Основы дискретной математики / ОДМ - Лекция 1
.htmпдн - мЕЛГЙС 1 бОФЙОПНЙЙ (РБТБДПЛУЩ) бОФЙОПНЙС ЧУЕНПЗХЭЕУФЧБ вПЗ ЧУЕНПЗХЭ, РПЬФПНХ ПО НПЦЕФ УПЪДБФШ ФБЛПК ЛБНЕОШ, ЛПФПТЩК УБН ОЕ УНПЦЕФ РПДОСФШ. оП вПЗ ЧУЕНПЗХЭ, РПЬФПНХ ПО НПЦЕФ РПДОСФШ МАВПК ЛБНЕОШ.
бОФЙОПНЙС тБУУЕМБ тБУУНПФТЙН ЧУЕ НОПЦЕУФЧБ, ОЕ УПДЕТЦБЭЙЕ УБНЙИ УЕВС. тБУУНПФТЙН НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ФБЛЙИ НОПЦЕУФЧ. фПЗДБ: ЕУМЙ ПОП ОЕ УПДЕТЦЙФ УЕВС, ФП ПОП УПДЕТЦЙФ УЕВС.
рБТБДПЛУ « дЕТЕЧЕОУЛЙК РБТЙЛНБИЕТ» пфопыеойе - РТПЙЪЧПМШОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП R НОПЦЕУФЧБ An ЧУЕИ ЛПТФЕЦЕК (ХРПТСДПЮЕООЩИ ОБВПТПЧ) ЧЙДБ Вa1,...,an), ЗДЕ a1,...,an -ЬМЕНЕОФЩ ОЕЛПФПТПЗП НОПЦЕУФЧБ A; Ч ЬФПН УМХЮБЕ ЗПЧПТСФ, ЮФП R ЕУФШ n-НЕУФОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ ОБ A. рПОСФЙЕ ПФОПЫЕОЙС УМХЦЙФ Ч НБФЕНБФЙЛЕ ДМС ЧЩТБЦЕОЙС ОБ ФЕПТЕФЙЛП-НОПЦЕУФЧЕООПН СЪЩЛЕ УЧСЪЕК НЕЦДХ ПВЯЕЛФБНЙ. нОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ФБЛЙИ ЬМЕНЕОФПЧ a, ЛПФПТЩЕ ЧИПДСФ ИПФС ВЩ Ч ПДЙО ЛПТФЕЦ, РТЙОБДМЕЦБЭЙК ПФОПЫЕОЙА R ОБЪЩЧБЕФУС РПМЕН ЬФПЗП ПФОПЫЕОЙС. дЧХИНЕУФОЩЕ ПФОПЫЕОЙС ОБЪЩЧБАФУС ВЙОБТОЩНЙ. еУМЙ R - ВЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ, ФП ЧНЕУФП В a, bУп R, ЮБУФП РЙЫХФ aRb. юБУФОЩН УМХЮБЕН РПОСФЙС ПФОПЫЕОЙС СЧМСЕФУС УППФЧЕФУФЧЙЕ. юЕТЕЪ пПВПЪОБЮБЕФУС ПФОПЫЕОЙЕ РТЙОБДМЕЦОПУФЙ, Ф.Е. x п A ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЬМЕНЕОФ x РТЙОБДМЕЦЙФ НОПЦЕУФЧХ A. еУМЙ x ОЕ СЧМСЕФУС ЬМЕНЕОФПН НОПЦЕУФЧБ A, ФП ЬФП ЪБРЙУЩЧБЕФУС x р A. дЧБ НОПЦЕУФЧБ A Й B УЮЙФБАФУС ТБЧОЩНЙ, ЕУМЙ ПОЙ УПУФПСФ ЙЪ ПДОЙИ Й ФЕИ ЦЕ ЬМЕНЕОФПЧ. рЙЫЕФУС A = B, ЕУМЙ A Й B ТБЧОЩ, Й A № B Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ. юЕТЕЪ о ПВПЪОБЮБЕФУС ПФОПЫЕОЙЕ ЧЛМАЮЕОЙС НОПЦЕУФЧ, Ф.Е. A о B ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЛБЦДЩК ЬМЕНЕОФ НОПЦЕУФЧБ A СЧМСЕФУС ЬМЕНЕОФПН НОПЦЕУФЧБ B. ч ЬФПН УМХЮБЕ A ОБЪЩЧБЕФУС РПДНОПЦЕУФЧПНB, Б B - ОБДНОПЦЕУФЧПНA. еУМЙ A о B Й A № B, ФП A ОБЪЩЧБЕФУС УПВУФЧЕООЩН РПДНОПЦЕУФЧПН B, Й Ч ЬФПН УМХЮБЕ РЙЫЕН A н B. нОПЦЕУФЧП, ОЕ УПДЕТЦБЭЕЕ ЬМЕНЕОФПЧ, ОБЪЩЧБЕФУС РХУФЩН Й ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ ц . пВЯЕДЙОЕОЙЕН (дйъяаолгйек, ухннпк) НОПЦЕУФЧA Й B ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП
A й B = {xР x п A ЙМЙ x п B}.
рЕТЕУЕЮЕОЙЕН (лпояаолгйек) НОПЦЕУФЧA Й B ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП
A ъ B = {xР x п A Й x п B}.
тБЪОПУФША НОПЦЕУФЧ A Й B ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП
A |\ B = {xР xп A Й x р B}.
уЙННЕФТЙЮЕУЛПК ТБЪОПУФША НОПЦЕУФЧ A Й B ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП
A - B = (A \ B) й (B \ A) .
нПЭОПУФША (ЙМЙ лбтдйобмшощн юйумпн) НОПЦЕУФЧБ ОБЪЩЧБЕФУС ЛПМЙЮЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ Ч ОЕН. оЕЛПФПТПЕ, ПВЭЕЕ ДМС ЧУЕИ НОПЦЕУФЧ ДБООПК НПЭОПУФЙ, ОБДНОПЦЕУФЧП, ОБЪЩЧБЕФУС ХОЙЧЕТУБМШОЩН НОПЦЕУФЧПН ЙМЙ хойчетухнпн Й ПВПЪОБЮБЕФУС ПВЩЮОП ЛБЛ U. тБЪОПУФШ U \ A ОБЪЩЧБЕФУС ДПРПМОЕОЙЕН НОПЦЕУФЧБ A Й ПВПЪОБЮБЕФУС ЮЕТЕЪ -A. уППФЧЕФУФЧЙЕ, ВЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ ДЧХНС НОПЦЕУФЧБНЙ A Й B - РТПЙЪЧПМШОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП RДЕЛБТФПЧБ РТПЙЪЧЕДЕОЙСA ґB.
еУМЙ a пA, b п B Й (a, b) п R, ФП РЙЫХФ ФБЛЦЕ R(a, b) ЙМЙ aRb. еУМЙ R = ц - РХУФПЕ НОПЦЕУФЧП, ФП УППФЧЕФУФЧЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС РХУФЩН, Б ЕУМЙ R = A ґ B, ФП УППФЧЕФУФЧЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС РПМОЩН. рХУФШ R о A ґ B. пВМБУФША ПРТЕДЕМЕОЙС Dom R ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ a п A, ДМС ЛБЦДПЗП ЙЪ ЛПФПТЩИ ОБКДЕФУС ИПФС ВЩ ПДЙО ЬМЕНЕОФ b п B ФБЛПК, ЮФП aRb. пВМБУФША ЪОБЮЕОЙК, ЙМЙ ПВТБЪПН, Im R УППФЧЕФУФЧЙС R ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ b п B, ДМС ЛБЦДПЗП ЙЪ ЛПФПТЩИ ОБКДЕФУС ИПФС ВЩ ПДЙО ЬМЕНЕОФ a пA ФБЛПК, ЮФП aRb. уППФЧЕФУФЧЙЕ R ОБЪЩЧБЕФУС ЧУАДХ ПРТЕДЕМЕООЩН, ЕУМЙ Dom R = A, Й УАТЯЕЛФЙЧОЩН, ЕУМЙ Im R = B. дМС ЛБЦДПЗП a пA НОПЦЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ bп B ФБЛЙИ, ЮФП aRb, ОБЪЩЧБЕФУС ПВТБЪПНa ПФОПУЙФЕМШОП R Й ПВПЪОБЮБЕФУС im R a. рТППВТБЪПН ЬМЕНЕОФБ b п B ПФОПУЙФЕМШОП R ОБЪЩЧБЕФУС НОПЦЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ a п A ФБЛЙИ, ЮФП aRb; РТППВТБЪ ПВПЪОБЮБЕФУС coim R b. сУОП, ЮФП Im R = й a п A im R a, Dom R = йb п B coim R b. лБЦДПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ ПДОПЪОБЮОП ПРТЕДЕМСЕФ ЖХОЛГЙА a (r) im R a, ЛПФПТБС ПФПВТБЦБЕФ НОПЦЕУФЧП A Ч НОПЦЕУФЧП РПДНОПЦЕУФЧ B. пВТБФОП, ЧУСЛБС ЖХОЛГЙС f ЙЪ НОПЦЕУФЧБ A Ч НОПЦЕУФЧП РПДНОПЦЕУФЧ B ПРТЕДЕМСЕФ ОЕЛПФПТПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ R(f ): aR(f )b ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ b пf(a). хЛБЪБООЩЕ УПРПУФБЧМЕОЙС ЧЪБЙНОП ПДОПЪОБЮОЩ, ЮФП РПЪЧПМСЕФ ТБУУНБФТЙЧБФШ УППФЧЕФУФЧЙС ЛБЛ ЮБУФЙЮОП ПРТЕДЕМЕООЩЕ НОПЗПЪОБЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ. дМС ЛПОЕЮОЩИ НОПЦЕУФЧ A Й B ЫЙТПЛП ЙУРПМШЪХАФУС НБФТЙЮОПЕ Й ЗТБЖПЧПЕ РТЕДУФБЧМЕОЙС УППФЧЕФУФЧЙС. рХУФШ A = {a1, a2, ..., an}, B = {b1, b2, ..., bm} Й R о A ґB. уППФЧЕФУФЧЙА R УПРПУФБЧМСЕФУС НБФТЙГБ ТБЪНЕТБ n ґ m, УФТПЛЙ ЛПФПТПК РПНЕЮЕОЩ ЬМЕНЕОФБНЙ ЙЪ A, УФПМВГЩ - ЬМЕНЕОФБНЙ ЙЪ B , Б ОБ РЕТЕУЕЮЕОЙЙ УФТПЛЙ ai Й УФПМВГБ bj УФПЙФ 1, ЕУМЙ ai R bj , Й 0 Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ. оБРТЙНЕТ,
A = {a, b, c}, B = {x, y}, R = {(a, x), (a, y), (b, y), (c, x)}.
фПЗДБ R УПРПУФБЧМСЕФУС НБФТЙГБ
лБЦДБС НБФТЙГБ РПДПВОПЗП ЧЙДБ ПДОПЪОБЮОП ПРТЕДЕМСЕФ УППФЧЕФУФЧЙЕ НЕЦДХ A Й B. рТЙ ЗТБЖПЧПН РТЕДУФБЧМЕОЙЙ ЬМЕНЕОФЩ НОПЦЕУФЧ A Й B ЙЪПВТБЦБАФУС ФПЮЛБНЙ ОБ РМПУЛПУФЙ. пВЩЮОП ЬФЙ ФПЮЛЙ ПВПЪОБЮБАФУС ФЕНЙ ЦЕ УЙНЧПМБНЙ, ЮФП Й УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЬМЕНЕОФЩ. фПЮЛЙ a Й b УПЕДЙОСАФУС ОБРТБЧМЕООПК ДХЗПК ПФ a Л b, ЕУМЙ aRb. оБРТЙНЕТ, УППФЧЕФУФЧЙЕ R = {(a, x), (a, y), (b, y), (c, x)} ЙЪПВТБЪЙФУС УМЕДХАЭЙН ПТЙЕОФЙТПЧБООЩН ЗТБЖПН:
чУСЛПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ R о A ґ B ХУФБОБЧМЙЧБЕФ Ф.О. УППФЧЕФУФЧЙЕ зБМХБ НЕЦДХ РПДНОПЦЕУФЧБНЙ НОПЦЕУФЧБ A Й РПДНОПЦЕУФЧБНЙ НОПЦЕУФЧБ B. йНЕООП, ЕУМЙ X о A, ФП ЮЕТЕЪ G (X) ПВПЪОБЮБЕФУС РЕТЕУЕЮЕОЙЕ ъ a п X im R a; БОБМПЗЙЮОП, ДМС Y о B ЧЧПДЙФУС НОПЦЕУФЧП G-1(Y)= ъ b п Y coim R b.
рХУФШ X* = G-1 (G (X)), Y* = G (G -1(Y)), ФПЗДБ X о X*, Y о Y*; ЙЪ X1 о X2 УМЕДХЕФ G (X1) л G (X2); ЙЪ Y1 о Y2 УМЕДХЕФ G-1(Y1) л G -1(Y2); X** = X*; Y** = Y*.
рПДНОПЦЕУФЧП X о A (Y о B) ОБЪЩЧБЕФУС ЪБНЛОХФЩН, ЕУМЙ X = X* (Y = Y*). уППФЧЕФУФЧЙЕ зБМХБ ХУФБОБЧМЙЧБЕФ ВЙЕЛФЙЧОПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ НЕЦДХ ЪБНЛОХФЩНЙ РПДНОПЦЕУФЧБНЙ Ч A Й B.
нОПЦЕУФЧП б: {мЕОБ, рЕФС, нБЫБ, чБУС, цЕОС, ьММПЮЛБ} нОПЦЕУФЧП B: {зПТШЛЙК, дПУФПЕЧУЛЙК, мЕТНПОФПЧ, оЕЛТБУПЧ, рХЫЛЙО, фПМУФПК, жЕФ} дЕЛБТФПЧП РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ AxB - ЬФП НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ РБТ ЧЙДБ (мЕОБ, зПТШЛЙК) Й Ф.Д. нОПЦЕУФЧП R (РПДНОПЦЕУФЧП НОПЦЕУФЧБ AxB): (мЕОБ, оЕЛТБУПЧ); (мЕОБ, жЕФ); (рЕФС, зПТШЛЙК); (рЕФС, рХЫЛЙО); (рЕФС, фПМУФПК); (нБЫБ, рХЫЛЙО); (нБЫБ, мЕТНПОФПЧ);(чБУС, рХЫЛЙО); (чБУС, дПУФПЕЧУЛЙК); (цЕОС, жЕФ); (чБУС, фПМУФПК); (цЕОС, зПТШЛЙК) рПУФБЧЙН ЧПРТПУ ПВ ПВЭОПУФЙ ЙОФЕТЕУПЧ. чЩВЕТЕН: нОПЦЕУФЧП и: {нБЫБ, чБУС} нОПЦЕУФЧП im R нБЫБ: {рХЫЛЙО, мЕТНПОФПЧ} нОПЦЕУФЧП im R чБУС: {дПУФПЕЧУЛЙК, фПМУФПК, рХЫЛЙО} лУФБФЙ, НОПЦЕУФЧП im R ьММПЮЛБ: ц нОПЦЕУФЧП з(и) = im R нБЫБ ъ im R чБУС: {рХЫЛЙО}
оБКДЕН РПДНОПЦЕУФЧП УП УИПДОЩНЙ ЙОФЕТЕУБНЙ: нОПЦЕУФЧП и* = з-1(з(и)) = з-1({рХЫЛЙО}) = coim R рХЫЛЙО: {рЕФС, нБЫБ, чБУС}
рПУЛПМШЛХ УППФЧЕФУФЧЙС НЕЦДХ A Й B СЧМСАФУС РПДНОПЦЕУФЧБНЙ ПДОПЗП Й ФПЗП ЦЕ НОПЦЕУФЧБ A ґB, НПЦОП ЗПЧПТЙФШ ПВ ЙИ ПВЯЕДЙОЕОЙЙ, РЕТЕУЕЮЕОЙЙ Й ДПРПМОЕОЙЙ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЧУЕ УППФЧЕФУФЧЙС НЕЦДХ A Й B ПВТБЪХАФ ВХМЕЧХ БМЗЕВТХ, ЙЪПНПТЖОХА ВХМЕЧПК БМЗЕВТЕ УППФЧЕФУФЧЙС НЕЦДХ B Й A. ьФПФ ЙЪПНПТЖЙЪН ЪБДБЕФУС У РПНПЭША ПРЕТБГЙЙ ЙОЧПМАГЙЙ, ЙМЙ ПВТБЭЕОЙС УППФЧЕФУФЧЙС: ЕУМЙ R о A ґ B, ФП ЙОЧПМАГЙС R# УПУФПЙФ ЙЪ ФБЛЙИ РБТ (b, a), ЮФП (a, b) п R. йОПЗДБ ЧНЕУФП R# РЙЫХФ R-1. сУОП, ЮФП R## = R. рПНЙНП ФЕПТЕФЙЛП-НОПЦЕУФЧЕООЩИ ПРЕТБГЙК ДМС УППФЧЕФУФЧЙС ЧЧПДЙФУС ПРЕТБГЙС ХНОПЦЕОЙС. еУМЙ R о A ґ B, S о B ґ C, ФП РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ RS УПУФПЙФ ЙЪ ФБЛЙИ РБТ (a, c), ДМС ЛПФПТЩИ ОБКДЕФУС ЬМЕНЕОФ b п B ФБЛПК, ЮФП (a, b) п R, (b, c) п S. хНОПЦЕОЙЕ УППФЧЕФУФЧЙК БУУПГЙБФЙЧОП Й ПВМБДБЕФ УМЕДХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ: ЕУМЙ R1 о R2, ФП R1S о R2S; (RS)# = R#S#. лТПНЕ ФПЗП, УРЕГЙБМШОЩЕ УППФЧЕФУФЧЙС - ПФОПЫЕОЙС ФПЦДЕУФЧБ, ЙМЙ ДЙБЗПОБМЙ, D A, УПУФПСЭЙЕ ЙЪ ЧУЕИ РБТ (a, a), a пA, ЙЗТБАФ ТПМШ ЕДЙОЙГ ДМС ХНОПЦЕОЙС УППФЧЕФУФЧЙК. йНЕООП, ЕУМЙ R о A ґ B, ФП D AR = R = RD B. дМС ЧУСЛПЗП УППФЧЕФУФЧЙС R ЧЩРПМОЕОП ЧЛМАЮЕОЙЕ R о RR#R. еУМЙ ЧНЕУФП ЧЛМАЮЕОЙС ЧЩРПМОСЕФУС ТБЧЕОУФЧП, ФП УППФЧЕФУФЧЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС ДЙЖХОЛГЙПОБМШОЩН. уППФЧЕФУФЧЙЕ R о A ґ B ОБЪЩЧБЕФУС ЖХОЛГЙПОБМШОЩН, ЕУМЙ RR# л DA Й R#R о D B. жХОЛГЙПОБМШОЩЕ УППФЧЕФУФЧЙС - ЬФП Ч ФПЮОПУФЙ ЗТБЖЙЛЙ ЖХОЛГЙК ЙЪ A Ч B. чУСЛПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ R РТЕДУФБЧЙНП Ч ЧЙДЕ R = F#G, ЗДЕ F, G - ЖХОЛГЙПОБМШОЩЕ УППФЧЕФУФЧЙС. рХУФШ R о A ґ A. CППФЧЕФУФЧЙЕ R ОБЪЩЧБЕФУС: a) ТЕЖМЕЛУЙЧОЩН, ЕУМЙ R л DA; b) УЙННЕФТЙЮОЩН, ЕУМЙ R = R#; c) БОФЙУЙННЕФТЙЮОЩН, ЕУМЙ R ъ R# оD A; d) БУЙННЕФТЙЮОЩН, ЕУМЙ R ъ R# = ц ; e) ФТБОЪЙФЙЧОЩН, ЕУМЙ R2 о R. пФОПЫЕОЙЕ R ОБЪЩЧБЕФУС: a) РТЕДРПТСДЛПН, ЕУМЙ ПОП ТЕЖМЕЛУЙЧОП Й ФТБОЪЙФЙЧОП; b) РПТСДЛПН, ЕУМЙ ПОП ТЕЖМЕЛУЙЧОП, ФТБОЪЙФЙЧОП Й БОФЙУЙННЕФТЙЮОП; c) ФПМЕТБОФОПУФША, ЕУМЙ ПОП ТЕЖМЕЛУЙЧОП Й УЙННЕФТЙЮОП; d) ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФША, ЕУМЙ ПОП ТЕЖМЕЛУЙЧОП, УЙННЕФТЙЮОП Й ФТБОЪЙФЙЧОП. еУМЙ R - ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФШ, ФП НОПЦЕУФЧП A ТБУРБДБЕФУС ОБ ОЕРЕТЕУЕЛБАЭЙЕУС ЛМБУУЩ ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ, ЙМЙ ОБ ЛМБУУЩ ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФЙ. нОПЦЕУФЧП ЛМБУУПЧ ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФЙ ОБЪЩЧБЕФУС ЖБЛФПТНОПЦЕУФЧПН НОПЦЕУФЧБ A РП ПФОПЫЕОЙА R. чУСЛПЕ ДЙЖХОЛГЙПОБМШОПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ R о A ґ B ЪБДБЕФ ОБ УЧПЙИ ПВМБУФСИ ПРТЕДЕМЕОЙС Й ЪОБЮЕОЙК ПФОПЫЕОЙС ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФЙ, ЖБЛФПТНОПЦЕУФЧБ РП ЛПФПТЩН ТБЧОПНПЭОЩ. ч ПРТЕДЕМЕОЙЙ УППФЧЕФУФЧЙС НПЦОП УЮЙФБФШ A Й B ПДОПФЙРОЩНЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙНЙ УФТХЛФХТБНЙ, ДМС ЛПФПТЩИ НПЦОП РПУФТПЙФШ ДЕЛБТФПЧП РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ У ФПК ЦЕ УФТХЛФХТПК, Й УЮЙФБФШ R РПДУФТХЛФХТПК ДЕЛБТФПЧБ РТПЙЪЧЕДЕОЙС A ґ B. фПЗДБ РПМХЮБАФУС ПРТЕДЕМЕОЙС УППФЧЕФУФЧЙС НЕЦДХ ЗТХРРБНЙ, ЛПМШГБНЙ, ЧЕЛФПТОЩНЙ РТПУФТБОУФЧБНЙ Й Ф.Р.
рТЕДЩДХЭЙК ТБЪДЕМ пЗМБЧМЕОЙЕ уМЕДХАЭЙК ТБЪДЕМ