Пример 2

К зажимам однофазной неразветвленной цепи синусоидального тока приложено напряжение U = 60 В, частота тока сети f = 100 Гц (рисунок 3). Активное сопротивление цепи R = 7 Ом, индуктивность катушки L = 19,1 мГн, емкость конденсатора C = 318,4 мкФ. Начальная фаза тока _i = 30⁰.

Определить: 1) действующее значение тока в цепи;

2) коэффициент мощности;

3) угол сдвига фаз (по величине и знаку);

4) активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.

Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи.

При какой частоте в цепи наступит резонанс напряжений?

R L C

U

Рисунок 3

Решение:

- Реактивные сопротивления цепи:

а) индуктивное X_L = 2 · f · L = 2 · 3,14 · 100 · 0,0191 = 12 Ом;

б) емкостное X_C = 1/ (2 · f · C) = 1/ (2 · 3,14 · 100 · 318,4 · 10^-6) = 5 Ом.

- Полное сопротивление цепи:

Z = √R² + (X_L - X_C)² = √7² + ( 12 – 5 )² = √49 + 49 =10 Ом

- Действующее значение тока:

I = U / Z = 60 / 10 = 6 A

- Угол сдвига фаз:

sin φ = (X_L - X_C) / Z = 7 / 10 = 0,7

φ = arcsin 0,7 = 45⁰

- Мощности, потребляемые цепью:

а) активная мощность P = I²· R = 36 · 7 =252 Вт;

б) реактивная мощность Q = I²· (X_L - X_C) = 36 · 7 =252 Вар;

в) полная мощность S = U · I = 60 · 6 = 360 ВА.

- Коэффициент мощности:

cos φ = P / S = 252 / 360 = 0,7.

- Резонансная частота:

f_р = 1 / (2 · √L · C) = 1 / (2 · 3,14 · √0,0191 · 318,4 · 10^-6) = 64,5 Гц.

Построение векторной диаграммы цепи, исходя из условия: вектор напряжения на зажимах неразветвленной цепи равен сумме векторов напряжений на отдельных элементах цепи: U = U_R + U_L + U_C;

• определить действующие значения напряжений на элементах цепи:

U_R = I · R = 6 · 7 = 42 В – напряжение на активном сопротивлении;

U_L = I · X_L = 6 · 12 = 72 В – напряжение на индуктивном сопротивлении;

U_C = I · X_C = 6 · 5 = 30 В – напряжение на емкостном сопротивлении;

• выбрать масштаб: по току m_i = 1 А / см,

по напряжению m_u = 10 В / см;

• определить длины векторов: тока l_I = I / m_i = 6 / 1 = 6 см,

напряжений l_UR = U_R / m_u = 42 / 10 = 4,2 см,

l_UL = U_L / m_u = 72 / 10 = 7,2 см,

l_UC = U_C / m_u = 30 / 10 = 3 см;

• отложить горизонтальную ось, задав ее положительное направление;

• построить вектор тока I, длиной 6 см, с учетом его начальной фазы ψ_i = 30⁰ (положительные углы откладываются против часовой стрелки от положительного направления горизонтальной оси);

• из начала вектора тока, в масштабе, в том же направлении, отложить вектор напряжения U_R, т.к. на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе;

• из конца вектора U_R, в масштабе, отложить вектор напряжения U_L под углом 90⁰ к вектору тока в сторону опережения (против часовой стрелки), т.к. на индуктивности напряжение опережает ток на 90⁰;

• из конца вектора U_L, в масштабе, отложить противоположную сторону вектор напряжения U_C, т.к. на емкости напряжение отстает от тока на 90⁰;

• соединив начало вектора U_R с концом вектора U_C, получим вектор напряжения на зажимах цепи;

Результаты построения векторной диаграммы изображены на рисунке 4

U_L

U_C

U

I

U_R

φ

ψ_i

+

Рисунок 4

Ответ:

• ток в цепи I = 6 A;

• угол сдвига фаз φ = 45⁰;

• коэффициент мощности cos φ = 0,7;

• активная мощность P = 252 Вт;

• реактивная мощностьQ = 252 Вар;

• полная мощность S = 360 ВА;

• резонансная частота f_р = 64,5 Гц.

Пример 3

Для цепи переменного тока, изображенной на рисунке 5 известно: активное сопротивление катушки R₁ = 24 Ом, ee индуктивность L₁ = 20,38 мГн, емкость конденсатора C₂ = 6,37 мкФ, частота тока в сети f = 250 Гц. Ток в ветви с емкостью I₂ = 2 A, начальная фаза общего тока ψ_i = - 90⁰. Определить:

1. ток в ветви с индуктивностью I₁;

2. ток в неразветвленной части цепи I;

3. напряжение, приложенное к цепи U;

4. угол сдвига фаз всей цепи φ;

5. активную, реактивную и полную мощности, потребляемые всей цепью.

Построить в масштабе векторную диаграмму цепи.

Определить емкость, при которой в цепи наступит резонанс токов, если индуктивность и частота останутся неизменными.

I

R1

I₂

I₁

U C2

L1

Рисунок 5

Решение:

1. Определить реактивные сопротивления ветвей:

X₁ = X_L1 = 2π ∙ f ∙ L₁ = 2 ∙ 3,14 ∙ 250 ∙ 20,38 ∙ 10 ^-3 = 32 Ом;

X ₂ = - X_C2 = - 1 / 2π ∙ f ∙ C₂ = - 1 / 2 ∙ 3,14 ∙ 250 ∙ 6,37 ∙ 10 ^–6 = 100 Ом.

2. Определить проводимости ветвей:

   • активные проводимости

G₁ = R₁ / (R₁² + X₁²) = 24 / (24² + 32²) = 24 / 1600 = 0,015 См;

G₂ = 0, т.к. во второй ветви отсутствует активная нагрузка;

• реактивные проводимости

B₁ = X₁ / (R₁² + X₁²) = 32 / (24² + 32²) = 32 / 1600 = 0,02 См;

B₂ = 1 / X₂ = 1 / (- 100) = - 0,01 См;

• полные проводимости

Y₁ = √ G₁² + B₁² = √ 0,015² + 0,02² = 0,025 См;

Y₂ = √ G₂² + B₂² = √ 0 + (- 0,01)² = 0,01 См.

3. Определить проводимости цепи:

   • активная проводимость G = G₁+ G₂= 0,015 + 0 = 0,015 См;

   • реактивная проводимость B = B₁ + B₂ = 0,02 – 0,01 = 0,01 См;

   • полная проводимость Y = √ G² + B² = √ 0,015² + 0,01² = 0,018 См.

4. Определить напряжение на зажимах цепи:

U = I₂ / Y₂ = 2 / 0,01 = 200 В.

5. Определить ток в первой ветви:

I₁ = U ∙ Y₁ = 200 ∙ 0,025 = 5 А.

6. Определить ток в неразветвленной части цепи:

I = U ∙ Y = 200 ∙ 0,018 = 3,6 А.

7. Определить угол сдвига фаз:

sin φ = B / Y = 0,01 / 0,018 = 0,5556;

φ = arcsin 0,5556 = 34⁰.

8. Определить коэффициент мощности цепи:

cos φ = G / Y = 0, 015 / 0,018 = 0,8333.

9. Определить мощности, потребляемые цепью:

   • активная мощность P = U² ∙ G = 200² ∙ 0,015 = 600 Вт;

   • реактивная мощность Q = U² ∙ B = 200² ∙ 0,01 = 400 Вар;

   • полная мощность S = U ∙ I = 200 ∙ 3,6 = 720 ВА.

10. Емкость C_2p, при которой в цепи наступит резонанс, определим из условия резонанса токов: В_L = B_C. Емкостная проводимость второй ветви должна быть равна индуктивной проводимости первой ветви:

B_C = B₁ = 0,02 См;

Т.к B_C = 1 / X_C = 2π ∙ f ∙ C₂, то C_2р = B_C / 2π ∙ f = 0,02 / 2 ∙ 3,14 ∙ 250 = 12,74 ∙ 10 ^{- 6} Ф = 12,74 мкФ.

11.Построение векторной диаграммы:

• определить активные и реактивные составляющие токов в ветвях цепи

I_1a = U ∙ G₁ = 200 ∙ 0,015 = 3 A – активная составляющая тока I₁;

I_1р = U ∙ В₁ = 200 ∙ 0,02 = 4 A – реактивная составляющая тока I₁;

I_2a = 0 (вторая ветвь не содержит активной нагрузки);

I_2р = U ∙ В₂ = 200 ∙ (- 0,01) = - 2 A – реактивная составляющая тока I₂;

• выбрать масштаб: по току m_I – 1 А/см;

по напряжению m_U – 40 В/см;

• определить длины векторов: l_U = U / m_U = 200 / 40 = 5см;

l_{I 1a} = I_1а / m_I = 3 / 1 = 3 см;

l_{I 1р} = I_1р / m_I = 4 / 1 = 4 см;

l_{I 2р} = I_2р / m_I = 2 / 1 = 2 см;

• отложить горизонтальную ось, задав ее положительное направление;

• построить вектор напряжения Ū, длиной 5 см, с учетом его начальной фазы

ψ_u = ψ_i + φ = 34 + (-90) = -56⁰ (отрицательные углы откладываются от положительного направления горизонтальной оси по часовой стрелке);

• из начала вектора напряжения, в том же направлении, отложить в масштабе вектор Ī_1a,т.к. на активном сопротивлении напряжение и ток совпадают по фазе;

• из конца вектора Ī_1a отложить вектор Ī_1р, длиной 4 см, под углом 90⁰ к вектору напряжения в сторону отставания, т.к. на индуктивности ток отстает от напряжения на 90⁰ (против часовой стрелки);

• активная составляющая второго тока I_2a = 0, поэтому из конца вектора Ī_1р построить в масштабе вектор Ī_2р, под углом 90⁰ к вектору напряжения в сторону опережения, т.к. на емкости ток опережает напряжение на 90⁰ (по часовой стрелке);

• соединив начало вектора Ī_1a с концом вектора Ī_2р, получим сумму векторов:

Ī_1a + Ī_1Р + Ī_2р = Ī, являющуюся вектором тока в неразветвленной части цепи.

Результаты построения векторной диаграммы изображены на рисунке 6.

+

ψ_u

φ I_1a

I

I_2р U

I_1р

Рисунок 6

Ответ: I₁ = 5 A; I = 3,6 A; U = 200 B; φ = 34⁰; P = 600 Вт; Q = 400 Вар;

S = 720 ВА.

Для выполнения задач 4 и 5 по расчету трехфазной цепи необходимо

знать:

14. особенности соединения обмоток генератора звездой и

треугольником, соотношения между линейными и фазными

напряжениями для этих видов соединений;

15. соединение приемников энергии звездой, роль нейтрального

провода;

16. понятие симметричной и несимметричной нагрузки фаз;

17. соединение приемников энергии треугольником, соотношение

между линейными и фазными токами при равномерной нагрузке;

18. методику расчета трехфазных цепей;

уметь:

19. рассчитать трехфазную цепь при соединении

электроприемников звездой или треугольником;

20. строить векторную диаграмму токов и напряжений при

симметричной и несимметричной нагрузке;

21. определять с помощью векторной диаграммы:

для соединения электроприемников звездой значение тока в

нейтральном проводе,

для соединения электроприемников треугольником - значения

линейных токов.