6. Олигополия

1. Местный кинотеатр посещают преподаватели и студенты. Спрос преподавателей на просмотр фильмов составляет:

P_t=60-Q_t/20,

где P_t - цена билета для преподавателя, Q_t - количество билетов, покупаемых преподавателями.

Спрос студентов на просмотр фильмов составляет:

 P_s=50-Q_s/20, где P_s - цена билета для студента, Q_s - количество билетов, покупаемых студентами.

Общее число посадочных мест составляет 1000.

Определите цены на билеты для преподавателей и студентов, а также количество проданных билетов каждой из категорий посетителей при условии максимизации прибыли кинотеатром.

 

Решение

 Последний вошедший в зал преподаватель и студент должны приносить одинаковый доход. Математически это будет выражаться равенством предельных доходов. Определим соотвествующие показатели через производную от общего дохода.

TR_t=P_tQ_t=(60-Q_t/20)Q_t=60Q_t-Q_t²/20

MR_t=TR_t'=60-0,1Q_t

TR_s=P_sQ_s=(50-Q_s/20)Q_s=50Q_s-Q_s²/20 MR_s=TR_s'=50-0,1Q_s

MR_t=MR_s

60-0,1Q_t=50-0,1Q_s

Так как общее число мест 1000, то добавим в нашу систему уравнений еще одно:

Q_t+Q_s=1000

Реши систему уравнений, в результате получим значения числа места:

Q_t=550

Q_s=450

Подставив данные значения в уравнения спроса, найдем цены на билеты:

P_t=60-Q_t/20=60-550/20=32,5

P_s=50-Q_s/20=50-450/20=27,5

 

2. Рыночный спрос описывается функцией Q=400-4P

Товар продают две фирмы, конкурирующие друг с другом по модели Курно. Известны их уравнения реакции на выпуск своего конкурента:

q₁=120-0,5q₂

q₂=60-0,2q₁

Определите выручку 1-й фирмы.

 

Решение

Так как модель Курно предусматривает устойчивость объемов производства с учетом реакции конкурентов, то предположим, что собственные представления фирм о реакции конкурента и представления конкурента совпадают. Тогда объемы производства обоих фирм найдем из системы уравнений реакции:

q₁=120-0,5(60-0,2q₁)

q₁=100

q₂=60-0,2*100=40

Подставив сумму объемов производсва в уравнение спроса найдем отраслевую цену:

P=100-Q/4=100-(q₁+q₂)/4=65

Выручка фирмы 1 составит:

TR₁=q₁*P=100*65=6500

 

3. На рынке действует фирма-лидер и несколько мелких фирм. Спрос на продукцию отрасли описывается уравнением P_b=100-2Q_b.  Предложение фирм-последователей характеризуется следующей зависимостью: Q_t=0,5P_b. Какое количество товаров поставят на рынок всеми фирмами, если предельные издержки фирмы-лидера равны 20?

Решение

Для того, чтобы определить каково предложение товара фирмы-лидера, необходимо найти ее остаточный спрос на продукцию. Для этого от отраслевого спроса отнимем предложение фирм последователей. 

Преобразуем уравнение отраслевого спроса Q_b=50-P_b/2

Теперь найдем искомую разницу: Q_m=Q_b-Q_st=50-P_b/2-0,5P_b=50-P

Для определения объема производства, максимизирующего прибыль фирмы-лидера, найдем ее предельный доход, который сможем сопоставить с предельными издержками:

P=50-Q_m

TR=P*Q=(50-Q_m)*Q_m=50Q_m-Q²_m

MR=TR'=50-2Q_m

Приравняем MR и MC

50-2Q_m=20

Q_m=15

Для определения предложения фирм-последователей, найдем цену, которую установит на рынке фирма-лидер:

P=50-Q_m=50-15=35

Найдем предложение фирм-последователей:

Q_t=0,5P_b=0,5*35=17,5

Общий объем производства будет складываться из объема предлагаемого фирмой-лидером и остальными фирмами:

Q_b=Q_m+Q_t=15+17,5=32,5