1. Понятие системы и среды Понятие системы уточняется и совершенствуется вместе с развитием самого системного анализа. Так, основоположник теории систем Людвиг фон Берталанфи определил систему как комплекс взаимодействующих элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой.

Таким образом, исходным моментом в определении системы является ее сопоставление со средой, т.е. среда - это все то, что не входит в систему, а система - это конечное множество объектов, каким-то образом выделенное из среды. Между средой и системой существует множество взаимных связей, с помощью которых реализуется процессвзаимодействия среды и системы. Выделение системы из среды и определение границ их взаимодействия является одной из первоочередных задач системного анализа. От правильности определения границ зависят не только выполняемые функции, эффективность и качество системы, но и нередко сама ее жизнедеятельность. С другой стороны, диалектической основой системных исследований является принцип системности, суть которого сводится к тому, что система как нечто целое обладает свойствами, не присущими составляющим ее элементам (свойство целостности, эмерджентности). В этом случае при определении системы необходимо исходить из двух основополагающих понятий [2, 3]:

• система как совокупность взаимодействующих элементов;

• система как целостное образование, обладающее новыми системообразующими свойствами.

С учетом вышеизложенного перечислим следующие отличительные свойства системы:

• система есть нечто целое;

• система есть множество элементов, свойств и отношений;

• система есть организованное множество элементов;

• система есть динамическое множество элементов.

Тогда определение системы можно сформулировать следующим образом: система есть конечное множество элементов и отношений между ними, выделяемое из среды в соответствии с определенной целью, в рамках определенного временного интервала [2].

В данном случае под элементом принято понимать простейшую неделимую часть системы. При этом ответ на вопрос: что является такой частью? - не может быть однозначным и зависит от целей рассмотрения объекта как системы. Объективно с точки зрения элементов внешней среды любая система существует как источник удовлетворения ее потребностей. Из этого следует, что простейшая модель взаимодействия между системой и средой выглядит следующим образом (рис.1.1).

Рис.1.1. Модель взаимодействия системы и среды

Элементы внешней среды задают системе множество целей и ограничений – Z = {z _k} и поставляют множество ресурсов – X = {x _j }.

Выходом из системы является множество конечных продуктов и услуг (КП) – Y = {y _i ), ориентированных на удовлетворение потребностей внешней среды. При этом множество конечных продуктов и ресурсов можно классифицировать на следующие группы: материальные, информационные, финансовые, трудовые, энергетические. В ряде случаев в классификаторе выходов системы помимо полезных конечных продуктов необходимо выделять отходы, т.е. конечные продукты, оказывающие негативное влияние на внешнюю среду.

Один из вариантов модели взаимодействия предприятия "как системы” с элементами ее внешней среды представлен на рисунке 1.2 [2].

Рис. 1.2. Модель взаимодействия предприятия с элементами внешней среды

2) "СТРУКТУРА"  Исходным понятием в представлении материи как структурно упорядоченного образования выступает понятие "система". С этим понятием  могут быть связаны представления о мире в целом (в оговоренном, разумеется значении этого термина), формы движения материи, структурные  уровни организации материи, отдельные целостные объекты внутри структурных уровней материи, различные аспекты, уровни, "срезы" этих  материальных объектов. На этом понятии как на исходном базируется вся картина всеобщей структурированности материи.  Но что представляет собой система? В. Н. Садовский приводит около 40 определений понятия "система", получивших наибольшее "  распространение в литературе. Мы же выделим из совокупности имеющихся определений базисное определение, по нашему мнению, наиболее  корректное и наиболее простое, что немаловажно в целях дальнейшего изучения указанного понятия. Таковым может стать определение, данное  одним из основоположников общей теории систем Л. Берталанфи: система - это комплекс взаимодействующих элементов (к группе исходных  определений можно отнести и следующее: система есть отграниченное множество взаимодействующих элементов).  В понимании того, что такое система, решающую роль играет значение слова "элемент". Без этого само определение может оказаться  банальностью, не заключающей в себе сколько-нибудь значительной эвристической ценности. Критериальное свойство элемента - его необ-  ходимое непосредственное участие в создании системы: без него, т. е. без какого-либо одного элемента, система не существует. Элемент  есть далее неразложимый компонент системы при данном способе ее рассмотрения. Если взять, к примеру, человеческий организм, то  отдельные клетки, молекулы и атомы не будут выступать его элементами; ими оказываются нервная система в целом, кровеносная система,  пищеварительная система и т.п. (по отношению к системе "организм" точнее будет назвать их подсистемами). Что касается отдельных  внутриклеточных образований, то они могут быть подсистемами клеток, но не организма; по отношению к системе "организм" они - компонент  его содержания, но не элемент, не подсистема.  Понятие "подсистема" выработано для анализа сложноорганизо-ванных, саморазвивающихся систем, когда между элементами и системой  имеются "промежуточные" комплексы, более сложные, чем элементы, но менее сложные, чем сама система. Они объединяют в себе разные  части (элементы) системы, в своей совокупности способные к выполнению единой (частной) программы системы. Будучи элементом системы,  подсистема в свою очередь оказывается системой по отношению к элементам, ее составляющим. Аналогично обстоит дело с отношениями  между понятиями "система" и "элемент": они переходят друг в друга. Иначе говоря, система и элемент относительны. С этой точки зрения вся  материя представляется как бесконечная система систем. "Системами" могут быть системы отношений, детерминации и т. п.  Наряду с представлением об элементах в представление о любой системе входит и представление о ее структуре. Структура - это  совокупность устойчивых отношений и связей между элементами. Сюда включается общая организация элементов, их пространственное рас-  положение, связи между этапами развития и т.п.  По своей значимости для системы связи элементов (даже устойчивые) неодинаковы: одни малосущественны, другие существенны, зако-  номерны. Структура прежде всего - это закономерные связи элементов. Среди закономерных наиболее значимы интегрирующие связи (или  интегрирующие структуры). Они обусловливают интегри-рованность сторон объекта. В системе производственных отношений, например,  имеются связи трех родов: относящиеся к формам собственности, к обмену деятельностью и к распределению. Все они существенны и  закономерны. Но интегрирующую роль в этих отношениях играют отношения собственности (иначе формы собственности). Интегрирующая  структура является ведущей основой системы.  Встает вопрос - чем определяется качество системы - элементами или структурой? Некоторые философы утверждают, что качество сис-  темы детерминируется прежде всего или полностью структурой, отношениями, связями внутри системы. Представители школы структурно-  функционального анализа, возглавляемой Т.Парсонсом, положили в основу концепции общества "социальные действия" и сфокусировали  внимание на функциональных связях, их описании, выявлении структурных феноменов. При этом вне поля зрения остались не только  причинные зависимости, но и сами субстратные элементы. В области лингвистики тоже можно встретить направление, абсолютизирующее роль  структуры в генезисе качества систем. Конечно, для целей исследования бывает возможно и необходимо временно абстрагироваться от  материальных элементов и сосредоточить усилия на анализе структур. Но одно дело - временное отвлечение от материального субстрата, а  другое - абсолютизация этой односторонности, построение на таком отвлечении целостного мировоззрения.  Научно-философский подход к качеству систем выявляет их зависимость от структур. Пример тому - явление изомерии в химии. В пользу  выдвинутого положения говорит и относительная независимость структур от природы их субстратных носителей (так, нейроны, электронные  импульсы и математические символы способны быть носителями одинаковой структуры). На использовании свойства одинаковости структур,  или изоморфизма, базируется один из ведущих методов современной науки - метод кибернетического моделирования .  Но как бы значительна ни была роль структуры в обусловливании природы системы, первенствующее значение принадлежит все-таки  элементам. Мы имеем в виду невозможность порождения той или иной совокупностью элементов, вступающих во взаимные связи. Элементы  определяют сам характер связи внутри системы. Иначе говоря, природа и количество элементов обусловливают способ (структуру) их  взаимосвязи. Одни элементы детерминируют одну структуру, другие - другую. Элементы - материальный носитель связей и отношений,  составляющих структуру системы. Итак, качество системы определяется, во-первых, элементами (их природой, свойствами, количеством) и, во-  вторых, структурой, т.е. их связью, взаимодействием. Нет и не может быть "чистых" структур в материальных системах (они возможны только в  абстракции), как не может быть и "чистых" элементов. Материальные системы суть единство элементов и структуры. С этой точки зрения  структурализм как мировоззрение есть одностороннее, а потому и ошибочное видение мира. Под структурой системы понимается устойчивое множество отношений, которое сохраняется длительное время неизменным, по крайней мере в течение интервала наблюдения. Структура системы опережает определенный уровень сложности по составу отношений на множестве элементов системы или что эквивалентно, уровень разнообразий проявлений объекта.

3) Структура системы.

Под структурой системы понимается устойчивое множество отношений, которое сохраняется длительное время неизменным, по крайней мере в течение интервала наблюдения. Структура системы опережает определенный уровень сложности по составу отношений на множестве элементов системы или что эквивалентно, уровень разнообразий проявлений объекта.

Связи — это элементы, осуществляющие непосредственное взаимодействие между элементами (или подсистемами) системы, а также с элементами и подсистемами окружения.

Связь — одно из фундаментальных понятий в системном подходе. Система как единое целое существует именно благодаря наличию связей между ее элементами, т.е., иными словами, связи выражают законы функционирования системы. Связи различают по характеру взаимосвязи как прямые и обратные, а по виду проявления (описания) как детерминированные и вероятностные.

Прямые  связи  предназначены  для  заданной  функциональной передачи вещества, энергии, информации или их комбинаций — от одного элемента к другому в направлении основного процесса.

Обратные связи, в основном, выполняют осведомляющие функции, отражая изменение состояния системы в результате управляющего воздействия на нее. Открытие принципа обратной связи явилось выдающимся событием в развитии техники и имело исключительно важные последствия. Процессы управления, адаптации, саморегулирования, самоорганизации, развития невозможны без использования обратных связей.

Рис. — Пример обратной связи

С помощью обратной связи сигнал (информация) с выхода системы (объекта управления) передается в орган управления. Здесь этот сигнал, содержащий информации о работе, выполненной объектом управления, сравнивается с сигналом, задающим содержание и объем работы (например, план). В случае возникновения рассогласования между фактическим и плановым состоянием работы принимаются меры по его устранению.

Основными функциями обратной связи являются:

1. противодействие тому, что делает сама система, когда она выходит за установленные пределы (например, реагирование на снижение качества);

2. компенсация возмущений и поддержание состояния устойчивого равновесия системы (например, неполадки в работе оборудования);

3. синтезирование внешних и внутренних возмущений, стремящихся вывести систему из состояния устойчивого равновесия, сведение этих возмущений к отклонениям одной или нескольких управляемых величин (например, выработка управляющих команд на одновременное появление нового конкурента и снижение качества выпускаемой продукции);

4. выработка управляющих воздействий на объект управления по плохо формализуемому закону. Например, установление более высокой цены на энергоносители вызывает в деятельности различных организаций сложные изменения, меняют конечные результаты их функционирования, требуют внесения изменений в производственно-хозяйственный процесс путем воздействий, которые невозможно описать с помощью аналитических выражений.

Нарушение обратных связей в социально-экономических системах по различным причинам ведет к тяжелым последствиям. Отдельные локальные системы утрачивают способность к эволюции и тонкому восприятию намечающихся новых тенденций, перспективному развитию и научно обоснованному прогнозированию своей деятельности на длительный период времени, эффективному приспособлению к постоянно меняющимся условиям внешней среды.

Особенностью социально-экономических систем является то обстоятельство, что не всегда удается четко выразить обратные связи, которые в них, как правило, длинные, проходят через целый ряд промежуточных звеньев, и четкий их просмотр затруднен. Сами управляемые величины нередко не поддаются ясному определению, и трудно установить множество ограничений, накладываемых на параметры управляемых величин. Не всегда известны также действительные причины выхода управляемых переменных за установленные пределы.

Детерминированная (жесткая) связь, как правило, однозначно определяет причину и следствие, дает четко обусловленную формулу взаимодействия элементов. Вероятностная (гибкая) связь определяет неявную, косвенную зависимость между элементами системы. Теория вероятности предлагает математический аппарат для исследования этих связей, называемый «корреляционными зависимостями».

Критерии — признаки, по которым производится оценка соответствия функционирования системы желаемому результату (цели) при заданных ограничениях.

Эффективность системы — соотношение между заданным (целевым) показателем результата функционирования системы и фактически реализованным.

Функционирование любой произвольно выбранной системы состоит в переработке входных (известных) параметров и известных параметров воздействия окружающей среды в значения выходных (неизвестных) параметров с учетом факторов обратной связи.

Рис. — Функционирование системы

Вход — все, что изменяется при протекании процесса (функционирования) системы.

Выход — результат конечного состояния процесса.

Процессор — перевод входа в выход.

Система осуществляет свою связь со средой следующим образом.

Вход данной системы является в то же время выходом предшествующей, а выход данной системы — входом последующей. Таким образом, вход и выход располагаются на границе системы и выполняют одновременно функции входа и выхода предшествующих и последующих систем.

Управление системой связано с понятиями прямой и обратной связи, ограничениями.

Обратная связь — предназначена для выполнения следующих операций:

• сравнение данных на входе с результатами на выходе с выявлением их качественно-количественного различия;

• оценка содержания и смысла различия;

• выработка решения, вытекающего из различия;

• воздействие на ввод.

Ограничение — обеспечивает соответствие между выходом системы и требованием к нему, как к входу в последующую систему — потребитель. Если заданное требование не выполняется, ограничение не пропускает его через себя. Ограничение, таким образом, играет роль согласования функционирования данной системы с целями (потребностями) потребителя.

Определение функционирования системы связано с понятием «проблемной ситуации», которая возникает, если имеется различие между необходимым (желаемым) выходом и существующим (реальным) входом.

Проблема — это разница между существующей и желаемой системами. Если этой разницы нет, то нет и проблемы.

Решить проблему — значит скорректировать старую систему или сконструировать новую, желаемую.

Состоянием системы называется совокупность существенных свойств, которыми система обладает в каждый момент времени

4) Статическая система — это такая система автоматического регулирования, в которой ошибка регулирования стремится к постоянному значению при входном воздействии, стремящемся к некоторому постоянному значению. Иными словами статическая система не может обеспечить постоянства управляемого параметра при переменной нагрузке.

Зависимость между значением управляемого параметра и величиной внешнего воздействия (нагрузкой) на объект управления. По виду зависимости между значением управляемого параметра и нагрузкой системы делят на статические и динамические. Зависимость динамической ошибки (q) от времени (t) для систем в установившемся режиме имеет вид q(t) = x(t) — y(t), где x(t) — сигнал управления, y(t) — выходная характеристика.

При установившихся значениях сигнала управления и выходной характеристики ошибка системы q(уст) = x(уст) — y(уст). В зависимости от значения q(уст) и определяют тип системы.

Динамическая система — математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюция во времени которых однозначно определяется начальным состоянием.

Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называютсяпотоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) является по существу синонимом автономной системы дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость(сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы синвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Определение

Пусть   — произвольное гладкое многообразие.

Динамической системой, заданной на гладком многообразии  , называется отображение  , записываемое в параметрическом виде  , где  , которое является дифференцируемым отображением, причём   — тождественное отображение пространства  . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство   образует группу преобразований топологического пространства  , а значит, в частности, для любых   выполняется тождество  .

Из дифференцируемости отображения   следует, что функция   является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве   и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство  , которое в носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство  , множество моментов времени   и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени   может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.