Основы дискретной математики / ОДМ - Лекции 9-10

пдн - мЕЛГЙЙ 9-10 фЕМП ЕУФШ ФБЛБС УЙУФЕНБ (A, + , ю ), ЮФП УЙУФЕНБ (A, +) СЧМСЕФУС БВЕМЕЧПК ЗТХРРПК, Б УЙУФЕНБ (Aў , ю ), ЗДЕ Aў РПМХЮБЕФУС ЙЪ A ХДБМЕОЙЕН ОХМЕЧПЗП ЬМЕНЕОФБ (Ф.Е. ОЕКФТБМШОПЗП ЬМЕНЕОФБ БВЕМЕЧПК ЗТХРРЩ), СЧМСЕФУС ЗТХРРПК Й ПРЕТБГЙС ю ДЙУФТЙВХФЙЧОБ ПФОПУЙФЕМШОП ПРЕТБГЙЙ + . еУМЙ УЙУФЕНБ (Aў , ю ) ФБЛЦЕ СЧМСЕФУС БВЕМЕЧПК ЗТХРРПК, ФП ФЕМП ОБЪЩЧБАФ ЛПННХФБФЙЧОЩН (ЙМЙ РПМЕН). фЕПТЕНБ. лПМШГП СЧМСЕФУС ФЕМПН ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ПОП УПДЕТЦЙФ ОЕ НЕОЕЕ ДЧХИ ЬМЕНЕОФПЧ Й ПВБ ХТБЧОЕОЙС ax = b Й xa = b, ТБЪТЕЫЙНЩ ДМС МАВЩИ ЬМЕНЕОФПЧ a, bп  A, ЗДЕ a №  0. фЕМП УМХЦЙФ ПВПВЭЕОЙЕН УЙУФЕНЩ (Q, + , ю ) ТБГЙПОБМШОЩИ ЮЙУЕМ, ПДОБЛП ФТЕВПЧБОЙЕ ЛПННХФБФЙЧОПУФЙ ХНОПЦЕОЙС ПРХУЛБЕФУС. фЕПТЕНБ чЕДДЕТВЈТОБ. чУСЛПЕ ЛПОЕЮОПЕ ФЕМП ЛПННХФБФЙЧОП. лЧБЪЙФЕМП ЕУФШ ФБЛБС УЙУФЕНБ (A, + , ю ), ЮФП УЙУФЕНБ (A, +) СЧМСЕФУС БВЕМЕЧПК ЗТХРРПК, Б УЙУФЕНБ (A, ю ) - ЛЧБЪЙЗТХРРПЈOУ ЕДЙОЙЮОЩН ЬМЕНЕОФПН (Ф.Е. МХРПК), РТЙЮЕН ЙНЕЕФ НЕУФП МЕЧБС ДЙУФТЙВХФЙЧОПУФШ, Ф.Е. ДМС МАВЩИ ФТЕИ ЬМЕНЕОФПЧ a, b, c п  A ЧЩРПМОСЕФУС ТБЧЕОУФЧП a (b + c) = (a b) +  (a c). еУМЙ ЙНЕЕФ НЕУФП ФБЛЦЕ Й РТБЧБС ДЙУФТЙВХФЙЧОПУФШ, ФП ЛЧБЪЙФЕМП ОБЪЩЧБЕФУС ДЙУФТЙВХФЙЧОЩН. еУМЙ ПРЕТБГЙС ю БУУПГЙБФЙЧОБ, ФП ЛЧБЪЙФЕМП ОБЪЩЧБЕФУС БУУПГЙБФЙЧОЩН. бМШФЕТОБФЙЧОПЕ ЛЧБЪЙФЕМП - ЬФП ДЙУФТЙВХФЙЧОПЕ ЛЧБЪЙФЕМП, ДМС ЛПФПТПЗП ЧЩРПМОСАФУС УМЕДХАЭЙЕ ХУМПЧЙС: a  (aў x) = x , ЕУМЙ a №  0 Й aaў  = 1; (x aў )aўў = x , ЕУМЙ aў ў№  0 Й aў aў ў= 1. фЕПТЕНБ. дЙУФТЙВХФЙЧОПЕ Й БУУПГЙБФЙЧОПЕ ЛЧБЪЙФЕМП СЧМСЕФУС ФЕМПН. йЕТБТИЙС УЙУФЕН У ДЧХНС ВЙОБТОЩНЙ ПРЕТБГЙСНЙ ЙЪПВТБЦЕОБ ОБ ТЙУХОЛЕ. пВПЪОБЮЕОЙС: G - ЛПМШГП, Q - ЛЧБЪЙРПМЕ, D - ДЙУФТЙВХФЙЧОПЕ ЛЧБЪЙРПМЕ, A - БУУПГЙБФЙЧОПЕ ЛЧБЪЙРПМЕ, T - ФЕМП, K - ЛПННХФБФЙЧОПЕ ФЕМП.

чЕУШНБ ЧБЦОЩ ДМС НОПЗЙИ ТБЪДЕМПЧ БМЗЕВТЩ ЛПМШГБ НОПЗПЮМЕОПЧ ОБД РТПЙЪЧПМШОЩН РПМЕН Й ЛПМШГБ НБФТЙГ ОБД ФЕМБНЙ, ПРТЕДЕМСЕНЩЕ БОБМПЗЙЮОП ЛПМШГБН РТЙНЕТПЧ 7 Й 9. нОПЗЙЕ ЛМБУУЩ ЛПМЕГ ОБИПДСФ РТЙМПЦЕОЙС Й ЧОЕ БМЗЕВТЩ. чБЦОЕКЫЙНЙ ЙЪ ОЙИ СЧМСАФУС ЛПМШГБ ЖХОЛГЙК Й ЛПМШГБ ПРЕТБФПТПЧ, УЩЗТБЧЫЙЕ ВПМШЫХА ТПМШ Ч ТБЪЧЙФЙЙ ЖХОЛГЙПОБМШОПЗП БОБМЙЪБ. рХУФШ F - РТПЙЪЧПМШОПЕ БУУПГЙБФЙЧОПЕ ЛПМШГП У ЕДЙОЙГЕК. лПМШГП A (ОЕ ПВСЪБФЕМШОП БУУПГЙБФЙЧОПЕ) ОБЪЩЧБЕФУС БМЗЕВТПК ОБД F ЙМЙ ПРЕТБФПТОЩН ЛПМШГПН У ЛПМШГПН ПРЕТБФПТПЧ F , ЕУМЙ ПРТЕДЕМЕОП РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ МАВПЗП ЬМЕНЕОФБ ЙЪ F ОБ ЬМЕНЕОФ ЙЪ A, МЕЦБЭЕЕ Ч A, РТЙЮЕН ФБЛ, ЮФП ДМС ЧУЕИ a, b  п F , a, bпA  УРТБЧЕДМЙЧЩ УППФОПЫЕОЙС

(? + ?)a = ?a + ?a, ?(a + b) = ?a + ?b, ?(?a) = (??)a, 1a = a, ?(ab) = (?a)b.

б ЕУМЙ ЛПМШГП F ЛПННХФБФЙЧОП, ФП РТЙОСФП ФТЕВПЧБФШ ХУЙМЕОЙС РПУМЕДОЕЗП ХУМПЧЙС:

? (ab) = (?a)b = a(?b)

мАВПЕ ЛПМШГП НПЦОП УЮЙФБФШ БМЗЕВТПК ОБД ЛПМШГПН ГЕМЩИ ЮЙУЕМ, ЕУМЙ РПОЙНБФШ РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ na (ЗДЕ n - ГЕМПЕ ЮЙУМП), ЛБЛ УХННХ n ЬЛЪЕНРМСТПЧ ЬМЕНЕОФБ a: a + a +  . . . + a . еУМЙ A - БМЗЕВТБ ОБД РПМЕН (ОБЪЩЧБЕНБС ФБЛЦЕ МЙОЕКОПК БМЗЕВТПК), ФП, РП ПРТЕДЕМЕОЙА, A СЧМСЕФУС ЧЕЛФПТОЩН РТПУФТБОУФЧПН ОБД ЬФЙН РПМЕН, Б ЪОБЮЙФ ЙНЕЕФ ВБЪЙУ. ьФП ДБЕФ ЧПЪНПЦОПУФШ УФТПЙФШ БМЗЕВТЩ ОБД РПМЕН РП ВБЪЙУХ, ДМС ЮЕЗП ДПУФБФПЮОП ЪБДБФШ ФБВМЙГХ ХНОПЦЕОЙС ВБЪЙУОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ. бМЗЕВТБ ОБД РПМЕН ОБЪЩЧБЕФУС ЛПОЕЮОПНЕТОПК, ЕУМЙ ПОБ ЛПОЕЮОПНЕТОБ ЛБЛ ЧЕЛФПТОПЕ РТПУФТБОУФЧП. тБЪНЕТОПУФШ ЬФПЗП ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ ОБЪЩЧБЕФУС ОБД ТБОЗПН БМЗЕВТЩ. оБРТЙНЕТ, РПМЕ C ЛПНРМЕЛУОЩИ ЮЙУЕМ ЕУФШ БМЗЕВТБ ТБОЗБ 2 ОБД РПМЕН R ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ, ЛЧБФЕТОЙПОЩ ПВТБЪХАФ БМЗЕВТХ ТБОЗБ 4 ОБД РПМЕН R, РПМОПЕ ЛПМШГП НБФТЙГ РПТСДЛБ n У ЬМЕНЕОФБНЙ ЙЪ РПМС F - БМЗЕВТБ ТБОЗБ n2 ОБД F . ч ФЕПТЙЙ ЛПМЕГ ЧБЦОХА ТПМШ ЙЗТБАФ РПОСФЙС ЗПНПНПТЖЙЪНБ Й ЙЪПНПТЖЙЪНБ. нОПЗЙЕ ТБУУХЦДЕОЙС Й ПРЙУБОЙС РТПЧПДСФУС «У ФПЮОПУФША ДП ЙЪПНПТЖЙЪНБ», Ф.Е. ЙЪПНПТЖОЩЕ ЛПМШГБ Й БМЗЕВТЩ ОЕ ТБЪМЙЮБАФУС. зПНПНПТЖЙЪН - ЬФП ФБЛПЕ ПФПВТБЦЕОЙЕ j ЛПМШГБ A Ч ЛПМШГП A ', ЮФП ДМС МАВЩИ a, bп  A

(a + b)? = a? + b?, (ab)? = (a?)(b?),

Ф. Е.  j РЕТЕУФБОПЧПЮОП У ЛПМШГЕЧЩНЙ ПРЕТБГЙСНЙ. дМС БМЗЕВТ (ОБД ПДОЙН Й ФЕН ЦЕ F) ФТЕВХАФ ФБЛЦЕ, ЮФПВЩ ВЩМП (?a)? = ?(a?) ??С МАВПЗП a п  F . еУМЙ РТЙ ЬФПН j  - ВЙЕЛФЙЧОПЕ ПФПВТБЦЕОЙЕ (Ф.Е. ЧЪБЙНОП ПДОПЪОБЮОПЕ ПФПВТБЦЕОЙЕ ОБ A'), ФП ПОП ОБЪЩЧБЕФУС ЙЪПНПТЖЙЪНПН, Б ЛПМШГБ (БМЗЕВТЩ) A Й A' ЙЪПНПТЖОЩНЙ. нОПЦЕУФЧП M ЬМЕНЕОФПЧ ЛПМШГБ (БМЗЕВТЩ) A ОБЪЩЧБЕФУС РПДЛПМШГПН (РПДБМЗЕВТПК), ЕУМЙ M УБНП СЧМСЕФУС ЛПМШГПН (БМЗЕВТПК) ПФОПУЙФЕМШОП ПРЕТБГЙК, ПРТЕДЕМЕООЩИ Ч A; M ОБЪЩЧБЕФУС МЕЧЩН (РТБЧЩН ЙМЙ ДЧХУФПТПООЙН) ЙДЕБМПН, ЕУМЙ, ЛТПНЕ ФПЗП, ДМС МАВЩИ ЬМЕНЕОФПЧ m п  M Й a п  A РТПЙЪЧЕДЕОЙЕ am (УППФЧЕФУФЧЕООП, ma ЙМЙ ЛБЛ am, ФБЛ Й ma) МЕЦЙФ Ч M. ьМЕНЕОФЩ a, b п  A ОБЪЩЧБАФУС УТБЧОЙНЩНЙ РП ЙДЕБМХ M, ЕУМЙ b - a п  M. чУЈ A ТБЪВЙЧБЕФУС ОБ ЛМБУУЩ УТБЧОЙНЩИ ЬМЕНЕОФПЧ - ЛМБУУЩ ЧЩЮЕФПЧ РП ЙДЕБМХ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЧУСЛЙК ЙДЕБМ ПРТЕДЕМСЕФ ОБ НОПЦЕУФЧЕ A ПФОПЫЕОЙЕ ЬЛЧЙЧБМЕОФОПУФЙ, РТЙЮЕН ДМС ДЧХУФПТПООЕЗП ЙДЕБМБ ЬФП ПФОПЫЕОЙЕ - ЛПОЗТХЬОГЙС, Й НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ УМПЦЕОЙЕ Й ХНОПЦЕОЙЕ (ХНОПЦЕОЙЕ ОБ ЬМЕНЕОФ РПМС) ЛМБУУПЧ ЧЩЮЕФПЧ РП ДЧХУФПТПООЕНХ ЙДЕБМХ M ЮЕТЕЪ УМПЦЕОЙЕ Й ХНОПЦЕОЙЕ ЬМЕНЕОФПЧ ЬФЙИ ЛМБУУПЧ. пФОПУЙФЕМШОП ЬФЙИ ПРЕТБГЙК ЛМБУУЩ ЧЩЮЕФПЧ ПВТБЪХАФ ЛПМШГП (БМЗЕВТХ), ОБЪЩЧБЕНПЕ ЖБЛФПТЛПМШГПН (ЖБЛФПТБМЗЕВТПК) A/M. йНЕЕФ НЕУФП ФЕПТЕНБ П ЗПНПНПТЖЙЪНБИ: ЕУМЙ ЛБЦДПНХ ЬМЕНЕОФХ ЙЪ A РПУФБЧЙФШ Ч УППФЧЕФУФЧЙЕ УПДЕТЦБЭЙК ЕЗП ЛМБУУ, ФП РПМХЮБЕФУС ЗПНПНПТЖЙЪН A ОБ A/M; ПВТБФОП, ЕУМЙ A ЗПНПНПТЖОП ПФПВТБЦБЕФУС ОБ A', ФП НОПЦЕУФЧП M ЬМЕНЕОФПЧ ЙЪ A, ПФПВТБЦБАЭЙИУС Ч ОХМШ ЛПМШГБ (БМЗЕВТЩ) A', ВХДЕФ ДЧХУФПТПООЙН ЙДЕБМПН Ч A Й A/M ЙЪПНПТЖОП A'. лПМШГП ВЕЪ ДЧХУФПТПООЙИ ЙДЕБМПЧ ОБЪЩЧБЕФУС РТПУФЩН. рЕТЕИПД ПФ БМЗЕВТЩ Л ЕЕ РПДБМЗЕВТБН Й ЖБЛФПТБМЗЕВТБН СЧМСЕФУС ПДОЙН ЙЪ УРПУПВПЧ РПМХЮЕОЙС ОПЧЩИ БМЗЕВТ. оБРТЙНЕТ, ЙЪ БМЗЕВТЩ НОПЗПЮМЕОПЧ ПФ ДПУФБФПЮОП ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ РЕТЕНЕООЩИ ОБД РПМЕН F (Ч ЛБЮЕУФЧЕ ЗПНПНПТЖОПЗП ПВТБЪБ) НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ МАВБС БУУПГЙБФЙЧОП-ЛПННХФБФЙЧОБС БМЗЕВТБ ОБД РПМЕН F. рПМЕ - БМЗЕВТБЙЮЕУЛПЕ РПОСФЙЕ, ЫЙТПЛП ЙУРПМШЪХЕНПЕ ЧП НОПЗЙИ ТБЪДЕМБИ НБФЕНБФЙЛЙ. рПМС УПУФБЧМСАФ ПУПВЩК РПДЛМБУУ ЛПМЕГ. рПМЕ НПЦЕФ ВЩФШ ПРТЕДЕМЕОП ЛБЛ НОПЦЕУФЧП, УПДЕТЦБЭЕЕ ОЕ НЕОЕЕ ДЧХИ ЬМЕНЕОФПЧ, ОБ ЛПФПТПН ЪБДБОЩ ДЧЕ ВЙОБТОЩЕ БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБГЙЙ - УМПЦЕОЙЕ Й ХНОПЦЕОЙЕ, ПВЕ БУУПГЙБФЙЧОЩЕ Й ЛПННХФБФЙЧОЩЕ, УЧСЪБООЩЕ НЕЦДХ УПВПК ЪБЛПОПН ДЙУФТЙВХФЙЧОПУФЙ, Ф.Е. ДМС МАВЩИ a, b, c ЙЪ РПМС УРТБЧЕДМЙЧП:

a +  b = b +  a , ab = ba , (a +  b) + c =  a +  (b +  c), (ab) c= a (bc), (a +  b) c = ac  +  bc .

лТПНЕ ФПЗП, Ч РПМЕ ФТЕВХЕФУС УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ОХМЕЧПЗП ЬМЕНЕОФБ 0 (ОХМС), ДМС ЛПФПТПЗП 0 + a =  a , Й ДМС ЛБЦДПЗП ЬМЕНЕОФБ a РТПФЙЧПРПМПЦОПЗП ЬМЕНЕОФБ -a, ФП ЕУФШ ФБЛПЗП ЬМЕНЕОФБ, ЮФП a +  (-a ) =  0, Б ФБЛЦЕ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ЕДЙОЙЮОПЗП ЬМЕНЕОФБ e (ЕДЙОЙГЩ), ДМС ЛПФПТПЗП ae =  a, Й ДМС ЛБЦДПЗП ОЕОХМЕЧПЗП ЬМЕНЕОФБ a УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ПВТБФОПЗП ЬМЕНЕОФБ a-1, Ф.Е. ФБЛПЗП ЬМЕНЕОФБ, ЮФП aa-1 = e. пФУАДБ УМЕДХЕФ, ЮФП Ч РПМЕ ЧЩРПМОЙНЩ ПРЕТБГЙС ЧЩЮЙФБОЙС, Б ФБЛЦЕ ПРЕТБГЙС ДЕМЕОЙС ОБ ОЕОХМЕЧПК ЬМЕНЕОФ. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЧУЕ ЬМЕНЕОФЩ РПМС ПВТБЪХАФ БВЕМЕЧХ ЗТХРРХ РП УМПЦЕОЙА (БДДЙФЙЧОБС ЗТХРРБ РПМС), Б ЧУЕ ОЕОХМЕЧЩЕ ЬМЕНЕОФЩ - БВЕМЕЧХ ЗТХРРХ РП ХНОПЦЕОЙА (НХМШФЙРМЙЛБФЙЧОБС ЗТХРРБ РПМС). рТЙНЕТБНЙ РПМЕК (ПФОПУЙФЕМШОП ЕУФЕУФЧЕООЩИ ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС Й ХНОПЦЕОЙС) СЧМСАФУС: НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ТБГЙПОБМШОЩИ ЮЙУЕМ Q, НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ R, НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ЛПНРМЕЛУОЩИ ЮЙУЕМ C, НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ЮЙУЕМ ЧЙДБ a + b?2, ЗДЕ a Й b - ТБГЙПОБМШОЩЕ ЮЙУМБ, НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙИ ЮЙУЕМ, НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ТБГЙПОБМШОЩИ ЖХОЛГЙК ПФ ПДОПЗП ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙИ РЕТЕНЕООЩИ У ДЕКУФЧЙФЕМШОЩНЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ (Б ФБЛЦЕ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ ЙЪ РТПЙЪЧПМШОПЗП РПМС). нОПЦЕУФЧП ЬМЕНЕОФПЧ РПМС НПЦЕФ ВЩФШ ЛПОЕЮОЩН. фБЛЙЕ РПМС ОБЪЩЧБАФ РПМСНЙ зБМХБ. рТПУФЕКЫЙЕ РТЙНЕТЩ ЛПОЕЮОЩИ РПМЕК - РПМС ЧЩЮЕФПЧ ЛПМШГБ РП РТПУФПНХ НПДХМА. нПЦЕФ ПЛБЪБФШУС, ЮФП Ч РПМЕ ТБЧОП ОХМА ГЕМПЕ ЛТБФОПЕ na ЛБЛПЗП-МЙВП ПФМЙЮОПЗП ПФ ОХМС ЬМЕНЕОФБ a. ч ЬФПН УМХЮБЕ УХЭЕУФЧХЕФ ФБЛПЕ РТПУФПЕ ЮЙУМП p, ЮФП p-ЛТБФОПЕ МАВПЗП ЬМЕНЕОФБ ЬФПЗП РПМС ТБЧОП ОХМА. зПЧПТСФ, ЮФП Ч ЬФПН УМХЮБЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ РПМС ТБЧОБ p (ФБЛПЧЩ РПМС ЧЩЮЕФПЧ РП НПДХМА p). еУМЙ ЦЕ na№  0 ОЙ ДМС ЛБЛЙИ ОЕОХМЕЧЩИ n Й a, ФП ИБТБЛФЕТЙУФЙЛБ РПМС УЮЙФБЕФУС ТБЧОПК ОХМА. ч РПМЕ ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ ДЕМЙФЕМЕК ОХМС. чУСЛПЕ РПМЕ СЧМСЕФУС РТПУФЩН ЛПМШГПН, Ф.Е. ОЕ УПДЕТЦЙФ ОЕОХМЕЧЩИ ЙДЕБМПЧ, ОЕ УПЧРБДБАЭЙИ У ОЙН. пВТБФОП, ЧУСЛПЕ ОЕОХМЕЧПЕ БУУПГЙБФЙЧОП-ЛПННХФБФЙЧОПЕ РТПУФПЕ ЛПМШГП У ЕДЙОЙГЕК ЕУФШ РПМЕ. рПМЕ ОБЪЩЧБЕФУС РТПУФЩН, ЕУМЙ ПОП ОЕ УПДЕТЦЙФ РПДРПМЕК, Ф.Е. ФБЛЙИ РПДНОПЦЕУФЧ, ЛПФПТЩЕ УБНЙ СЧМСАФУС РПМСНЙ ПФОПУЙФЕМШОП ФЕИ ЦЕ ПРЕТБГЙК УМПЦЕОЙС Й ХНОПЦЕОЙС. еУМЙ F - РПДРПМЕ Ч G, ФП G ОБЪЩЧБАФ ФБЛЦЕ ОБДРПМЕН ЙМЙ ТБУЫЙТЕОЙЕН РПМС F. чУСЛПЕ РПМЕ УПДЕТЦЙФ ЕДЙОУФЧЕООПЕ РТПУФПЕ РПДРПМЕ. чУЕ РТПУФЩЕ РПМС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ 0 ЙУЮЕТРЩЧБАФУС РПМЕН ТБГЙПОБМШОЩИ ЮЙУЕМ, Б РТПУФЩЕ РПМС ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ p - РПМЕН ЧЩЮЕФПЧ РП НПДХМАp. пУОПЧОЩЕ ЪБДБЮЙ ФЕПТЙЙ РПМС - ЬФП ПРЙУБОЙЕ ЧУЕИ РПДРПМЕК ДБООПЗП РПМС, ЧУЕИ ТБУЫЙТЕОЙК ДБООПЗП РПМС, ЛМБУУЙЖЙЛБГЙС РПМЕК У ФПЮОПУФША ДП ЙЪПНПТЖЙЪНБ Й ЙЪХЮЕОЙЕ ЗТХРР БЧФПНПТЖЙЪНПЧ РПМЕК. пДЙО ЙЪ УРПУПВПЧ ПВПЪТЕОЙС ЧУЕИ РПМЕК - ПФРТБЧМССУШ ПФ РТПУФПЗП РПМС - РПМХЮБФШ ПРЙУБОЙС ЧУЕИ РПМЕК, ЙЪХЮЙЧ УФТХЛФХТХ ТБУЫЙТЕОЙК. тБУЫЙТЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ РПТПЦДБЕФУС РТЙУПЕДЙОЕОЙЕН Л F ПДОПЗП ЬМЕНЕОФБ, ОБЪЩЧБЕФУС РТПУФЩН. чПЪНПЦОЩ РТПУФЩЕ ТБУЫЙТЕОЙС ДЧХИ ФЙРПЧ: Б) РТПУФПЕ ФТБОУГЕОДЕОФОПЕ ТБУЫЙТЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ РПМХЮБЕФУС, ЕУМЙ ЪБ G ЧЪСФШ РПМЕ ЧУЕИ ТБГЙПОБМШОЩИ ЖХОЛГЙК ПДОПЗП РЕТЕНЕООПЗП У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ ЙЪ F, Й В) РТПУФПЕ БМЗЕВТБЙЮЕУЛПЕ ТБУЫЙТЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ РПМХЮБЕФУС, ЕУМЙ Л F ДПВБЧЙФШ ЛПТЕОШ ОЕЛПФПТПЗП ОЕРТЙЧПДЙНПЗП ОБД F НОПЗПЮМЕОБ f(x) Й ЧУЕ ФЕ ЬМЕНЕОФЩ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП ЧЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ЬФПФ ЛПТЕОШ Й ЬМЕНЕОФЩ ЙЪ F. чП ЧФПТПН УМХЮБЕ ЛБЦДЩК ЬМЕНЕОФ РПМХЮБЕНПЗП ОБДРПМС G СЧМСЕФУС ЛПТОЕН ОЕЛПФПТПЗП НОПЗПЮМЕОБ У ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБНЙ ЙЪ F. тБУЫЙТЕОЙС, ПВМБДБАЭЙЕ ЬФЙН УЧПКУФЧПН, ОБЪЩЧБАФУС БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙНЙ, Б ЧУЕ ПУФБМШОЩЕ - ФТБОУГЕОДЕОФОЩНЙ. чБЦОЩК ЛМБУУ БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙИ ТБУЫЙТЕОЙК УПУФБЧМСАФ ЛПОЕЮОЩЕ ТБУЫЙТЕОЙС, Ф.Е. ТБУЫЙТЕОЙС, СЧМСАЭЙЕУС ЛПОЕЮОПНЕТОЩНЙ ЧЕЛФПТОЩНЙ РТПУФТБОУФЧБНЙ ОБД РПМЕН F. мАВПЕ ТБУЫЙТЕОЙЕ НПЦОП ЧЩРПМОЙФШ Ч ДЧБ РТЙЕНБ: УОБЮБМБ УПЧЕТЫЙФШ ЮЙУФП ФТБОУГЕОДЕОФОПЕ ТБУЫЙТЕОЙЕ (ПВТБЪПЧБЧ РПМЕ ТБГЙПОБМШОЩИ ЖХОЛГЙК, ОЕПВСЪБФЕМШОП ПФ ПДОПК РЕТЕНЕООПК), Б ЪБФЕН БМЗЕВТБЙЮЕУЛПЕ. бМЗЕВТБЙЮЕУЛЙИ ТБУЫЙТЕОЙК ОЕ ЙНЕАФ ФБЛЙЕ РПМС, Ч ЛПФПТЩИ ЛБЦДЩК НОПЗПЮМЕО ТБЪМБЗБЕФУС ОБ МЙОЕКОЩЕ НОПЦЙФЕМЙ (ПОЙ ОБЪЩЧБАФУС БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙ ЪБНЛОХФЩНЙ). фБЛПЧП, ОБРТЙНЕТ, РПМЕ C ЛПНРМЕЛУОЩИ ЮЙУЕМ (ПУОПЧОБС ФЕПТЕНБ БМЗЕВТЩ). мАВПЕ РПМЕ УПДЕТЦЙФУС Ч ОЕЛПФПТПН БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙ ЪБНЛОХФПН РПМЕ. ч ФЕПТЙЙ ЮЙУЕМ ЧБЦОХА ТПМШ ЙЗТБЕФ ЙЪХЮЕОЙЕ ЛПОЕЮОЩИ ТБУЫЙТЕОЙК РПМЕК Q, ФБЛ ОБЪЩЧБЕНЩИ РПМЕК БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙИ ЮЙУЕМ. фЕПТЙС РПМС ЙЪХЮБЕФ ФБЛЦЕ РПМС, ОЕУХЭЙЕ ОЕЛПФПТЩЕ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ УФТХЛФХТЩ, ОБРТЙНЕТ, ОПТНЙТПЧБООЩЕ РПМС, ФПРПМПЗЙЮЕУЛЙЕ РПМС, ХРПТСДПЮЕООЩЕ РПМС. тЕЫЕФЛБ, УФТХЛФХТБ, - ЮБУФЙЮОП ХРПТСДПЮЕООПЕ НОПЦЕУФЧП, Ч ЛПФПТПН ЛБЦДПЕ ДЧХИЬМЕНЕОФОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ЙНЕЕФ ЛБЛ ФПЮОХА ЧЕТИОАА (sup), ФБЛ Й ФПЮОХА ОЙЦОАА (inf) ЗТБОЙ. пФУАДБ ЧЩФЕЛБЕФ УХЭЕУФЧПЧБОЙЕ ЬФЙИ ЗТБОЕК ДМС МАВЩИ ОЕРХУФЩИ ЛПОЕЮОЩИ РПДНОПЦЕУФЧ. рТЙНЕТЩ ТЕЫЕФПЛ: 1) НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ РПДНОПЦЕУФЧ ДБООПЗП НОПЦЕУФЧБ, ХРПТСДПЮЕООПЕ РП ЧЛМАЮЕОЙА; 2) ЧУСЛПЕ МЙОЕКОП ХРПТСДПЮЕООПЕ НОПЦЕУФЧП; РТЙЮЕН ЕУМЙ a ? b, ФП sup{a,b} = b, inf{a,b} = a; 3) НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ОБДРТПУФТБОУФЧ ЧЕЛФПТОПЗП РТПУФТБОУФЧБ, ХРПТСДПЮЕООЩИ РП ЧЛМАЮЕОЙА, ЗДЕ inf - РЕТЕУЕЮЕОЙЕ, Б sup - УХННБ УППФЧЕФУФЧХАЭЙИ ОБДРТПУФТБОУФЧ; 4) НОПЦЕУФЧП ЧУЕИ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩИ ГЕМЩИ ЮЙУЕМ, ХРПТСДПЮЕООЩИ РП ДЕМЙНПУФЙ: a ? b, ЕУМЙ b = ac ДМС ОЕЛПФПТПЗП c. ъДЕУШ sup - ОБЙНЕОШЫЕЕ ПВЭЕЕ ЛТБФОПЕ, Б inf - ОБЙВПМШЫЙК ПВЭЙК ДЕМЙФЕМШ ДБООЩИ ЮЙУЕМ; 5) ДЕКУФЧЙФЕМШОЩЕ ЖХОЛГЙЙ, ПРТЕДЕМЕООЩЕ ОБ ПФТЕЪЛЕ [ 0, 1] , ХРПТСДПЮЕООЩЕ ХУМПЧЙЕН f Ј g, ЕУМЙ f(t) Ј g(t) ДМС ЧУЕИ t п [ 0, 1]. ъДЕУШ

sup{f,g} = u, ЗДЕ u(t) = max{f(t), g(t)}.

тЕЫЕФЛБ НПЦЕФ ВЩФШ ФБЛЦЕ ПРТЕДЕМЕОБ ЛБЛ ХОЙЧЕТУБМШОБС БМЗЕВТБ У ДЧХНС ВЙОБТОЩНЙ ПРЕТБГЙСНЙ (ПОЙ ПВПЪОБЮБАФУС + Й • ЙМЙ й Й ъ , Б ФБЛЦЕ я Й э ), ХДПЧМЕФЧПТСАЭБС УМЕДХАЭЙН ФПЦДЕУФЧБН (1) a +  a = a, (1ў ) a •  a = a {ЙДЕНРПФЕНРПФЕОФОПУФШ}, (2) a +  b = b +  a, (2ў ) a •  b = b •  a {ЛПННХФБФЙЧОПУФШ}, (3) (a +  b) +  c = a +  (b +  c), (3ў ) (a •  b) •  c = a •  (b •  c) {БУУПГЙБФЙЧОПУФШ}, (4) a (a +  b) = a, (4ў ) a +  a •  b = a  {РПЗМПЭЕОЙЕ}. уЧСЪШ НЕЦДХ ЬФЙНЙ ДЧХНС ПРТЕДЕМЕОЙСНЙ ХУФБОБЧМЙЧБЕФУС РТЙ РПНПЭЙ ЖПТНХМ:

a +  b = sup {a, b},        a •  b = inf {a, b},

Й ПВТБФОП. рТЙ ЬФПН ДМС МАВЩИ ЬМЕНЕОФПЧ a Й b ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩ УМЕДХАЭЙЕ ХФЧЕТЦДЕОЙС: (Б) a ? b; (В) a b = a; (Ч) a +  b = b. рПОСФЙС ЙЪПНПТЖЙЪНБ ТЕЫЕФПЛ ЛБЛ ХОЙЧЕТУБМШОЩИ БМЗЕВТ Й ЛБЛ ЮБУФЙЮОП ХРПТСДПЮЕООЩИ НОПЦЕУФЧ УПЧРБДБАФ. пДОБЛП РТПЙЪЧПМШОПЕ ЙЪПФПООПЕ ПФПВТБЦЕОЙЕ ТЕЫЕФЛЙ R Ч ТЕЫЕФЛХ Rў ОЕ ПВСЪБОП ВЩФШ ЗПНПНПТЖЙЪНПН ЬФЙИ ТЕЫЕФПЛ ЛБЛ ХОЙЧЕТУБМШОЩИ БМЗЕВТ. рПСЧМЕОЙЕ РПОСФЙС «ТЕЫЕФЛБ» ПФОПУЙФУС Л УЕТЕДЙОЕ 19 ЧЕЛБ. юЕФЛП ЕЗП УЖПТНХМЙТПЧБМ т. дЕДЕЛЙОД Ч ТБВПФБИ 1894 Й 1897 ЗПДПЧ. фЕТНЙО «lattice», РЕТЕЧЕДЕООЩК ЛБЛ «УФТХЛФХТБ», ВЩМ ЧЧЕДЕО з. вЙТЛЗПЖПН Ч 1933 ЗПДХ. ч ОБУФПСЭЕЕ ЧТЕНС Ч ТХУУЛПК ФЕТНЙОПМПЗЙЙ (ЙЪ-ЪБ НОПЗПЪОБЮОПУФЙ УМПЧБ «УФТХЛФХТБ») ПО ЧЩФЕУОЕО РЕТЕЧПДПН «ТЕЫЕФЛБ». йУФПТЙЮЕУЛЙ ТПМШ ФЕПТЙЙ ТЕЫЕФПЛ ПВЯСУОСЕФУС ФЕН, ЮФП НОПЗЙЕ ЖБЛФЩ, ЛБУБАЭЙЕУС НОПЦЕУФЧБ ЙДЕБМПЧ ЛПМШГБ Й НОПЦЕУФЧБ ОПТНБМШОЩИ РПДЗТХРР ЗТХРРЩ, ЧЩЗМСДСФ БОБМПЗЙЮОП Й НПЗХФ ВЩФШ ДПЛБЪБОЩ Ч ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ ДЕДЕЛЙОДПЧЩИ ТЕЫЕФПЛ. лБЛ УБНПУФПСФЕМШОПЕ ОБРТБЧМЕОЙЕ БМЗЕВТЩ ЬФБ ФЕПТЙС УЖПТНЙТПЧБМБУШ Ч 30-И ЗПДБИ 20 ЧЕЛБ. оБЙВПМЕЕ ЧБЦОЩЕ ЛМБУУЩ ТЕЫЕФПЛ, ЛТПНЕ ДЕДЕЛЙОДПЧЩИ, - ЬФП РПМОЩЕ ТЕЫЕФЛЙ, ДЙУФТЙВХФЙЧОЩЕ ТЕЫЕФЛЙ Й ВХМЕЧЩ БМЗЕВТЩ.

  вЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ R Ч НОПЦЕУФЧЕ н, ПВМБДБАЭЕЕ УМЕДХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ: ТЕЖМЕЛУЙЧОПУФЙ: ("aп M) ((a,a)пR); БОФЙУЙННЕФТЙЮОПУФЙ: ("a,bп M) (((a,b)пR) Й (b,a)пR)« a=b); ФТБОЪЙФЙЧОПУФЙ: ("a,b,cп M) (((a,b)пR) Й (b,c)пR)(r) (a,c)пR)

ОБЪЩЧБЕФУС ПФОПЫЕОЙЕН ХРПТСДПЮЕООПУФЙ Й НПЦЕФ ВЩФШ ПВПЪОБЮЕОП: Ј.

  вЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ R Ч НОПЦЕУФЧЕ н, ПВМБДБАЭЕЕ УМЕДХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ: БОФЙТЕЖМЕЛУЙЧОПУФЙ: ("aп M) ((a,a) рR); БОФЙУЙННЕФТЙЮОПУФЙ: ("a,bп M) (((a,b)пR) Й (b,a)пR)« a=b); ФТБОЪЙФЙЧОПУФЙ: ("a,b,cп M) (((a,b)пR) Й (b,c)пR)(r) (a,c)пR)

ОБЪЩЧБЕФУС ПФОПЫЕОЙЕН УФТПЗПК ХРПТСДПЮЕООПУФЙ Й НПЦЕФ ВЩФШ ПВПЪОБЮЕОП: <.

  вЙОБТОПЕ ПФОПЫЕОЙЕ R Ч НОПЦЕУФЧЕ н, ПВМБДБАЭЕЕ УМЕДХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ: ТЕЖМЕЛУЙЧОПУФЙ: ("aп M) ((a,a)пR); ФТБОЪЙФЙЧОПУФЙ: ("a,b,cп M) (((a,b)пR) Й (b,c)пR)(r) (a,c)пR)

ОБЪЩЧБЕФУС ПФОПЫЕОЙЕН РТЕДРПТСДЛБ.

дЙБЗТБННБ иБУУЕ

 фЕПТЕНБ. хРПТСДПЮЕООПЕ НОПЦЕУФЧП УПДЕТЦЙФ ОЕ ВПМЕЕ ПДОПЗП ОБЙВПМШЫЕЗП Й ОЕ ВПМЕЕ ПДОПЗП ОБЙНЕОШЫЕЗП ЬМЕНЕОФБ. фЕПТЕНБ уФПХОБ. вХМЕЧБ БМЗЕВТБ ЙЪПНПТЖОБ БМЗЕВТЕ лБОФПТБ. A (r) И п A й (r) я ъ (r) эѕ (r) ы

рТЕДЩДХЭЙК ТБЪДЕМ  пЗМБЧМЕОЙЕ    уМЕДХАЭЙК ТБЪДЕМ