5. Число r-сочетаний с повторениями из n элементов.
Сочетания с повторениями — комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения предметов.
формула для нахождения количества сочетаний с повторениями:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Метод включения и исключения (формула для числа элементов, не обладающих ни одним из заданных свойств).
n(0) = n –
+ 
- … - 
+ … + 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Метод включения и исключения (формула для числа элементов, обладающих в точности t (t ≥ 1) свойствами из числа заданных свойств).
n(t) = 
- 
+ … + 
+…+ 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. Применение метода включения и исключения (задача о беспорядках, задача о числе сюръективных отображений).
Задача о беспорядках
Требуется
найти число перестановок 
множества 
таких
что 
для
всех 
.
Такие перестановки называются беспорядками.
Пусть 
—
множество всех перестановок 
и
пусть свойство 
перестановки
выражается равенством 
.
Тогда число беспорядков есть 
.
Легко видеть, что 
—
число перестановок, оставляющих на
месте элементы 
,
и таким образом сумма 
содержит 
одинаковых
слагаемых. Формула включений-исключений
дает выражение для числа 
беспорядков:
Это соотношение можно преобразовать к виду
Нетрудно
видеть, что выражение в скобках является
частичной суммой ряда 
.
Таким образом, с хорошей точностью число
беспорядков составляет 
долю
от общего числа 
перестановок:
Число сюръективных отображений конечного
множества X; |X|= n, на конечное множество Y ; |Y | = m, то
есть число функций f : X Y , таких, что f (X) = Y ,
равно cогласно принципу включения-исключения:
f(n,m) =
+ 
^n
=
+ 
^n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Понятие рекуррентного соотношения. Рекуррентное соотношение k-го порядка для функции одной переменной, его общее решение.
Рекуррентноe соотношениe- соотношение между элементами последовательности, в которой следующий элемент выражается через несколько предыдущий.
Рекурентная
формула —
формула вида 
,
выражающая каждый член
последовательности 
через p предыдущих
членов.
Например
- числа Фибоначчи
Линейным рекуррентным соотношением k - го порядка(k - фиксировано) с постоянными коэффициентами называется рекуррентное соотношение следующего вида:
(3)
-
постоянные 
.
Характеристическим уравнением рекуррентного соотношения (3) является уравнение вида
Теорема
2:
Пусть 
-
все попарно различные корни
характеристического уравнения
рекурретного соотношения (3) 
-
кратность корня 
.
Тогда общее решение рекуррентного
соотношения (3) имеет следующий вид:
.
В
частности, если 
,
то
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------