20.Понятие о дифференциальном уравнении и его решении. Порядок дифференциального уравнения. Понятие общего и частного решения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее

независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы)

этой функции.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую перемен-

ную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если

же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное урав-

нение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется

порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество

Порядок дифференциального уравнения.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него. Например, уравнение y^'''- Зy''+2у=0 - обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение х²y'+5хy=y² - первого порядка; у • z'x=х • z'y - ДУ в частных производных первого порядка.

Понятие общего и частного решения.

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где   — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)   называется общим решением дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения на интервале   называется каждая функция  , которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале  .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.