Задача 11.3

Считается, что изделие – высшего качества, если отклонение его размеров от номинальных не превосходит по абсолютной величине - 4мм. Случайные отклонения размера изделия от номинального подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным - 5 мм. Систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества среди 100 изготовленных.

Решение:

Используем формулу расчета вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания:

, где – величина отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания.

По условию = 200, M [X]  = m  = 2000 у. е., у. е.

в) Определим вероятность того, что число заказов за месяц отклонится от математического ожидания больше чем на 200 у. е., то есть

.

Это вероятность события, противоположного по отношения к событию, – стоимость заказов за месяц отклонится от математического ожидания меньше чем на 200 у. е., следовательно,

.

На рисунке 9 штриховкой выделена фигура, площадь которой равна вероятности того, что стоимость заказов за месяц отклонится от математического ожидания более чем на 200 у. е.

Используемая литература

1 Азизов А.М., Курицын А.Г., Никитенко В.Г. Основы прикладной математики. Теория вероятностей и математическая статистика. Спб: Химия, 1994.264 с. 

2 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 1998. 478 с.

3  Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. школа, 1998. 399 с.

4  Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука, 1988. 480 с.

5  Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Высшая математика: теория вероятностей и математическая статистика. Минск: Вышэйшая школа, 1993. 268 с.

6  Сазонова Е.Л. , Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1. Теория вероятностей: Пособие для студентов факультета безотрывного обучения/ Под ред. В. С. Серёгиной. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 95 с.

7 Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука, 1969. 511 с.

Задача 8.6

Для определения в условии дискретной случайной величины:

4. Построить ряд распределения и столбцовую диаграмму;

5. Найти функцию распределения и построить ее график;

6. Вычислить числовые характеристики: математическое ожидание, моду, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Имея в запасе 3 патрона, стрелок производит выстрелы в мишень до первого попадания, или, пока не израсходует все патроны. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Случайная величина X – число выстрелов, произведенных в мишень.

1) Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины и их вероятностями

Воспользуемся формулой Бернулли:

, где 0  p  3 ; q  = 1 – p; m  = 0, 1, 2,…, n.

· 0,8⁰·0,2³ = 0,008

0,8¹·0,2² = 0,096

0,8²·0,2¹ = 0,384

0,8³·0,2⁰ = 0,512

Простейшим способом задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения.

xi	0	1	2	3	Итого
pi	0,008	0,096	0,384	0,512	1
xi· pi	0	0,096	0,768	1,536	2,4
xi2· pi	0	0,096	1,536	4,608	6,24

Построим столбцовую диаграмму

pi
1
0,512
0,384
0,096
0,008
0	1	2	3	xi

Рисунок 1 - Столбцовая диаграмма

Вычислим функцию распределения данной случайной величины:

:

при x   , 0] ;

при x  0, 1] ;

при x  1, 2] ;

при x  2, 3] ;

приx  3, +)

Итак, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

График функции F(x) приведён на рисунке 2.

F(x)
1
0,488
0,104
0 ,008
0	1	2	3	xi

Рисунок 2 – Функция распределения

3) Вычислим числовые характеристики данной случайной величины.

Математическое ожидание

[попаданий],

т. е. среднее число попаданий, которые стрелок сможет сделать, равно 2,4. Как следует из ряда распределения, данная случайная величина имеет моду: , т. е. наиболее вероятное число попаданий, которое стрелок сможет сделать, равно 3.

Дисперсия

[попаданий²].

Среднее квадратическое отклонение [попаданий].