Вопрос28. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении. Волновое уравнение.

Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы α,β, γ Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат, имеют вид   . Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний в точке О (рис.8.3) на время   тогда уравнение волны

(8.4)

Выразим расстояние l через радиус-вектор   точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор   нормали к волновой поверхности. Скалярное произведение

Подставим значение l в уравнение (8.4) и внесем в скобки

Отношение   равно волновому числу k. Вектор   равный по модулю волновому числу   и имеющий направление вдоль нормали к волновой поверхности называется волновым вектором. Введя вектор   , получим

(8.5)

Чтобы перейти от радиуса - вектора точки к ее координатам х, у, z , выразим скалярное произведение  через проекции векторов на координатные оси :

Тогда уравнение плоской волны принимает вид:

(8.6)

Где

Волновое уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды Волновое уравнение имеет вид:    где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х,у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. Волновое уравнение является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то Волновое уравнение упрощается и называется двумерным (одномерным). Волновое уравнение допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:   u = f (t - r/a)/r, где f — произвольная функция, a      Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):   u = δ (t - r/a)/r (где δ — дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.   Малые колебания струны описываются одномерным Волновое уравнение:    Ж. Д"Аламбер предложил (1747) метод решения этого Волновое уравнение в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x -at) + g (x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий.

Вопрос29. Скорость распространения упругих волн.

(V) — скорость распространения фазы упругого возмущения в разл. упругих средах. В неограниченных изотропных средах упругие волны распространяются адиабатически, без дисперсии. В анизотропных средах могут возникать волны с разл. частотой. В твердых телах (г. п., м-лы) могут распространяться продольные волны V_p, обусловленные деформациями сжатия-растяжения; поперечные волны V_s, вызываемые деформациями сдвига, и поверхностные волны Релея. В жидкостях поперечные волны не возникают. Для идеально упругих сред, к которым относится большинство м-лов и т.п., установлена связь V с плотностью о и др. упругими параметрами—модулем Юнга Е и Пуассона коэф. ц:     

Единицы измерения V : в СИ — м/сек, в СГС — см/сек, на практике км/сек.