обсуждения предлагают высказывать возможно большее количество вариантов решения, в том числе самых фантастических. Затем из общего числа высказанных идей отбирают наиболее удачные, которые могут быть использованы на практике. Является методомэкспертного оценивания. «Мозговой штурм» (англ. brainstorming) — один из наиболее популярных методов стимулирования творческой активности. Позволяет найти решение сложных проблем путем применения специальных правил обсуждения. Широко используется во многих организациях для поиска нетрадиционных решений самых разнообразных задач.  Метод мозгового штурма был разработан Алексом Осборном в 1953 году. Метод основан на допущении, что одним из основных препятствий для рождения новых идей является «боязнь оценки»: люди часто не высказывают вслух интересные неординарные идеи из-за опасения встретиться со скептическим либо даже враждебным к ним отношением со стороны руководителей и коллег. Целью применения мозгового штурма является исключение оценочного компонента на начальных стадиях создания идей. Классическая техника мозгового штурма, предложенная Осборном, основывается на двух основных принципах — «отсрочка вынесения приговора идее» и «из количества рождается качество». Этот подход предполагает применение нескольких правил.  Критика исключается: на стадии генерации идей высказывание любой критики в адрес авторов идей (как своих, так и чужих) не допускается.  Работающие в интерактивных группах должны быть свободны от опасений, что их будут оценивать по предлагаемым ими идеям.  Приветствуется свободный полет фантазии: люди должны попытаться максимально раскрепостить свое воображение. Разрешено высказывать любые, даже самые абсурдные или фантастические идеи. Не существует идей настолько несуразных либо непрактичных, чтобы их нельзя было высказать вслух.  Идей должно быть много: каждого участника сессии просят представить максимально возможное количество идей.  Комбинирование и совершенствование предложенных идей: на следующем этапе участников просят развивать идеи, предложенные другими, например комбинируя элементы двух или трех предложенных идей. На завершающем этапе производится отбор лучшего решения, исходя из экспертных оценок.  Были проведены многочисленные экспериментальные исследования, с целью сравнения количества и качества идей, созданных группами в процессе мозгового штурма и людьми, работающими индивидуально, Результаты свидетельствуют о том, что при условии правильного применения данной техники интерактивные группы нередко генерируют большее количество значимых идей, чем отдельные индивиды. Однако на сегодняшний день не существует доказательств в пользу более высокого качества идей, генерируемых группами.  В последние годы широкое распространение получил «электронный мозговой штурм» (online brainstorming), использующий интернет-технологии. Он позволяет позволяет почти полностью устранить «боязнь оценки», т.к. обеспечивает анонимность участников, а также дает возможность решить ряд проблем традиционного мозгового штурма.  К последним, в частности, относится т.н. «блокирование продуктивности»: поскольку участники группы представляют идеи поочередно, то люди в ожидании своей очереди могут передумать или испугаться публично высказывать свою идею, либо просто ее забывают.  Мозговой штурм дает возможность объединить в процессе поиска решений очень разных людей; а если группе удается найти решение, то ее участники обычно становятся стойкими приверженцами его реализации. В настоящее время метод мозгового штурма может быть эффективно использован организациями для улучшения качества работы в командах. Принципы метода "мозгового штурма": 1.     Четкая формулировка цели и/или задач и ограничений.  2.     Обеспечение максимальной свободы участникам  o        предоставление слова каждому (поощрение застенчивых, "придержание" наиболее активных и авторитетных);  o        полная свобода мнений, поощрение "безумных" идей, аналогий (литературных, музыкальных, биологических и т.д.); 3.     Тщательное формирование состава участников  o        определение численности;  o        по специализации, предназначенное для полного покрытия необходимой области, а в некоторых случаях, выходящего за ее пределы, а также возможности частичной взаимной замены);  o        психологическая (отсутствие злокачественных конфликтов, явных лидеров);  o        по квалификации (высокий и примерно равный уровень)  o        иногда введение "рыжего"; 4.     Иерархическое ведение обсуждений: сначала - максимально вширь, затем оценка перспективности вариантов и отбор наилучших, потом снова "вширь";  5.     Огромная роль "ведущего"и демократический стиль руководства: o        создание творческой, целенаправленной и бесконфликтной атмосферы;  o        умение "выявлять" предложения и направлять ход дискуссии (греческий метод). Историческая справка Мозговой штурм как метод появился относительно недавно. Однако последовательность этапов, включающая в себя подготовку, акт интуиции, озарения, выдвижения нового и акт осмысления, развития, была описана в литературе задолго до А. Осборна. Этот факт дает нам основание для поиска более ранних примеров подобной организации творческого процесса. Естественно, что поиск следует вести в областях, где человек издавна стремился решать проблемы.  Двухстадийный 'подход к решению проблем описан Тацитом, исследовавшим быт германцев:  "На пиршествах они толкуют и о примирении враждующих между собой, и о заключении браков, о выдвижении вождей, полагая, что ни в какое другое время душа не бывает столь расположена к откровенности и -никогда так не воспламеняется для помыслов о великом... На следующий день возобновляется обсуждение тех же вопросов. И то, что они в два приема занимаются ими, покоится на разумном основании: они обсуждают их, когда неспособны к притворству, и принимают решения, когда ничто не способствует их здравомыслию". Этому свидетельству две тысячи лет.  Еще более древним примером того же подхода является способ, применявшийся в древней Вифинии (находилась на территории современной Турции) в 700-600 годах до н.э. По свидетельству историков, у населявших эту местность фракийских племен вифинов был следующий обычай. Столкнувшись с совершенно новой ситуацией, по которой необходимо было принимать взвешенное и ответственное решение, они расширяли многообразие вариантов путем опроса всех, кого возможно, а затем отбирали то, что казалось наиболее приемлемым. Так, при заболевании, когда было непонятно, как и чем лечить человека, члены его семьи выносили больного на всеобщее обозрение и любой прохожий мог поделиться с родственниками своими суждениями и опытом. Впоследствии семейный совет выбирал из предложенных мер наиболее подходящую.  В 50-х годах в США был период активного применения мозгового штурма. Простота метода, отсутствие ориентации на конкретную область деятельности привели к широкому его распространению. Обычной практикой стала организация мозговых штурмов при возникновении какой-либо трудности. Специализированные группы, работавшие на предприятиях и применявшие метод, стали называться "мозговыми центрами". Появились фирмы, получившие название "фабрик мыслей". Эти фирмы занимались решением проблем, поставленных заказчиком, и мозговой штурм являлся одним из наиболее широко применяемых ими инструментов. Книга А. Осборна "Практическое воображение" издавалась в США множество раз и является до настоящего времени одним из рекомендованных учебников по развитию творческих способностей для сотен американских колледжей и университетов. Без сомнения мозговой штурм оказал значительное влияние на развитие систем управления интеллектуальной деятельностью. Дж. Гэлбрейт писал: "Подлинное достижение современной науки состоит в том, что знания самых обыкновенных людей, имеющих узкую и глубокую подготовку, в рамках и с помощью соответствующей организации объединяются со знаниями других специально подготовленных, но таких же рядовых людей. Тем самым снимается необходимость в особо одаренных людях..."  Мозговой штурм послужил катализатором подобных процессов в области решения творческих задач. Рассмотрим сущность метода более подробно.  Этапы и правила мозгового штурма Правильно организованный мозговой штурм включает три обязательных этапа. Этапы отличаются организацией и правилами их проведения: 1.     Постановка проблемы. Предварительный этап. В начале этого этапа проблема должна быть четко сформулирована. Происходит отбор участников штурма, определение ведущего и распределение прочих ролей участников в зависимости от поставленной проблемы и выбранного способа проведения штурма. 2.     Генерация идей. Основной этап, от которого во многом зависит успех (см. ниже) всего мозгового штурма. Поэтому очень важно соблюдать правила для этого этапа:  o        Главное — количество идей. Не делайте никаких ограничений. o        Полный запрет на критику и любую (в том числе положительную) оценку высказываемых идей, так как оценка отвлекает от основной задачи и сбивает творческий настрой. o        Необычные и даже абсурдные идеи приветствуются. o        Комбинируйте и улучшайте любые идеи. 3.     Группировка, отбор и оценка идей. Этот этап часто забывают, но именно он позволяет выделить наиболее ценные идеи и дать окончательный результат мозгового штурма. На этом этапе, в отличие от второго, оценка не ограничивается, а наоборот, приветствуется. Методы анализа и оценки идей могут быть очень разными. Успешность этого этапа напрямую зависит от того, насколько "одинаково" участники понимают критерии отбора и оценки идей. Мозговые атаки Для проведения мозговой атаки обычно создают две группы:

• участники, предлагающие новые варианты решения задачи;

• члены комиссии, обрабатывающие предложенные решения.

Различают индивидуальные и коллективные мозговые атаки. В мозговом штурме участвует коллектив из нескольких специалистов и ведущий. Перед самим сеансом мозгового штурмаведущий производит четкую постановку задачи, подлежащей решению. В ходе мозгового штурма участники высказывают свои идеи, направленные на решение поставленной задачи, причём как логичные, так и абсурдные. Если в мозговом штурме принимают участие люди различных чинов или рангов, то рекомендуется заслушивать идеи в порядке возрастания ранжира, что позволяет исключить психологический фактор «соглашения с начальством». В процессе мозгового штурма, как правило, вначале решения не отличаются высокой оригинальностью, но по прошествии некоторого времени типовые, шаблонные решения исчерпываются, и у участников начинают возникать необычные идеи. Ведущий записывает или как-то иначе регистрирует все идеи, возникшие в ходе мозгового штурма. Затем, когда все идеи высказаны, производится их анализ, развитие и отбор. В итоге находится максимально эффективное и часто нетривиальное решение задачи. Успех Успех мозгового штурма сильно зависит от психологической атмосферы и активности обсуждения, поэтому роль ведущего в мозговом штурме очень важна. Именно он может «вывести из тупика» и вдохнуть свежие силы в процесс. Изобретателем метода мозгового штурма считается Алекс Осборн, сотрудник рекламного агентства BBD&O. Модификации процедуры проведения мозгового штурма 1.Метод индивидуального мозгового штурма  Все роли (фасилитатора, фиксатора, генератора и оценщика идей) выполняет один человек. Длительность сеанса - 3-10 минут. Фиксация с помощью ручки, ПК или (самое эффективное) - диктофон. Оценка идей должна быть отложена. Помогает проведение разминки. Недостаток - отсутствие синергического эффекта. Преимущество - оперативность и экономия на людях.  2.Письменный мозговой штурм.  Используется, прежде всего, при географической разобщенности участников, следовательно, возможность набрать специалистов экстра-класса. Недостатки - отсутствие синергического эффекта, продолжительность процесса.  3.Метод прямого мозгового штурма.  В отличие от классического метода мозгового штурма процесс формулировки проблемы (целей, ограничений и т.д.) проходит также с помощью метода мозгового штурма, причем с тем же самым составом участников.  4.Метод массового мозгового штурма  Используется для решения глобальных проблем. Создается компетентная группа, которая разбивает исходную задачу на части. Затем отдельно по каждому блоку проводится метод мозгового штурма. Следующий этап - сбор руководителей групп и обсуждение всех идей.  5.Метод двойного (парного) мозгового штурма  Введение критики идей. Этапы: прямой мозговой штурм, обсуждение, продолжение выдвижения идей.  6.Метод мозгового штурма с оценкой идей  Это объединение двойного, индивидуального и обратного метода. Используется для решения сверхсрочных проблем. Высокие требования к участникам: квалификация, собранность, умение участвовать в методе мозгового штурма. Этапы: генерация идей, ознакомление всех участников с вариантами идей и комментариями и самостоятельная оценка вариантов, выбор нескольких (3-5) лучших вариантов с указанием их достоинств и недостатков, обсуждение с мини-штурмами, сужение списка лучших вариантов с уточнением достоинств и недостатков, индивидуальные презентации лучших вариантов и их коллективное ранжирование. Недостатки: нагрузочность, конфликтность. Достоинства: снятие эффекта «единого мозга», возможность организовать конструктивную критику.  7.Обратный мозговой штурм.  Используется при реализации проектов, состоящих из многих этапов (элементов). В случае неудачи одного этапа - срыв всего процесса. Следовательно, самое важное - убедиться в верности каждого элемента. Цель мозгового штурма - максимальное выявление всех недостатков. Этапы: составление списка существующих, потенциальных и возможных в будущем недостатков с помощью мозгового штурма; их ранжирование.  8.Метод корабельного совета.  Высказывания проводятся в соответствии с иерархией. Недостатки: при возникновении идеи после своей очереди ее нельзя высказать.  9.Метод конференции идей.  Это метод мозгового штурма, но более непринужденная обстановка, например, круглый стол.  Условия применения метода Решение о применении метода принимают с учетом двух составляющих: класса задачи и наличия специалистов, обученных методам поиска.  Универсальность метода обратно пропорциональна его эффективности. Поэтому применять мозговой штурм для решения задач поиска оптимальной конфигурации объекта или устранения конкретных противоречий развития технических систем, как правило, нецелесообразно. Это приходится, однако, делать при отсутствии в группе решающих задачу специалистов, знакомых с какими-либо методами поиска.  Основная область применения метода мозгового штурма - поиск решений в недостаточно исследованной области, выявление новых направлений решения проблемы. Метод рекомендуется использовать также для поиска новых сфер применения уже существующего изделия или материалов, а также с целью выявления недостатков существующего изделия. В целом же мозговой штурм может быть использован при решении самого широкого круга задач.  Так, например, при решении задачи о совершенствовании способа выявления вызванных потенциалов мозга, возникла ситуация, которая специалистами характеризовалась как тупиковая. Применяющиеся способы анализа электроэнцефалограмм не позволяли выявить в единичной записи шумов всплеск - ответ мозга на раздражитель. Для решения задачи применялось многократное раздражение с последующим суммированием реакции мозга. Этот способ не давал возможности определять реакцию на уникальные, единичные раздражители. Кроме того, выяснилось, что многократное воздействие приводит к эффекту привыкания, и каждый последующий стимул воспринимается организмом как субъективно более слабый. Попытки решения этой задачи с помощью методов, использующих логический подход, не дали требуемого результата в связи с многофакторностью ситуации и затруднениями в выборе конкретного противоречия из широкого спектра сталкивающихся требований и параметров.  Решение этой задачи с применением метода мозгового штурма привело к формированию ряда новых подходов. Непредвзятый анализ показал наличие возможностей, по отношению к которым у специалистов были сильные психологические барьеры, не подкрепленные объективной информацией. Одно из этих направлений и было реализовано. Интересно отметить, что реализация не потребовала изменения технических средств, т. е. объективно техника уже была готова к появлению данного решения. Здесь практически подтвердился тезис о "самовнедряемости" хороших решений. Дополнительной продукцией, полученной в результате работы творческой группы, явилось расширение знаний о мозге, особенностях его работы. 

20) Основные понятия и определения теории графов  Пусть дано множество Х, которое состоит из элементов, называемых точками. Дан закон, позволяющий установить соотношение Т между каждым элементом множества Х и некоторыми из его подмножеств. Обозначим через Тх некое подмножество множества Х, отвечающее элементу х множества Х. Две математические величины – «множество Х» и «соответствие Т» - определяют граф G, обозначаемый как G = (X, T). Элементы множества Х будем изображать точками, и называть вершинами графа. Соотношения Т будем изображать отрезками (иногда ориентированными), соединяющими элемент с элементами подмножества Тх, и называть ребрами или дугами графа. Граф G называется конечным, если число его вершин конечно. На рис.1,а показан граф, определяемый множеством  X = {x₀, x₁, x₂, x₃, x_4, x₅}.

Различные графы: а – граф, определяемый множеством вершин Х = {x₀, x₁, …, x₅}; б – нуль граф; в – граф, определяемый множеством вершин Х = {a, b, c, d}.  Соотношение Т характеризуется следующими равенствами:  Tx₀ = {x₀, x₁, x₂, x₃, x_4, x₅}  Tx₁ = {x₀, x₂}  Tx₂ = {x₀, x₁, x₃}  Tx₃ = {x₀, x₂, x₄}  Tx₄ = {x₀, x₃}  Tx₅ = {x₀}  Пара вершин x_i, x_j образует ребро, если, либо точка x_i принадлежит подмножеству Tx_j, либо x_j принадлежит подмножеству Tx_i. Если всякая пара этих точек упорядочена, то такая пара определяет дугу графа и граф называется ориентированным (рис1.в). Две точки x_i, x_j называются смежными, если они определяют ребро или дугу графа. Две различные дуги являются смежными, если они имеют общую вершину. Последовательность дуг, при которой конец одной дуги является началом другой, называется путем. Путь, в котором никакая вершина не встречается дважды, называется элементарным. Если начальная и конечная точки пути совпадают, образуется контур. Длинна пути (контура) – это число дуг, которые его образуют. Петлей называется контур единичной длинны; петля связывает точку саму с собой. Граф называется связным, если для каждой пары вершин существует соединяющая их цепь (рис.1, в).  Граф называется полным, если любая пара его вершин соединена ребром. 

 Пример полного графа (а) и изоморфный ему граф (б)  Граф является не геометрической, а топологической фигурой. Последней называют такую фигуру, определенные свойства которой инвариантны при взаимнонепрерывном и взаимнооднозначном пространственном преобразовании. Существенные инвариантные свойства графа отражают только число вершин, число дуг (ребер) и характер связей между вершинами. Так как граф является топологической фигурой, то один и тот же граф может быть изображен разными способами (рис.2). Независимо от способа изображения, информация, содержащаяся в графе, остается одной и той же. Два графа будем называть изоморфными, если они имеют одинаковое число вершин, если каждой паре вершин, соединенных ребром в одном графе, соответствует такая же пара вершин, соединенных ребром в другом графе. Обязательным условием изоморфности ориентированных графов является одинаковая ориентация всех дуг.  Представление графов с помощью матриц  Информация, содержащаяся в некотором графе, может быть представлена в алгебраическом виде посредством матриц. Матрицей смежности, соответствующей некоторому графу G = (X, Y), который состоит из n вершин X_i (i = 1, 2, …, n), называется матрица [H] порядка (nЧn) с элементами  0, если вершина x_i не связана дугой с вершиной x.

Структурной матрицей, называется матрица, которая соответствует некоторому графу G = (k, q), состоящему из n вершин k_i(i = 1, 2, …, n) и из m дуг q_j (j = 1, 2, …, m), называется матрица [S] порядка (nЧm) с элементами 

Потоковые графы  Каждой ХТС можно поставить в соответствие потоковый граф, гомоморфный рассматриваемой системе и являющийся некоторой топологической моделью одного типа обобщенных или физических потоков данной системы (рис.3). Потоковые графы строят для установившихся технологических режимов. 

Потоковый граф ХТС.  Потоковый граф G = G (A) = (A, T) состоит из множеством вершин А, и образован совокупностью элементов, источников и стоков ХТС, и множеством дуг Т. Его элементы соответствуют одного типа обобщенным или физическим потокам системы. Потоковый граф представляет собой некоторое семейство сочетаний или пар вида Т = (а, b), где a Є A, b Є A, указывающее, какие вершины графа являются смежными. Можно выделить три типа потоковых графов ХТС: материальные, тепловые (энергетические), параметрические.  Вершины материального потокового графа по массовому расходу физических потоков (некоторого химического компонента) соответствуют элементам ХТС, которые трансформируют общие массовые расходы физических потоков (химического компонента), источникам и стокам веществ (компонента). Дуги данного графа отвечают обобщенным материальным потокам.  Вершины теплового потокового графа соответствуют элементам системы, которые изменяют расходы тепла физических потоков, внешним и внутренним источникам и стокам тепла ХТС.  Основные особенности материальных потоковых графов и тепловых потоковых графов. 1) ориентированность; 2) ассиметричность, т.к. не все соседние элементы системы связаны между собой обратными технологическими потоками; 3) связность, т.к. все элементы в системе взаимосвязаны единой цепью потоков веществ и энергии.  Параметрические потоковые графы являются топологической моделью, отображающей преобразование элементами системы параметров физических потоков ХТС. Вершины таких графов отвечают элементам, представляющим собой технологические операторы, которые качественно и (или) количественно преобразуют параметры физических потоков, а также источникам и стокам физических потоков ХТС. Дуги графа соответствуют физическим потокам системы. Такие графы являются конечными, ориентированными, ассиметричными, связными.  В работах Кафарова с сотрудниками предлагается строить потоковые графы, для которых известны технологическая топология и цель функционирования системы по следующему сценарию. 

21) Графы как структуры данных широко применяются при решении многих задач. Они могут использоваться для представления данных, моделей процессов, структур программ и так далее.

При решении многих задач приходится моделировать объекты со сложной структурой, которые представляются в виде множества элементов, между которыми существуют заданные отношения (связи). В технике такие объекты называются сетями.

Задачи, решаемые с использованием графов, относятся к задачам выбора. Все они могут быть решены с помощью алгоритмов, выполняющих полный перебор всех возможных решений. Однако сложность таких алгоритмов оценивается нотацией O(2ⁿ) и практически такие алгоритмы не могут быть реализованы за приемлемое время. Поэтому большинство алгоритмов для графов основываются на эвристических методах при поиске оптимального решения.