3.7. Алгоритм поиска максимального потока.

При обмене информацией между абонентами вычислительной сети, при параллельных вычислениях на многомашинном комплексе, когда решение задачи распределяется между несколькими процессорами, при использовании в вычислительной сети общей памяти, когда каждый процессор получает доступ к общим модулям на ограниченный отрезок времени, возникает задача передачи максимального объема информации в заданный отрезок времени.

При работе транспортной системы, когда осуществляется обмен транспотными единицами между узлами сети также возникает задача передачи максимального объема транспортных единиц за заданный отрезок времени.

При передаче энергии в электрических сетях, жидкости в различных трубопроводных системах также возникает задача передачи максимального объема энергии или вещества в заданный отрезок времени.

Объем информации, энергии или вещества, передаваемый от одного узла к другому, называют потоком и обозначают _i,j.

Граф, являющийся образом транспортной системы, называют сетью. Особенностью сети является отсутствие петель и кратных дуг, ориентация всех отрезков линий, т.е. наличие дуг в графе, наличие вершины-истока и вершины-стока в сети.

Наибольший поток, который может пропустить дуга сети, называют пропускной способностью дуги и обозначают С_i,j.

Очевидно, что 0_i,j С_i,j.

В вершине-истоке х₀ величина потока есть сумма потоков по всем дугам, исходящим из вершины х₀, т.е.=_i_0i⁺.

В вершине-стоке х_k величина потока есть сумма потоков по всем дугам, заходящим в вершину х_k, т.е.=_i_ik^-.

Для любой промежуточной вершины х_i сумма исходящих потоков равна сумме заходящих потоков, т.е. _j_ij⁺=_k_ik^-.

На рис. 47 показана условная сеть, содержащая вершину-исток х₀, вершину-сток х_k и две промежуточные вершины х_i и х_j. На каждой дуге в круглых скобках приведены обозначения потока и пропускной способности соответствующей дуги. При этом поток, подводимый к сети равен =(_0i+_0j), поток отводимый от сети равен =(_ik+_jk), поток из вершины х_i в вершину х_j равен _ij. Для вершины х_i имеем _0i=(_ij+_ik), для вершину х_j - _jk=(_0j+_ij).

Если множество вершин графа разбить на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит вершину-исток, а другое - вершину-сток, то множество дуг, соединяющих эти два множества, формируют разрез А, пропускная способность которого равна сумме пропускных способностей дуг. Таких разрезов может быть несколько. Очевидно, что величина максимального потока ограничена минимальной пропускной способностью разреза, т.е.

_max=min{С_Ai}.

Для примера на рис. 47 приведена схема, объясняющая множество пропускных способностей разрезов. Для разреза А1 имеем Х^{^}={x₀} и X\Х^{^}={х_i;х_j;х_k}, для А2 - Х^{^}={х₀;х_j} и X\Х^{^}={х_i;х_k}, для А3 - Х^{^}={х₀;х_i} и X\Х^{^}={х_j;х_k}, для А4 - Х^{^}={х₀;х_i;х_j} и X\Х^{^}={х_k}.

C_A2 x_i C_A3 C_A4

C_A1

(_0i;C_0i) (_ik;C_ik)

 x₀ (_ij;C_ij) x_k 

(_0j;C_0j) (_jk;C_jk)

A₁ A₃ x_j A₄ A₂

Разрез	пропускная способность дуги Сi,j					пропускная способность
	С0,i	С0,j	Сi,j	Сi,k	Сj,k	разреза СAi
А1	1	1	0	0	0	С0,i+ С0,j
А2	1	0	1	0	1	С0,i+Сi,j+Сj,k
А3	0	1	1	1	0	С0,j+Сi,j+Сi,k
А4	0	0	0	1	1	Сi,k+Сj,k

Рис. 47. Условная сеть и множество разрезов.

Итак, максимальный поток в сети с ограниченной пропускной способностью можно находить, вычисляя пропускные способности всех разрезов и выбирая среди полученных значений минимальное. Однако при таком решении задачи остается неизвестным распределение потока по дугам графа.

Для поиска распределения потока по дугам графа разработано несколько алгоритмов, особое место среди которых занимает алгоритм Форда-Фалкерсона, суть которого состоит в разметке вершин графа. Метка вершины графа указывает на возможность изменения потока через эту вершину и указывает источник этого изменения. На рис. 48 дан фрагмент сети, объясняющий суть алгоритма.

xi xj xs +si +tj xt

xi xj si +s +i tj -j +t

Рис. 48. Пометка вершин сети.

Если по дуге (х_s;х_i) возможно увеличение потока, т.е. _si<C_si, то вершину х_i следует пометить +s , что указывает на источник увеличения потока. Если по дуге (х_i;х_j) также возможно увеличение потока _ij<C_ij, то вершину х_j пометить +i . Это означает, что приращение потока _si пойдет по направлению дуги (х_i;х_j) от вершины х_s.

Если по дуге (х_t;х_j) возможно увеличение потока, т.е. _tj<C_tj, то вершину х_j следует пометить +t , что указывает на источник увеличения потока. Однако, если вершина х_j не имеет пометки +i , то для увеличения потока в фрагменте сети, следует уменьшить поток в дуге (х_i;х_j) и направить его далее по другим дугам фрагмента на сток. Для указания вершины, от которой необходимо уменьшить поток, ставят пометку -j. Это означает что на участке (х_i;х_j) поток должен быть уменьшен на величину _tj.

Следует отметить, что вершины х_i и х_j могут иметь одновременно по нескольку подходящих и отходящих дуг. В примере, показанном на рис. 48 одновременно при допустимых _si и _tj могут быть для вершины х_j две метки +t и +i для вершины х_i также две метки +s и -j, что свидетельствует о свободе выбора приращения потока либо на величину _si, либо _tj.

Если дуга (х_s;х_i) насыщена, т.е. _si=С_si, то метку “+s” у вершины х_i ставить нельзя. Также, если насыщена дуга (х_t;х_j), т.е. _tj=С_tj, то метку “+t” у вершины х_j ставить нельзя.

Если вершина х_j не помечена, то нельзя ставить метку “-j” у вершины х_i. Когда обе вершины графа (х_i и х_j) не имеют меток, то это означает невозможность увеличения потока на дугах-стока. Так достигают максимального значения потока от двух вершин-истоков х_s и х_t по дугам-стока, исходящим из вершин х_i и х_j.

Алгоритм Форда-Фалкерсона.

шаг 1: присвоить всем вершинам графа индексы 0,1,2,...k; где 0-индекс вершины-истока графа, k -индекс вершины-стока графа;

шаг 2: присвоить начальной вершине метку “0”;

шаг 3: все непомеченные вершины х_i, в которые идут ненасыщенные дуги из помеченной вершины х_s, пометить индексом “+s”, что свидетельствует о возможности увеличения потока из вершины х_s по дуге (х_s;х_i);

шаг 4: все непомеченные вершины х_i, из которых идут дуги (насыщенные или ненасыщенные) в помеченную вершину х_j, пометить индексом “-j”, что свидетельствует о возможности уменьшения потока в вершину х_j по дуге (х_i;х_j);

шаг 5: если в результате этих операций окажется помеченной вершина-сток, то между начальной и конечной вершинами сети найдется маршрут, все вершины которого различны и с точностью до знака помечены индексами предыдущих вершин, формирующих переход, по которому можно увеличить поток, и перейти к шагу 6, иначе конец.

шаг 6: увеличить поток в маршруте, сформированном на шаге 5, на единицу и перейти к шагу 3.

Для иллюстрации работы алгоритма распределения максимального потока по дугам графа рассмотрим граф (см. рис. 49а)). Каждой дуге графа (х_i;х_j) приписаны величина потока и пропускная способность (_ij;С_ij). Все расчеты по алгоритму сведены в две таблицы. В таблице 14 на каждом шаге итерации для каждой вершины графа указаны возможные метки, формирующие маршрут. В таблице 15 даны приращения потока по дугам графа (х_i;х_j). Насыщение дуги показано в таблице 15 знаком . Итак, в результате выполнения первой итерации возможны маршруты для увеличения потока на единицу:₁=(х_k;х₁;х₀); ₂=(х_k;х₂;х₀); ₃=(х_k;х₂;х₃;х₀); ₄=(х_k;х₂;х₃;х₁;х₀); ₅=(х_k;х₃;х₀); ₆=(х_k;х₃;х₁;х₀), из множества которых был выбран для второй итерации маршрут ₅. При увеличении потока на единицу по данному маршруту оказалась насыщенной дуга (х₃;х_k). В результате расстановки меток на второй итерации возможны маршруты: ₁=(х_k;х₁;х₀); ₂=(х_k;х₂;х₀); ₃=(х_k;х₂;х₃;х₀); ₄=(х_k;х₂;х₃;х₁;х₀), из множества которых выбран маршрут ₄. При увеличении потока на единицу по данному маршруту оказалась насыщенной дуга (х₃;х₂). В результате расстановки меток на третьей итерации возможны маршруты: ₁=(х_k;х₁;х₀); ₂=(х_k;х₂;х₀), из которых выбрали маршрут ₁. При увеличении потока по этому маршруту оказалась насыщенной дуга (х₀;х₁). Следует отметить, что на этой итерации не использовали метку у вершины х₃. В результате расстановки меток на четвертом этапе вершина х₃ помечена +0, а вершина х₁ не может быть помечена “+0”, т.к. дуга (х₀;х₁) -насыщена. Таблица 14 показывает возможность для вершины х₁ поставить метку-3, что приведет к перераспределению потоков в дугах графа, но общему увеличению. Итак, на четвертом этапе имеем возможные маршруты: ₁=(х_k;х₁;-х₃;х₀); ₂=(х_k;х₂;х₀), из которых выбран маршрут ₁. При перераспределении потоков (уменьшение потока в дуге (х₁;х₃), насыщении дуги (х₀;х₃)) удалось увеличить поток еще на одну единицу. При установке меток на пятой итерации разнообразие маршрутов сведено к одному - ₁=(х_k;х₁;х₀).

а) x₁ (0;4) x₃

(0;2) (0;3) (0;2)

=0 (0;3) =0

x₀ (0;1) x_k

(0;1) (0;2 )

p=0 x₂

б) x1 (0;4) x3 (0;2) (1;2) (1;3) (0;3) 1=1 x0 (0;1) xk (0;1) (0;2) p=1 x2	в) x1 (0;4) x3 (2;2) (0;2) (2;3) (0;3) 2=2 x0 (0;1) xk (0;1) (0;2) p=2 x2
г) x1 (1;4) x3 (1;2) (2;2) (2;3) (0;3) x0 (1;1) xk 3=3 (0;1) (1;2) p=3 x2	д) x1 (1;4) x3 (2;2) (2;2) (2;3) (1;3) x0 (1;1) xk 4=4 (0;1) (1;2) p=4 x2
е) x1 (1;4) x3 (2;2) (2;2) (3;3) (2;3) 5=5 x0 (1;1) xk (0;1) (1;2) p=5 x2	ж) x1 (0;4) x3 (2;2) (2;2) (3;3) (2;3) 6=6 x0 (1;1) xk (1;1) (2;2) p=6 x2

Рис. 49. Максимальный поток в сети.

Таблица 14.

хi	шаг итерации pi=i
	1	2	3	4	5	6
х0	0	0	0	0	0	0
х1	+0	+0	+0	-3	-	-
х2	+0;+3	+0;+3	+0	+0	+0	-
х3	+0;+1	+0;+1	+0;+1	+0	-	-
хk	+1;+2;+3	+1;+2	+1;+2	+1;+2	+2	-

Таблица 15.

(хi;хj)	Сij	шаг итерации pi=i
		1	2	3	4	5	6
(х0;х1)	2	0	0	1	2	2	2
(х0;х2)	1	0	0	0	0	0	1
(х0;х3)	3	1	2	2	2	3	3
(х1;х3)	4	0	0	1		0	0
(х1;хk)	3	0	0	0	1	2	2
(х2;хk)	2	0	0	1		1	2
(х3;х2)	1	0	0	1	1	1	1
(х3;хk)	2	1	2	2	2	2	2

На последней шестой итерации =6, дуги (х₀;х₁), (х₀;х₂), (х₀;х₃), (х₂;х_k), (х₃;х₂), (х₃;х_k) - насыщены, невозможно поставить метки у вершин х₁, х₂, х₃. Следовательно, нельзя поставить метку и у концевой вершины-стока х_k.

В [7] даны алгоритмы поиска потока минимальной стоимости, алгоритмы дефекта, алгоритмы поиска максимального потока в неориентированной сети и при наличии большого числа истоков и стоков. Все алгоритмы подкреплены примерами и программными модулями для компьютера.