Основы дискретной математики / ОДМ - Лекции 13-15

пдн - мЕЛГЙЙ 13-15 йуюйумеойе чщулбъщчбойк йУЮЙУМЕОЙЕ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК ЛБЛ ЖПТНБМШОХА ФЕПТЙА НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ У РПНПЭША БЛУЙПНБФЙЮЕУЛПЗП НЕФПДБ. бЛУЙПНБФЙЮЕУЛБС (ЖПТНБМШОБС) ФЕПТЙС T УЮЙФБЕФУС ПРТЕДЕМЕООПК, ЕУМЙ ЧЩРПМОЕОЩ УМЕДХАЭЙЕ ХУМПЧЙС: 1) ЪБДБОП ОЕЛПФПТПЕ УЮЕФОПЕ НОПЦЕУФЧП, Ф.Е. НОПЦЕУФЧП, ЬМЕНЕОФЩ ЛПФПТПЗП НПЗХФ ВЩФШ ЧЪБЙНОП ПДОПЪОБЮОП УПРПУФБЧМЕОЩ ЬМЕНЕОФБН ОБФХТБМШОПЗП ТСДБ 1, 2, ... УЙНЧПМПЧ — УЙНЧПМПЧ ФЕПТЙЙ T. лПОЕЮОЩЕ РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФЙ УЙНЧПМПЧ ФЕПТЙЙ ОБЪЩЧБАФУС ЧЩТБЦЕОЙСНЙ ФЕПТЙЙ T; 2)  ЙНЕЕФУС РПДНОПЦЕУФЧП ЧЩТБЦЕОЙК ФЕПТЙЙ T, ОБЪЩЧБЕНЩИ ЖПТНХМБНЙ ФЕПТЙЙ T (ЖПТНХМБНЙ ФЕПТЙЙ ЮБУФП ОБЪЩЧБАФ РТБЧЙМШОП РПУФТПЕООЩЕ ЖПТНХМЩ). юФПВЩ ПРТЕДЕМЙФШ, СЧМСЕФУС МЙ ЧЩТБЦЕОЙЕ ЖПТНХМПК Ч ФЕПТЙЙ, УХЭЕУФЧХЕФ ЬЖЖЕЛФЙЧОБС РТПГЕДХТБ; 3) ЧЩДЕМЕОП ОЕЛПФПТПЕ НОПЦЕУФЧП ЖПТНХМ, ОБЪЩЧБЕНЩИ БЛУЙПНБНЙ ФЕПТЙЙT; 4) ЙНЕЕФУС ЛПОЕЮОПЕ НОПЦЕУФЧП R1, R2, ..., Rn ПФОПЫЕОЙК НЕЦДХ ЖПТНХМБНЙ, ОБЪЩЧБЕНЩИ РТБЧЙМБНЙ ЧЩЧПДБ. дМС ЛБЦДПЗП Ri УХЭЕУФЧХЕФ ОБФХТБМШОПЕ j ФБЛПЕ, ЮФП ДМС ЧУСЛПЗП НОПЦЕУФЧБ, УПУФПСЭЕЗП ЙЪ j ЖПТНХМ, Й ДМС ЧУСЛПК ЖПТНХМЩ F ЬЖЖЕЛФЙЧОП ТЕЫБЕФУС ЧПРТПУ П ФПН, ОБИПДСФУС МЙ ДБООЩЕ j ЖПТНХМ Ч ПФОПЫЕОЙЙ Ri У ЖПТНХМПК F Й ЕУМЙ « ДБ» , ФП F ОБЪЩЧБЕФУС ОЕРПУТЕДУФЧЕООЩН УМЕДУФЧЙЕН ДБООЩИ j ЖПТНХМ РП РТБЧЙМХ Ri. чЩЧПДПН Ч T ОБЪЩЧБЕФУС ЧУСЛБС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ F1, F2, ..., Fm ЖПТНХМ ФБЛБС, ЮФП ДМС МАВПЗП i ЖПТНХМБ Fi ЕУФШ МЙВП БЛУЙПНБ ФЕПТЙЙ T, МЙВП ОЕРПУТЕДУФЧЕООПЕ УМЕДУФЧЙЕ ЛБЛЙИ-МЙВП РТЕДЩДХЭЙИ ЖПТНХМ. жПТНХМБ F ФЕПТЙЙ T ОБЪЩЧБЕФУС ФЕПТЕНПК ФЕПТЙЙ T, ЕУМЙ УХЭЕУФЧХЕФ ФБЛПК ЧЩЧПД Ч T, Ч ЛПФПТПН РПУМЕДОЕК ЖПТНХМПК СЧМСЕФУС F; ЬФПФ ЧЩЧПД ОБЪЩЧБЕФУС ЧЩЧПДПН ЖПТНХМЩ F. ч ПВЭЕН УМХЮБЕ НПЦЕФ ОЕ УХЭЕУФЧПЧБФШ ЬЖЖЕЛФЙЧОПК РТПГЕДХТЩ, У РПНПЭША ЛПФПТПК НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ РП ДБООПК ЖПТНХМЕ, УХЭЕУФЧХЕФ МЙ ЕЕ ЧЩЧПД Ч ФЕПТЙЙ T. жПТНХМБ, ДМС ЛПФПТПК ФБЛБС РТПГЕДХТБ УХЭЕУФЧХЕФ, ОБЪЩЧБЕФУС ТБЪТЕЫЙНПК Ч ЬФПК ФЕПТЙЙ, Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ — ОЕТБЪТЕЫЙНПК. йОБЮЕ ЗПЧПТС, ДМС ОЕТБЪТЕЫЙНЩИ ЖПТНХМ ОЕМШЪС РПУФТПЙФШ БМЗПТЙФН ЧЩСУОЕОЙС УЧПКУФЧБ ЖПТНХМЩ ВЩФШ ФЕПТЕНПК, ДМС ЬФПЗП ФТЕВХАФУС ЧУЕ ОПЧЩЕ Й ОПЧЩЕ ПЪБТЕОЙС (ЙЪПВТЕФБФЕМШУФЧБ), ОЕ РПДДБАЭЙЕУС ЖПТНБМЙЪБГЙЙ. йУРПМШЪХС РПОСФЙЕ БЛУЙПНБФЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ T, ПРТЕДЕМЙН ЙУЮЙУМЕОЙЕ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК Ч ДЙЪЯАОЛФЙЧОПН ВБЪЙУЕ вХМС. 1. уЙНЧПМБНЙ T СЧМСАФУС я , ы , (,) Й ВХЛЧЩ mi У ГЕМЩНЙ РПМПЦЙФЕМШОЩНЙ ЮЙУМБНЙ Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЙОДЕЛУПЧ: m1, m2, ... . уЙНЧПМЩ я , ы ОБЪЩЧБАФУС УЧСЪЛБНЙ, Б ВХЛЧЩ mi — РТПРПЪЙГЙПОБМШОЩНЙ ВХЛЧБНЙ. 2. Б) чУЕ РТПРПЪЙГЙПОБМШОЩЕ ВХЛЧЩ СЧМСАФУС ЖПТНХМБНЙ; В) ЕУМЙ A Й B — ЖПТНХМЩ, ФП (A я B) Й (ыA) ФБЛЦЕ ЖПТНХМЩ; Ч) ЧЩТБЦЕОЙЕ СЧМСЕФУС ЖПТНХМПК ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЬФП НПЦЕФ ВЩФШ ХУФБОПЧМЕОП У РПНПЭША РР. Б) Й В). фБЛЙН ПВТБЪПН, ЧУСЛБС ЖПТНХМБ ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК ЕУФШ ОЕЛБС РТПРПЪЙГЙПОБМШОБС ЖПТНБ, РПУФТПЕООБС ЙЪ РТПРПЪЙГЙПОБМШОЩИ ВХЛЧ У РПНПЭША УЧСЪПЛ я Й ы . 3) лБЛПЧЩ ВЩ ОЙ ВЩМЙ ЖПТНХМЩ A, B Й C ФЕПТЙЙ T, УМЕДХАЭЙЕ ЖПТНХМЩ ЕУФШ БЛУЙПНЩ T: A я A ® A, A я B ® B я A, A ® A я B, (B ® C) ®  (A я B ® A я C), ЗДЕ ЪБРЙУШ a ® b ЬЛЧЙЧБМЕОФОБ ЪБРЙУЙ ы a я  b . 4. рТБЧЙМБНЙ ЧЩЧПДБ ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК СЧМСАФУС: РТБЧЙМП РПДУФБОПЧЛЙ (ЕУМЙ a  — ЧЩЧПДЙНБС ЖПТНХМБ Й ЧНЕУФП МАВПК РЕТЕНЕООПК Ч ЬФПК ЖПТНХМЕ ЧУАДХ РТПЙЪЧЕУФЙ РПДУФБОПЧЛХ МАВПК ЖПТНХМЩ, ФП ОПЧБС ЖПТНХМБ ФБЛЦЕ СЧМСЕФУС ЧЩЧПДЙНПК); РТБЧЙМП ЪБЛМАЮЕОЙС (ЕУМЙ a ® b Й a  — ЧЩЧПДЙНЩЕ ЖПТНХМЩ, ФП b ФБЛЦЕ ЧЩЧПДЙНБС ЖПТНХМБ) — РТБЧЙМП modus ponens. уЙНЧПМЙЮЕУЛЙ ЬФП РТБЧЙМП ЪБРЙУЩЧБЕФУС ФБЛ: (a ,a®b )/b . оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙС A Й A® (q ®A) ЙУФЙООЩ, ФП ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ q® A ФБЛЦЕ СЧМСЕФУС ЙУФЙООЩН УПЗМБУОП РТБЧЙМХ ЪБЛМАЮЕОЙС. бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ Й ДТХЗЙЕ ВХМЕЧЩ БМЗЕВТЩ: БМЗЕВТХ чЕВВБ A = ВM, oУ ; БМЗЕВТХ ыЕЖЖЕТБ A = ВM, ЅУ ; ЙНРМЙЛБФЙЧОХА БМЗЕВТХ A = ВM ,® , 0У ; ЛПЙНРМЙЛБФЙЧОХА БМЗЕВТХ A = ВM ,® , 1У ; БМЗЕВТХ цЕЗБМЛЙОБ A = ВM, &, е, 1У . пВПВЭЕОЙЕН ДЧХЪОБЮОЩИ МПЗЙЛ СЧМСАФУС ЛПОЕЮОПЪОБЮОЩЕ МПЗЙЛЙ. жХОЛГЙС , ПФПВТБЦБАЭБС n-НЕТОЩК k-ЪОБЮОЩК ЛПТФЕЦ , Ч НОПЦЕУФЧП {0, 1, ..., k – 1}, ОБЪЩЧБЕФУС ЖХОЛГЙЕК k-ЪОБЮОПК МПЗЙЛЙ. вХДЕН ЪБДБЧБФШ ЖХОЛГЙА k-ЪОБЮОПК МПЗЙЛЙ У РПНПЭША ФБВМЙГЩ ЙУФЙООПУФЙ (ПДОП-НЕТОПК ФБВМЙГЩ), ЮЙУМП УФТПЛ ЛПФПТПК ТБЧОП kn, ЙМЙ ДЧХНЕТОПК ФБВМЙГЩ, ЮЙУМП ЛМЕФПЛ ЛПФПТПК ТБЧОП k2. тБУУНПФТЙН ФТЕИЪОБЮОХА ЖХОЛГЙА — ЖХОЛГЙА чЕВВБ, ЪБДБООХА ФБВМЙГБНЙ:

  xa xb y 0 0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 0 2 0 0 2 1 0 2 2 0

  xa xb   0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 2 0 0 0

  жХОЛГЙС чЕВВБ СЧМСЕФУС РПМОПК Ч ЛПОЕЮОПЪОБЮОПК МПЗЙЛЕ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛПОЕЮОПЪОБЮОБС БМЗЕВТБ чЕВВБ

ПРТЕДЕМСЕФ УППФЧЕФУФЧХАЭХА k-ЪОБЮОХА МПЗЙЛХ. дТХЗЙНЙ ЮБУФП ЧУФТЕЮБАЭЙНЙУС k-ЪОБЮОЩНЙ МПЗЙЛБНЙ СЧМСАФУС МПЗЙЛЙ, ПРТЕДЕМСЕНЩЕ: БМЗЕВТПК рПУФБ ЗДЕ — ДЙЪЯАОЛГЙС; — ГЙЛМ; БМЗЕВТПК тПУУЕТБ—фШАЛЕФФБ; ЗДЕ — ЛПОЯАОЛГЙС, — ИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ, . бМЗЕВТБЙЮЕУЛБС УЙУФЕНБ (БМЗЕВТБ) ПРТЕДЕМСЕФУС ЛБЛ , ЗДЕ A — ОЕРХУФПЕ НОПЦЕУФЧП, O — УЕНЕКУФЧП ПРЕТБГЙК, R — УЕНЕКУФЧП ПФОПЫЕОЙК ОБ НОПЦЕУФЧЕ A. рТЙ ЬФПН A ОБЪЩЧБЕФУС ОПУЙФЕМЕН ЙМЙ ПУОПЧОЩН НОПЦЕУФЧПН; ПРЕТБГЙЙ ЙЪ O Й ПФОПЫЕОЙС ЙЪ R ОБЪЩЧБАФУС ПУОПЧОЩНЙ ЙМЙ ЗМБЧОЩНЙ. нОПЦЕУФЧП W  = O  й R ОБЪЩЧБЕФУС УЙЗОБФХТПК БМЗЕВТЩ S. уЙУФЕНБ S ОБЪЩЧБЕФУС УПВУФЧЕООП БМЗЕВТПК ЙМЙ ХОЙЧЕТУБМШОПК БМЗЕВТПК, ЕУМЙ НОПЦЕУФЧП R ПУОПЧОЩИ ПФОПЫЕОЙК РХУФП Й ОБЪЩЧБЕФУС ТЕМСГЙПООПК УЙУФЕНПК ЙМЙ НПДЕМША, ЕУМЙ НОПЦЕУФЧП O ПУОПЧОЩИ ПРЕТБГЙК РХУФП. уЙЗОБФХТБ МАВПК БМЗЕВТЩ ДПМЦОБ ВЩФШ РПМОПК, ОЕЪБЧЙУЙНПК Й ОЕРТПФЙЧПТЕЮЙЧПК. уЙЗОБФХТБ СЧМСЕФУС РПМОПК, ЕУМЙ МАВБС ДТХЗБС ЖПТНХМБ НПЦЕФ ВЩФШ РТЕДУФБЧМЕОБ Ч ЧЙДЕ РТПРПЪЙГЙПОБМШОПК ЖПТНЩ У РПНПЭША ЕЕ ЬМЕНЕОФПЧ. уЙЗОБФХТБ ОБЪЩЧБЕФУС ОЕЪБЧЙУЙНПК, ЕУМЙ Ч ОЕК ОЕ ОБКДЕФУС ЬМЕНЕОФБ, ЧЩЧПДЙНПЗП У РПНПЭША РТБЧЙМ ЧЩЧПДБ ЙЪ ДТХЗЙИ ЬМЕНЕОФПЧ УЙЗОБФХТЩ. уЙЗОБФХТБ ОЕРТПФЙЧПТЕЮЙЧБ, ЕУМЙ ОЕ ОБКДЕФУС ЖПТНХМЩ F, ЛПФПТБС ПДОПЧТЕНЕООП УРТБЧЕДМЙЧБ У ЖПТНХМПК ы F . лПОЕЮОПЪОБЮОЩЕ МПЗЙЛЙ СЧМСАФУС ПВПВЭЕОЙЕН ДЧХЪОБЮОЩИ МПЗЙЛ. оБРТЙНЕТ, МПЗЙЛБ рПУФБ ВM, я, ~ У ПВПВЭБЕФ МПЗЙЛХ вХМС В M,я , ыУ . рТЙ НЙОЙНЙЪБГЙЙ МПЗЙЮЕУЛЙИ ЖХОЛГЙК ЛПОЕЮОПЪОБЮОЩИ МПЗЙЛ НПЦОП ЙУРПМШЪПЧБФШ ТЕЪХМШФБФЩ ДЧХЪОБЮОПК МПЗЙЛЙ — ФЕПТЙА дож ВХМЕЧЩИ ЖХОЛГЙК. дМС ЬФПЗП ЧЧЕДЕН ВХМЕЧХ РЕТЕНЕООХА , ТБЧОХА 1 РТЙ xa   = i Й 0 Ч РТПФЙЧОПН УМХЮБЕ, xa № i. вХДЕН ОБЪЩЧБФШ i –К ЖБЪПК РЕТЕНЕООПК xa  , xa  = {0, 1, ..., k – 1}: . пФТЙГБОЙЕ i –К ЖБЪЩ ТБЧОП ДЙЪЯАОЛГЙЙ ПУФБМШОЩИ ЖБЪ ЬФПК РЕТЕНЕООПК . пЮЕЧЙДОП, ЮФП . дЕКУФЧЙФЕМШОП, .

  рТЕДЙЛБФ (ПФ РПЪДОЕМБФ. Тraedicatum — УЛБЪБООПЕ) — ЧЩУЛБЪЩЧБФЕМШОБС ЖХОЛГЙС, ПРТЕДЕМЕООБС ОБ ОЕЛПФПТПН НОПЦЕУФЧЕ M, Ф.Е. ФБЛБС n-НЕУФОБС ЖХОЛГЙС P, ЛПФПТБС ЛБЦДПНХ ХРПТСДПЮЕООПНХ ОБВПТХ ЬМЕНЕОФПЧ НОПЦЕУФЧБ M УПРПУФБЧМСЕФ ОЕЛПФПТПЕ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ, ПВПЪОБЮБЕНПЕ ; PОБЪЩЧБЕФУС n-НЕУФОЩН РТЕДЙЛБФПН ОБ M. рПД 0-НЕУФОЩН РТЕДЙЛБФПН РПОЙНБЕФУС РТПЙЪЧПМШОПЕ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ. ч НБФЕНБФЙЮЕУЛПК МПЗЙЛЕ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ ПВЩЮОП ПФПЦДЕУФЧМСЕФУС У ЕЗП ЙУФЙООПУФОЩН ЪОБЮЕОЙЕН 1 (« ЙУФЙОБ» ) ЙМЙ 0 (« МПЦШ» ). рТЙ ЬФПН РПОСФЙЕ РТЕДЙЛБФБ РПМХЮБЕФ УМЕДХАЭЕЕ, ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ПРТЕДЕМЕОЙЕ: n-НЕУФОЩН РТЕДЙЛБФПН ОБ НОПЦЕУФЧЕ M ОБЪЩЧБЕФУС РТПЙЪЧПМШОБС n-НЕУФОБС ЖХОЛГЙС, ПРТЕДЕМЕООБС ОБ M Й РТЙОЙНБАЭБС ЪОБЮЕОЙС 0 Й 1. еУМЙ ОБ ОБВПТЕ ЪОБЮЕОЙК БТЗХНЕОФПЧ РТЕДЙЛБФ P РТЙОЙНБЕФ ЪОБЮЕОЙЕ 1, ФП ЕУФШ , ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП ЬФПФ ОБВПТ ЪОБЮЕОЙК БТЗХНЕОФПЧ ХДПЧМЕФЧПТСЕФ РТЕДЙЛБФХ P, Б РТЕДЙЛБФ P ЧЩРПМОСЕФУС ДМС ОБВПТБ . рТЕДЙЛБФ ОБЪЩЧБЕФУС ФПЦДЕУФЧЕООП ЙУФЙООЩН, ЕУМЙ ПО ЧЩРПМОСЕФУС ДМС МАВПЗП ОБВПТБ ЪОБЮЕОЙК УЧПЙИ БТЗХНЕОФПЧ, Й ФПЦДЕУФЧЕООП МПЦОЩН, ЕУМЙ ОЙЛБЛПК ОБВПТ ОЕ ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ЬФПНХ РТЕДЙЛБФХ. рТЕДЙЛБФ ОБЪЩЧБЕФУС ЧЩРПМОЙНЩН, ЕУМЙ ПО ЧЩРПМОСЕФУС ИПФС ВЩ ДМС ПДОПЗП ОБВПТБ ЪОБЮЕОЙК БТЗХНЕОФПЧ. нОПЦЕУФЧП ФЕИ ОБВПТПЧ ЪОБЮЕОЙК БТЗХНЕОФПЧ, ЛПФПТЩЕ ХДПЧМЕФЧПТСАФ ДБООПНХ РТЕДЙЛБФХ, ОБЪЩЧБЕФУС ПВМБУФША ЙУФЙООПУФЙ ЬФПЗП РТЕДЙЛБФБ. еУМЙ P ЕУФШ n-НЕУФОЩК РТЕДЙЛБФ ОБ НОПЦЕУФЧЕ M, ФП ЕЗП ПВМБУФШ ЙУФЙООПУФЙ СЧМСЕФУС n-НЕУФОЩН ПФОПЫЕОЙЕН ОБ M. й ОБПВПТПФ, ЛБЦДПНХ n-НЕУФОПНХ ПФОПЫЕОЙА ОБ НОПЦЕУФЧЕ M ПДОПЪОБЮОП УППФЧЕФУФЧХЕФ n-НЕУФОЩК РТЕДЙЛБФ ОБ M. рПЬФПНХ ЙЪХЮЕОЙЕ РТЕДЙЛБФПЧ Й ПФОПЫЕОЙК ФЕУОП УЧСЪБОП НЕЦДХ УПВПК. у РПНПЭША МПЗЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК ЙЪ ДБООЩИ РТЕДЙЛБФПЧ НПЦОП УФТПЙФШ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ РТЕДЙЛБФЩ. оБТСДХ У ФЕНЙ МПЗЙЮЕУЛЙНЙ ПРЕТБГЙСНЙ, ЛПФПТЩЕ ДЕКУФЧХАФ Й ОБД ЧЩУЛБЪЩЧБОЙСНЙ, ДМС ПВТБЪПЧБОЙС ОПЧЩИ РТЕДЙЛБФПЧ ЙЪ ХЦЕ ЙНЕАЭЙИУС РТЙНЕОСАФУС ЛЧБОФПТЩ. рТЙНЕОЕОЙЕ ЛЧБОФПТБ ЧУЕПВЭОПУФЙЛ РТЕДЙЛБФХ , ЗДЕ ДБЕФ (n – 1)-НЕУФОЩК РТЕДЙЛБФ , ЛПФПТЩК ОБВПТХ УПРПУФБЧМСЕФ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ, ЙУФЙООПЕ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ДМС МАВПЗП ЪОБЮЕОЙС a РЕТЕНЕООПК xi ЙУФЙООП ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ . лЧБОФПТ УХЭЕУФЧПЧБОЙСЧ РТЙНЕОЕОЙЙ Л РТЕДЙЛБФХ РТЙ ДБЕФ (n – 1)-НЕУФОЩК РТЕДЙЛБФ , ЛПФПТЩК ОБВПТХ УПРПУФБЧМСЕФ ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ, ЙУФЙООПЕ ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ИПФС ВЩ ДМС ПДОПЗП ЪОБЮЕОЙС a РЕТЕНЕООПК xi ЙУФЙООП ЧЩУЛБЪЩЧБОЙЕ . йУУМЕДПЧБОЙЕН УЧСЪЕК НЕЦДХ РТЕДЙЛБФБНЙ, ПРТЕДЕМСЕНЩИ ЙИ МПЗЙЮЕУЛПК УФТХЛФХТПК, ЪБОЙНБЕФУС МПЗЙЛБ РТЕДЙЛБФПЧ. рТЕДЙЛБФОБС РЕТЕНЕООБС — РЕТЕНЕООБС, ЧПЪНПЦОЩНЙ ЪОБЮЕОЙСНЙ ЛПФПТПК СЧМСАФУС РТЕДЙЛБФЩ. йУЮЙУМЕОЙЕ РТЕДЙЛБФПЧ — ЬФП ПВЭЕЕ ОБЪЧБОЙЕ ЖПТНБМШОЩИ УЙУФЕН, УМХЦБЭЙИ ДМС ЖПТНБМЙЪБГЙЙ МПЗЙЮЕУЛЙИ ХНПЪБЛМАЮЕОЙК, Ч ЛПФПТЩИ ХЮЙФЩЧБЕФУС ЛБЛ МПЗЙЮЕУЛБС УФТХЛФХТБ УХЦДЕОЙК (ФП ЕУФШ ЛБЛЙН ПВТБЪПН ДБООПЕ УХЦДЕОЙЕ РПМХЮЕОП ЙЪ ДТХЗЙИ У РПНПЭША МПЗЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК), ФБЛ Й ЙИ УХВЯЕЛФОП-РТЕДЙЛБФОБС УФТХЛФХТБ, ФП ЕУФШ УЧСЪШ НЕЦДХ УХВЯЕЛФПН УХЦДЕОЙС (П ЮЕН ЗПЧПТЙФУС Ч ДБООПН УХЦДЕОЙЙ) Й РТЕДЙЛБФПН (ЮФП ЗПЧПТЙФУС П УХВЯЕЛФЕ). рТЙ ЬФПН ДМС МПЗЙЮЕУЛПЗП БОБМЙЪБ УХЦДЕОЙК ОБТСДХ У ФБЛЙНЙ МПЗЙЮЕУЛЙНЙ ПРЕТБГЙСНЙ, ЛБЛ ЛПОЯАОЛГЙС, ДЙЪЯАОЛГЙС, ЙНРМЙЛБГЙС, ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФШ, ПФТЙГБОЙЕ, ЙУРПМШЪХАФУС ЛЧБОФПТЩ, Б УХВЯЕЛФОП-РТЕДЙЛБФОБС УФТХЛФХТБ ХФПЮОСЕФУС У РПНПЭША РПОСФЙС РТЕДЙЛБФБ. рПУЛПМШЛХ Ч НБФЕНБФЙЮЕУЛПК МПЗЙЛЕ ЙОФЕТЕУХАФУС МЙЫШ УФТХЛФХТПК УХЦДЕОЙК, ПФЧМЕЛБСУШ ПФ ЙИ ЛПОЛТЕФОПЗП УНЩУМБ, Б ФБЛЦЕ ЧП ЙЪВЕЦБОЙЕ ДЧХУНЩУМЕООПУФЕК, УЧПКУФЧЕООЩИ ЕУФЕУФЧЕООЩН СЪЩЛБН, ДМС РПУФТПЕОЙС МПЗЙЛЙ РТЕДЙЛБФПЧ ЙУРПМШЪХЕФУС ЖПТНБМЙЪПЧБООЩК СЪЩЛ, БМЖБЧЙФ ЛПФПТПЗП ПВЩЮОП УПДЕТЦЙФ ЮЕФЩТЕ ЗТХРРЩ УЙНЧПМПЧ: 1) РТЕДЙЛБФОЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ — ЧЩТБЦЕОЙС ЧЙДБ , ЗДЕ m Й n — ОЕПФТЙГБФЕМШОЩЕ ГЕМЩЕ ЮЙУМБ; 2) РТЕДНЕФОЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ ; 3) МПЗЙЮЕУЛЙЕ УЙНЧПМЩ & (ЙМЙ э — ЛПОЯАОЛГЙС), я (ДЙЪЯАОЛГЙС), ® (ЙНРМЙЛБГЙС), ~ (ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФШ), ¬ (ПФТЙГБОЙЕ), $ (ЛЧБОФПТ УХЭЕУФЧПЧБОЙС), " (ЛЧБОФПТ ЧУЕПВЭОПУФЙ); 4) ЧУРПНПЗБФЕМШОЩЕ УЙНЧПМЩ (,) (УЛПВЛЙ) Й , (ЪБРСФБС). чЩТБЦЕОЙЕ ОБЪЩЧБЕФУС m-НЕУФОПК РТЕДЙЛБФОПК РЕТЕНЕООПК; 0-НЕУФОЩЕ РТЕДЙЛБФОЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ ОБЪЩЧБАФУС РТПРПЪЙГЙПОБМШОЩНЙ РЕТЕНЕООЩНЙ. ьМЕНЕОФБТОПК ЖПТНХМПК ОБЪЩЧБЕФУС ЧУСЛБС РТПРПЪЙГЙПОБМШОБС РЕТЕНЕООБС, Б ФБЛЦЕ МАВПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ ЧЙДБ , ЗДЕ P — ЛБЛБС-МЙВП m-НЕУФОБС РТЕДЙЛБФОБС РЕТЕНЕООБС (m > 0), Б — РТПЙЪЧПМШОЩЕ РТЕДНЕФОЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ. йЪ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЖПТНХМ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН УФТПСФУС РТЕДЙЛБФОЩЕ ЖПТНХМЩ: 1) ЧУЕ ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ЖПТНХМЩ УХФШ ЖПТНХМЩ; 2) ЕУМЙ б Й ч — ЖПТНХМЩ, ФП ЧЩТБЦЕОЙС (б  & ч ), (б  я ч ), (б  ® ч ), (б  ~ ч ),¬ б УЮЙФБАФУС ЖПТНХМБНЙ; 3) ЕУМЙ б — ЖПТНХМБ, x — РТЕДНЕФОБС РЕТЕНЕООБС, ФП " x бЙ $x б УХФШ ЖПТНХМЩ. оБРТЙНЕТ, РТЕДЙЛБФОЩНЙ ЖПТНХМБНЙ СЧМСАФУС . юБУФШ ЖПТНХМЩ б  , ЛПФПТБС УБНБ СЧМСЕФУС ЖПТНХМПК, ОБЪЩЧБЕФУС РПДЖПТНХМПК ЖПТНХМЩ б . пВМБУФША ДЕКУФЧЙС ЛЧБОФПТБ "y ЙМЙ $y Ч ЖПТНХМЕ б ОБЪЩЧБЕФУС ФБЛБС ЕЕ РПДЖПТНХМБ ч , ЮФП " yч ЙМЙ $yчСЧМСЕФУС РПДЖПТНХМПК ЖПТНХМЩ б . чИПЦДЕОЙЕ РЕТЕНЕООПК y Ч ЖПТНХМХ б ОБЪЩЧБЕФУС УЧСЪБООЩН, ЕУМЙ ПОП ЕУФШ ЧИПЦДЕОЙЕ Ч ЛЧБОФПТ "y ЙМЙ $y, ЙМЙ Ч ПВМБУФШ ДЕКУФЧЙС ПДОПЗП ЙЪ ЬФЙИ ЛЧБОФПТПЧ. чУСЛПЕ ЧИПЦДЕОЙЕ РЕТЕНЕООПК y, ОЕ СЧМСАЭЕЕУС УЧСЪБООЩН, ОБЪЩЧБЕФУС УЧПВПДОЩН. оБРТЙНЕТ, Ч ЖПТНХМЕ РЕТЧЩЕ ДЧБ ЧИПЦДЕОЙС РЕТЕНЕООПК x1 — УЧСЪБООЩЕ, Б ФТЕФШЕ — УЧПВПДОПЕ. рЕТЕНЕООБС y ОБЪЩЧБЕФУС УЧПВПДОПК РЕТЕНЕООПК ЖПТНХМЩ б , ЕУМЙ ПОБ ЙНЕЕФ УЧПВПДОЩЕ ЧИПЦДЕОЙС Ч б . зПЧПТСФ, ЮФП ЪБДБОБ ЙОФЕТРТЕФБГЙС ЖПТНХМЩ б ОБ ОЕРХУФПН НОПЦЕУФЧЕ M, ЕУМЙ ЛБЦДПК УЧПВПДОПК РЕТЕНЕООПК ЖПТНХМЩ б УПРПУФБЧМЕО ОЕЛПФПТЩК ЬМЕНЕОФ ЙЪ M, Б ЛБЦДПК m-НЕУФОПК РТЕДЙЛБФОПК РЕТЕНЕООПК ЙЪ б — ОЕЛПФПТЩК m-НЕУФОЩК РТЕДЙЛБФ ОБ M. йУФЙООПУФОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ Ѕ бЅ ЖПТНХМЩ б Ч ДБООПК ЙОФЕТРТЕФБГЙЙ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙОДХЛГЙЕК РП РПУФТПЕОЙА ЖПТНХМЩ б . еУМЙ б ЙНЕЕФ ЧЙД , ФП ЕЕ ЪОБЮЕОЙЕН СЧМСЕФУС ЪОБЮЕОЙЕ РТЕДЙЛБФБ, УПРПУФБЧМЕООПЗП РТЕДЙЛБФОПК РЕТЕНЕООПК P, ОБ ОБВПТЕ ЪОБЮЕОЙК РЕТЕНЕООЩИ . еУМЙ б ЙНЕЕФ ЧЙД ¬ ч , ФП Ѕ б Ѕ = й ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ѕ чЅ = м. бОБМПЗЙЮОП, Ч УППФЧЕФУФЧЙЙ У ЙУФЙООПУФОЩНЙ ФБВМЙГБНЙ ДМС МПЗЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБГЙК &, я,® , ~ ПРТЕДЕМСАФУС ЪОБЮЕОЙС ЖПТНХМ ЧЙДБ (б & ч ), (б  я ч ), (б  ® ч ), (б  ~ ч ) ЮЕТЕЪ ЪОБЮЕОЙС ЖПТНХМ б  Й ч . оБРТЙНЕТ, Ѕб & чЅ = й, ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ Ѕ бЅ = й Й Ѕч Ѕ = й. ъОБЮЕОЙЕ ЖПТНХМЩ " yбЕУФШ м Ч ФПН Й ФПМШЛП ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ Ѕб Ѕ= м Ч ОЕЛПФПТПК ЙОФЕТРТЕФБГЙЙ, РПМХЮЕООПК ЙЪ ДБООПК РТЙРЙУЩЧБОЙЕН ЪОБЮЕОЙС РЕТЕНЕООПК y. ъОБЮЕОЙЕ ЖПТНХМЩ $ yбЕУФШ й, ЕУМЙ Ѕб Ѕ = й Ч ОЕЛПФПТПК ЙОФЕТРТЕФБГЙЙ, РПМХЮЕООПК ЙЪ ДБООПК РТЙРЙУЩЧБОЙЕН ЪОБЮЕОЙС РЕТЕНЕООПК y. еУМЙ ЅбЅ = й, ФП ЗПЧПТСФ, ЮФП ЖПТНХМБ б ЙУФЙООБ Ч ДБООПК ЙОФЕТРТЕФБГЙЙ. рТЕДЙЛБФОБС ЖПТНХМБ ОБЪЩЧБЕФУС ПВЭЕЪОБЮЙНПК ОБ НОПЦЕУФЧЕ M, ЕУМЙ ПОБ ЙУФЙООБ Ч МАВПК ЙОФЕТРТЕФБГЙЙ ОБ M. оБРТЙНЕТ, ЖПТНХМБ

ПВЭЕЪОБЮЙНБ ОБ МАВПН НОПЦЕУФЧЕ, УПДЕТЦБЭЕН ТПЧОП ПДЙО ЬМЕНЕОФ, Й ОЕ ВХДЕФ ПВЭЕЪОБЮЙНПК ОБ M, ЕУМЙ Ч M ЕУФШ ИПФС ВЩ ДЧБ ЬМЕНЕОФБ. жПТНХМБ ОБЪЩЧБЕФУС ПВЭЕЪОБЮЙНПК ЙМЙ ФБЧФПМПЗЙЕК, ЙМЙ ФПЦДЕУФЧЕООП ЙУФЙООПК, ЕУМЙ ПОБ ПВЭЕЪОБЮЙНБ ОБ МАВПН ОЕРХУФПН НОПЦЕУФЧЕ. фПФ ЖБЛФ, ЮФП ЖПТНХМБ б ПВЭЕЪОБЮЙНБ, ПВЩЮОП ПВПЪОБЮБАФ ФБЛ: Ѕ=б гЕМША МПЗЙЛЙ РТЕДЙЛБФПЧ СЧМСЕФУС ПРЙУБОЙЕ ЛМБУУБ ЧУЕИ ПВЭЕЪОБЮЙНЩИ ЖПТНХМ. пДОЙН ЙЪ УРПУПВПЧ ФБЛПЗП ПРЙУБОЙС СЧМСЕФУС РПУФТПЕОЙЕ ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ, ФП ЕУФШ ЙУЮЙУМЕОЙС, БЛУЙПНБНЙ Й ЧЩЧПДЙНЩНЙ ЖПТНХМБНЙ ЛПФПТПЗП СЧМСАФУС РТЕДЙЛБФОЩЕ ЖПТНХМЩ. рТЙ ЬФПН Ч ЛБЮЕУФЧЕ БЛУЙПН ЧЩВЙТБАФУС ОЕЛПФПТЩЕ ПВЭЕЪОБЮЙНЩЕ ЖПТНХМЩ, Б РТБЧЙМБ ЧЩЧПДБ РПЪЧПМСАФ ЙЪ ПВЭЕЪОБЮЙНЩИ ЖПТНХМ РПМХЮБФШ ОПЧЩЕ ПВЭЕЪОБЮЙНЩЕ ЖПТНХМЩ. пВЩЮОП ЛМБУУЙЮЕУЛПЕ ЙУЮЙУМЕОЙЕ РТЕДЙЛБФПЧ УФТПЙФУС ОБ ПУОПЧЕ ФПЗП ЙМЙ ЙОПЗП ЧБТЙБОФБ ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК: БЛУЙПНЩ ЛМБУУЙЮЕУЛПЗП ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК УЮЙФБАФУС УИЕНБНЙ БЛУЙПН ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ, ФП ЕУФШ МАВБС РТЕДЙЛБФОБС ЖПТНХМБ, РПМХЮЕООБС ЙЪ ОЕЛПФПТПК БЛУЙПНЩ ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК РПДУФБОПЧЛПК Ч ОЕЕ ЛБЛЙИ-МЙВП РТЕДЙЛБФОЩИ ЖПТНХМ ЧНЕУФП РТПРПЪЙГЙПОБМШОЩИ РЕТЕНЕООЩИ, ПВЯСЧМСЕФУС БЛУЙПНПК ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ. оБРТЙНЕТ, ЙЪ БЛУЙПНЩ ЙУЮЙУМЕОЙС ЧЩУЛБЪЩЧБОЙК ФБЛЙН ПВТБЪПН РПМХЮБЕФУС БЛУЙПНБ ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ

.

л ЬФЙН БЛУЙПНБН ДПВБЧМСАФУС ДЧЕ ОПЧЩЕ УИЕНЩ БЛУЙПН:

Й ,

ЗДЕ б (x) — РТПЙЪЧПМШОБС РТЕДЙЛБФОБС ЖПТНХМБ, Ч ЛПФПТПК РЕТЕНЕООБС x ОЕ ОБИПДЙФУС Ч ПВМБУФЙ ДЕКУФЧЙС ЛЧБОФПТПЧ " y Й $y, Б ЖПТНХМБ б (y) РПМХЮЕОБ ЪБНЕОПК Ч б (x) ЛБЦДПЗП УЧПВПДОПЗП ЧИПЦДЕОЙС РЕТЕНЕООПК x ОБ y. рТБЧЙМБНЙ ЧЩЧПДБ ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ СЧМСАФУС РТБЧЙМП НПДХУ РПОЕОУ Й УМЕДХАЭЙЕ ДЧБ РТБЧЙМБ: — " -РТБЧЙМП, РПЪЧПМСАЭЕЕ ЙЪ ЖПТНХМЩ (ч  ® б ) РПМХЮЙФШ ЖПТНХМХ (ч  ® " x б ) , ЗДЕ ч   Й  б — РТПЙЪЧПМШОЩЕ РТЕДЙЛБФОЩЕ ЖПТНХМЩ, РТЙЮЕН ч ОЕ УПДЕТЦЙФ УЧПВПДОХА РЕТЕНЕООХА x; — $ -РТБЧЙМП, РПЪЧПМСАЭЕЕ РТЙ ФЕИ ЦЕ РТЕДРПМПЦЕОЙСИ ПФОПУЙФЕМШОП ЖПТНХМ б , ч Й РЕТЕНЕООПК x РЕТЕКФЙ ПФ ЖПТНХМЩ (б ® ч ) Л ЖПТНХМЕ ($ x б ® ч ) .

рТБЧЙМП НПДХУ РПОЕОУ (РТБЧЙМП ПФДЕМЕОЙС, РТБЧЙМП ЧЩЧПДБ Ч ЖПТНБМШОПК МПЗЙЛЕ) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙЪ ЙУФЙООПУФЙ ЖПТНХМЩ A (НБМБС РПУЩМЛБ) Й A к B (ВПМШЫБС РПУЩМЛБ) УМЕДХЕФ ЙУФЙООПУФШ B. чЩЧПДПН ЖПТНХМЩ б Ч ЙУЮЙУМЕОЙЙ РТЕДЙЛБФПЧ ОБЪЩЧБЕФУС ЛПОЕЮОБС РПУМЕДПЧБФЕМШОПУФШ ЖПТНХМ б1, . . ., б m ФБЛБС, ЮФП ЛБЦДБС ЙЪ ЖПТНХМ б i МЙВП ЕУФШ БЛУЙПНБ, МЙВП РПМХЮБЕФУС ЙЪ ОЕЛПФПТЩИ РТЕДЫЕУФЧХАЭЙИ ЕК ЖПТНХМ РП ПДОПНХ ЙЪ РЕТЕЮЙУМЕООЩИ РТБЧЙМ ЧЩЧПДБ, Й бm УПЧРБДБЕФ У б . жПТНХМБ б ЧЩЧПДЙНБ Ч ЙУЮЙУМЕОЙЙ РТЕДЙЛБФПЧ, ЙМЙ СЧМСЕФУС ФЕПТЕНПК, ЕУМЙ НПЦОП РПУФТПЙФШ ЧЩЧПД ЬФПК ЖПТНХМЩ. уПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ зЕДЕМС П РПМОПФЕ, ЧУЕ ПВЭЕЪОБЮЙНЩЕ РТЕДЙЛБФОЩЕ ЖПТНХМЩ Й ФПМШЛП ПОЙ ЧЩЧПДЙНЩ Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПН ЙУЮЙУМЕОЙЙ РТЕДЙЛБФПЧ. дЕДХЛФЙЧОЩК БРРБТБФ ЙУЮЙУМЕОЙС РТЕДЙЛБФПЧ, ФП ЕУФШ УЙУФЕНБ БЛУЙПН Й РТБЧЙМБ ЧЩЧПДБ, ЙУРПМШЪХАФУС РТЙ РПУФТПЕОЙЙ МПЗЙЛП-НБФЕНБФЙЮЕУЛЙИ ЙУЮЙУМЕОЙК (ОБРТЙНЕТ, ЖПТНБМШОПК БТЙЖНЕФЙЛЙ, БЛУЙПНБФЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ НОПЦЕУФЧ).

рТЕДЩДХЭЙК ТБЪДЕМ  пЗМБЧМЕОЙЕ    уМЕДХАЭЙК ТБЪДЕМ