1 ответ

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Вматематическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Пусть дана функция   и   — внутренняя точка области определения   Тогда

 называется точкой локального максимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

 называется точкой локального минимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

Если неравенства выше строгие, то   называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

 называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции   называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция   определённая на множестве   может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, 

Необходимые условия существования локальных экстремумов

Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка   является точкой экстремума функции  , определенной в некоторой окрестности точки  .

Тогда либо производная   не существует, либо  .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

Достаточные условия существования локальных экстремумов

Пусть функция   непрерывна в   и существуют конечные или бесконечные односторонние производные  . Тогда при условии

 является точкой строгого локального максимума. А если

то   является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке 

Пусть функция   непрерывна и дважды дифференцируема в точке  . Тогда при условии

 и 

 является точкой локального максимума. А если

 и 

то   является точкой локального минимума.

2 ответ. Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y) D. ТочкаM0(x0;y0) - внутренняя точка области D. Если в D присутствует такая окрестность UM0 точки M0, что для всех точек то точка M0 называется точкой локального максимума. А само значение z(M0) - локальным максимумом. А если же для всех точек то точка M0 называется точкой локального минимума функции z(x,y). А само значение z(M0) - локальным минимумом. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 - точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума). Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются "соседними" с точкой C0. В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума: Аналогично определяется и глобальный минимум: Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10. Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума). Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y) D. Точка M0(x0;y0 D - точка локального экстремума. Если в этой точке существуют z'x и z'y, то Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под углом 0° к оси Ох и к оси Оу. Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3): что и требовалось доказать. Определение 1.12. Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y). Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума). Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим: Если: Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются. Пример 1.13. Исследовать на экстремум: Решение 1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41): то есть найдены четыре стационарные точки.  2. по теореме 1.4 в точке   – минимум. Причём  по теореме 1.4 в точке - максимум.  Причём

3 Ответ

2.5 Скалярное поле. Поверхности и линии уровня

      Рассмотрим в 3-х мерном пространстве некоторую область. Если в каждой точке   этой области задать число (скаляр)  , то говорят, что задано скалярное поле  . Согласно такому определению, скалярное поле является функцией точки. Так как положение точки   можно характеризовать ее радиус-вектором  , то задание поля будет означать, что установлено соответствие между   и  . Таким образом, поле можно рассматривать как функцию векторного аргумента   (рис. 13).

Рис.13. К определению скалярного поля

      Если в области определения поля ввести декартову систему координат, то   можно представить как упорядоченную тройку чисел  и тогда задание поля будет эквивалентно заданию функции трех переменных  . В дальнейшем будем считать эту функцию непрерывной и дифференцируемой.

      Как известно, функцию одной переменной можно рассматривать как уравнение кривой на плоскости  , двух переменных - как поверхность  . Представить аналогичный "график" в случае поля   затруднительно, поэтому для наглядной характеристики поля используютповерхности уровня.

      Поверхностью уровня поля   называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид:

или

(61)

Уравнение (61) является уравнением поверхности, что объясняет соответствующее название. Придавая   различные значения, можно получить наглядное представление о том, как величина   распределена в пространстве. При этом, если в некоторой области поле изменяется быстро, поверхности уровня будут сближаться. Пересекаться они не могут, за исключением одной точки.

Рис.14. Поверхности уровня скалярного поля.

 Пр.     Рассмотрим поле вида   (или просто  ). Уравнение (61) принимает вид:

Так как  , то

и, таким образом, поверхностями уровня поля   будет семейство концентрических сфер с центром в начале координат (рис. 14).

ПР. Построить линии уровня плоского поля  , где  ,  ,   (2-х мерный аналог потенциала электрического диполя).

Решение. Уравнение линий уровня имеет вид:

Рис.15. Линии уровня плоского поля.

Для различных значений   получается семейство окружностей с единственной общей точкой в начале координат (рис. 15). В левой полуплоскости значения поля положительно, в правой - отрицательно, а в точке   поле имеет особенность и неопределено.

4 Ответ.

Производная по направлению

Пусть снова функция   задана в области   и имеет во всех точках  частные производные по всем переменным   . Предположим, что все частные производные   непрерывны в точке   . Тогда функция  длифференцируема в точке   , то есть приращение функции  имеет главную линейную часть, которая равна дифференциалу:   где    -- величина большего порядка малости при   , чем   . Напомним, что  так что получаем  ( 8 .1) Фиксируем теперь в   какое-нибудь направление, выбрав задающий его ненулевой вектор  Через точку   в направлении вектора   проходит некоторая ось   . (Напомним, что осью называется прямая с выбранным на ней направлением, то есть выбранным порядком следования точек.) Точки   этой оси можно задать параметрическими уравнениями:   или, в векторном виде,   , где   и увеличению значений параметра  соответствует движение точки   оси   в направлении вектора   . Обозначим   ту часть оси   , которая состоит из точек оси, следующих после   , то есть точек луча  , получающегося при   .         Определение 8 . 2   Значение предела  называется производной функции   по направлению оси (или луча )   (или по направлению вектора   ), вычисленной в точке   . Производная по направлению обозначается   или        Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции   при прямолинейном и равномерном движении точки   вдоль оси  в момент   . Заметим, что если направление оси   совпадает с направлением одной из координатных осей   , то производная функции   по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции   по соответствующей переменной   . Если существует (двусторонняя) частная производная по   , то получаем, что   если   . Используя параметризацию точки на луче   вида   и замечая, что условие  означает, что   , получаем: Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы ( 8.1 ):      Отсюда           Здесь в правой части первые   слагаемых не зависят от   . Поскольку   при   , то последний предел равен 0, так как    -- величина большего порядка малости, чем  . Итак, получили формулу   С помощью этой формулы можно вычислять производную по любому направлению, если известен направляющий вектор этого направления   . Заметим, что в правой части полученной формулы первый множитель каждого слагаемого -- это компонента вектора  , а второй множитель -- компонента вектора   . Этот вектор лишь длиной отличается от вектора   ; направление его, очевидно, то же, что у  . Длина вектора   равна 1:   Поэтому компоненты вектора    -- это направляющие косинусы  -- косинусы углов   между осью   и осями координат   :   где    -- единичный направляющий вектор оси   ,   , а точкой  обозначено скалярное произведение векторов   и   . Таким образом, имеет место следующая теорема, выражающая связь между производной по направлению, градиентом и единичным направляющим вектором оси:         Теорема 8 . 1   Если все частные производные   функции   непрерывны в точке   и направление оси  задано вектором   , то   где   -- единичный направляющий вектор оси   , или  где    -- углы между осью  и осями   .