5. Метод Лагранжа вариации постоянной.

Сначала решается однородное линейное дифференциальное уравнение (*), соответствующее неоднородному (**): находят общее решение (*). Затем постоянную величину С, входящую в полученное общее решение, полагают новой неизвестной функцией от х: С=С(х), т.е. варьируют произвольную постоянную. Найденную ф-ю подставляют в полученное на первом этапе общее решение однородного уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения.

6 (29 Или 32) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

y” + py’ + qy = f(x)

Алгоритм решения

Необходимо найти общее решение однородного линейного уравнения

y” + py’ + qy = 0, соответствующего заданному неоднородному уравнению.

Для этого необходимо сначала решить характеристическое уравнение

2 + p + q = 0.

В зависимости от решения характеристического уравнения необходимо записать общее решение однородного линейного уравнения.

Возможны следующие случаи:

D = p2 – 4q > 0, 1,2 – два действительных различных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1e1x + C2e2x; C1, C2 = const.

D = p2 – 4q = 0,  =-p/2 – единственный корень характеристического уравнения , тогда общее решение имеет вид:

Y = C1ex + C2ex; C1, C2 = const.

D = p2 – 4q < 0, 1,2 =  + i – два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения, тогда общее решение имеет вид:

Y = C1ex sinx + C2excosx, C1, C2 = const.

Необходимо найти частное решение неоднородного линейного уравнения по следующей таблице.

Поиск частных решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами y” + py’ + qy = f(x)

F(x)	Дополнитель-ные условия	Частное решение φ(x)
pn(x)- многочлен n- ой степени	q ≠ 0	φ(x) = Pn(x)
	q = 0	φ(x) = x Pn(x)
	p = q = 0	φ(x) = x2 Pn(x)
aebx; где a,b = const	b ≠ 1,2	Φ(x) = Aebx, где A = const
	b = 1	Φ(x) = Axebx, где A = const
	b = -p/2 = 	φ(x) = Ax2 ebx, где A = const
asin kx + + bcos kx	k ≠ 0, p ≠ 0	φ(x) = Asin kx + Bcos kx
	p = 0, q = k2	φ(x) = x (Asin kx + Bcos kx)
pn(x) + debx + asin kx+ bcos kx		Cумма частных решений для каждого слагаемого
(pn(x) sin kx + qm(x) cos kx) ebx		φ(x) = (Pn(x) sin kx + Qm(x) cos kx) ebx

III. Общее решение неоднородного линейного уравнения находится как сумма общего решения однородного линейного уравнения и частного решения неоднородного линейного уравнения y = φ(x) + Y

7 Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть F(x,y,y)=0. Если это уравнение можно разрешить относительно у, т.е. записать в виде у=f(x,y), то говорят, что уравнение записано в нормальной форме (или в форме Коши).

Рассмотрим геометрическую трактовку нахождения решений уравнения. Возьмём некоторую точку (x0,y0) из области определения D функции f(x,y). Пусть у=(х) – интегральная кривая, проходящая через эту точку. Из уравнения вытекает, что (х0)=(х0,у0). Таким образом, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х0,у0) равен (прих=х0) числу f(х0,у0).

Построим теперь для каждой точки (х0,у0) из области определения прямую, проходящую через эту точку и имеющую угловой коэффициент, равный f(х0,у0). В этом случае принято говорить, что эта прямая определяет направление в точке (х0,у0), а на множестве D задано поле направлений.

Если каждое уравнение, входящее в систему, является дифференциальным, т.е. имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений. Так система дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями записывается обычно в виде



 (t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0

 ( t,x1,x2, dx1/dt,dx2/dt)=0.

На системы дифференциальных уравнений естественным образом обощается постановка задачи Коши для одного уравнения. Например, в случае данной системы задача Коши состоит в нахождении решения х1(t),x2(t), удовлетворяющих начальным условиям х1(t0)= х10, x2(t0)= x20, где t0, х10, x20 – заданные числа. Для случая системы может быть доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме для одного уравнения.