3.6. Алгоритмы поиска путей на графе.

Подобные задачи возникают при выборе маршрутов в вычислительных сетях и транспортных системах. В вычислительных сетях решение подобных задач определяет правила сетевых протоколов, которые могут быть реализованы аппаратно-программными средствами для обслуживания движения пакетов информации по сети. Для этого по данным о загрузке каналов сети, о состоянии ее узлов в сервере или коммутационной машине вычисляется наиболее оптимальный маршрут прохождения пакета информации. К пакету информации добавляется заголовок, в котором содержится перечень узлов сети перехода от вершины х_i к вершине х_j или следующая вершина перехода, формируемая коммутационной машиной. В транспортных системах решение подобных задач определяет наиболее экономный по стоимости или времени маршрут движения транспортной единицы.

Образом таких систем является реберно-взвешенный граф, т.е. граф, у которого каждое ребро или дуга имеют вес. Кратчайший путь в таком графе всегда простой, т.е. каждая вершина в переходе используется только один раз. Длина кратчайшего пути определяется суммой весов ребер перехода _i,j=(х_i;...х_k;...х_j):

L_i,j=_m,n l_m,n, где im, nj, mn.

В основе всех алгоритмов лежит операция сравнения двух простых маршрутов. На рис. 45а) показаны два простых маршрута, соединяющих вершины х_i и х_j. Поэтому выбор кратчайшего пути между вершинами х_i и х_j есть результат сравнения длин двух маршрутов, т.е. L_i,j=min{l_i,j;(l_i,p+ l_p,j)}.

p	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
x0	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
..	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
xi	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
xp	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
xj	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
..	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
xn	x0	..	xi	xp	xj	..	xn

Если существует несколько вершин, смежных с вершинами х_i и х_j следует выполнять процедуру последовательно, сравнивая длины двух маршрутов для каждой вершины.

а) х_p

l_i,p l_p,j

x_i x_j

l_i,j

б)

lp	x0	..	xi	xp	xj	..	xn
x0	0	..	l0i	∞	l0j	..	l0n
..	..	0	..	..	..	..	..
xi	li0	..	0	lip	lij	..	lin
xp	∞	..	lpi	0	lpj	..	lpn
xj	lj0	..	lji	ljp	0	..	ljn
..	..	..	..	..	..	0	..
xn	ln0	..	lni	lnp	lnj	..	0nn

Рис. 45. Выбор маршрута между вершинами х_i и х_j.

Для поиска кратчайших путей разработаны несколько алгоритмов. Алгоритмы Форда-Беллмана и Дейкстра позволяют найти кратчайшие пути от заданной вершины графа до любой другой. В результате этих вычислений формируется граф типа “дерево” с корнем в заданной вершине.

Протяженность от начальной вершины до любой концевой вершины дерева есть кратчайший путь. Алгоритмы Форда-Беллмана и Дейкстра можно использовать для поиска остова минимального веса.

Алгоритмы Флойда и Данцига позволяют искать кратчайшие пути между любой парой вершин графа. Для текущих оценок кратчайших путей между парами вершин удобно использовать матрицы (nn), где n-число вершин графа. Для того чтобы выбирать кратчайшие путь и переход, необходимо использовать две матрицы: матрицу кратчайших путей ║l(n;n)║ и матрицу кратчайших переходов ║(n;n)║. На рис. 45б) приведены две матрицы для выбора кратчайших путей и переходов. Вершина х_p позволяет выбрать кратчайший путь между любой парой вершин, смежных с вершиной х_p. Поэтому вершина х_p называется базовой, а строка и столбец матрицы ║l^p║ базовыми.

Если все вершины графа индексировать целыми числами 0;1;2;...n и, в качестве базовой, использовать последовательно все вершины, начиная с вершины х₀, то за (n-1) итераций можно найти кратчайшие пути между любой парой вершин. Для p=0 матрица ║l⁰║ есть матрица весов графа, элементы которой определяются так:

{

0, если i=j;

l_i,j⁰= l_i,j,если вершины х_i и х_j смежны, вес ребра равен l_i,j;

, если вершины х_i и х_j не смежны.

Как уже отмечалось базовая вершина позволяет найти (l_i,p+ l_p,j) для любой пары вершин смежных с вершиной х_p и представить этот результат p-ой итерации для выбора кратчайшего пути по формулам:

а) если (l_i,p+ l_p,j)l_i,j, то сохранить для итерации (p+1) прежнее значение l_i,j;

б) если (l_i,p+ l_p,j)<l_i,j, то заменить для итерации (p+1) прежнее значение l_i,j на (l_i,p+ l_p,j).

Матрица переходов _p производна относительно матрицы путей. Для p=0 элементы матрицы ₀ есть концевые вершины перехода из х_i в х_j. Поэтому в каждом столбце х_j матрицы ₀ указана вершина х_j. Результатом p-ой итерации при выборе кратчайшего маршрута происходит замена вершины перехода вершиной кратчайшего перехода по формулам:

а) если (l_i,p+ l_p,j)l_i,j, то _i,j^(p+1)=_i,j^p=х_j;

б) если (l_i,p+ l_p,j)<l_i,j, то _i,j^(p+1)=х_p.

Следовательно, для анализа n-вершинного графа необходимо последовательно построить n матриц кратчайших путей и кратчайших переходов. Алгоритм Данцига отличен от алгоритма Флойда только технологией построения матриц кратчайших путей и переходов.

Алгоритм Флойда.

шаг 1: присвоить каждой вершине графа целое число от 0 до n;

шаг 2: составить матрицу весов ║l⁰║ и матрицу переходов ║⁰║;

шаг 3: принять p=0, где p-шаг итерации;

шаг 4: определить вершину p базовой и выделить базовые строки и столбец;

шаг 5: вычеркнуть строки и столбцы, базовые элементы которых имеют значение , т.к. (l_i,p+) и (+ l_p,j) всегда больше конечного значения l_i,j;

шаг 6: сравнить каждый невычеркнутый элемент ║l^p║ с суммой (l_i,p^p+ l_p,j^p):

шаг 6.1: если (l_i,p^p+ l_p,j^p)<l_i,j^p, то l_i,j^p+1=(l_i,p^p+ l_p,j^p); _i,j^(p+1)=p

шаг 6.2: если (l_i,p^p+ l_p,j^p)>l_i,j^p, то l_i,j^p+1=l_i,j^p; _i,j^(p+1)= _i,j^p.

шаг 7: если p<n, то принять p=p+1 и вернуться к шагу 4, иначе конец.

На рис. 46 дан пример расчета кратчайших путей по алгоритму Флойда. На каждой итерации заштрихованы базовые столбец и строка, кружками выделены элементы матриц ║l^p+1║ и ║^p+1║, которые получили изменение относительно матриц ║l^p║ и ║^p║.

На 7-ой итерации (p=7) процесс вычисления окончен и никаких изменений в матрицах кратчайших путей и маршрутов нет.

0	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7

l0	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	9	∞	3	∞	∞	∞	∞
x1	9	0	2	∞	7	∞	∞	∞
x2	∞	2	0	2	4	8	6	∞
x3	3	∞	2	0	∞	∞	5	∞
x4	∞	7	4	∞	0	10	∞	9
x5	∞	∞	8	∞	10	0	7	12
x6	∞	∞	6	5	∞	7	0	10
x7	∞	∞	∞	∞	9	12	10	0

l1	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	9	∞	3	∞	∞	∞	∞
x1	9	0	2	12	7	∞	∞	∞
x2	∞	2	0	2	4	8	6	∞
x3	3	12	2	0	∞	∞	5	∞
x4	∞	7	4	∞	0	10	∞	9
x5	∞	∞	8	∞	10	0	7	12
x6	∞	∞	6	5	∞	7	0	10
x7	∞	∞	∞	∞	9	12	10	0

1	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x1	x0	x1	x2	x0	x4	x5	x6	x7
x2	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	x0	x0	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x4	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7

2	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x1	x1	x3	x1	x5	x6	x7
x1	x0	x1	x2	x0	x4	x5	x6	x7
x2	x1	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	x0	x0	x2	x3	x1	x5	x6	x7
x4	x1	x1	x2	x1	x4	x5	x6	x7
x5	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7

l2	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	9	11	3	16	∞	∞	∞
x1	9	0	2	12	7	∞	∞	∞
x2	11	2	0	2	4	8	6	∞
x3	3	12	2	0	19	∞	5	∞
x4	16	7	4	19	0	10	∞	9
x5	∞	∞	8	∞	10	0	7	12
x6	∞	∞	6	5	∞	7	0	10
x7	∞	∞	∞	∞	9	12	10	0

l3	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	9	11	3	15	19	17	∞
x1	9	0	2	4	6	10	8	∞
x2	11	2	0	2	4	8	6	∞
x3	3	4	2	0	6	10	5	∞
x4	15	6	4	6	0	10	10	9
x5	19	10	8	10	10	0	7	12
x6	17	8	6	5	10	7	0	10
x7	∞	∞	∞	∞	9	12	10	0

3	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x1	x1	x3	x2	x2	x2	x7
x1	x0	x1	x2	x2	x2	x2	x2	x7
x2	x1	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	x0	x2	x2	x3	x2	x2	x6	x7
x4	x2	x2	x2	x2	x4	x5	x2	x7
x5	x2	x2	x2	x2	x4	x5	x6	x7
x6	x2	x2	x2	x3	x2	x5	x6	x7
x7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7

l5	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	7	5	3	9	13	8	18
x1	7	0	2	4	6	10	8	15
x2	5	2	0	2	4	8	6	13
x3	3	4	2	0	6	10	5	15
x4	9	6	4	6	0	10	10	9
x5	13	10	8	10	10	0	7	12
x6	8	8	6	5	10	7	0	10
x7	18	15	13	15	9	12	10	0

l4	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	7	5	3	9	13	8	∞
x1	7	0	2	4	6	10	8	∞
x2	5	2	0	2	4	8	6	∞
x3	3	4	2	0	6	10	5	∞
x4	9	6	4	6	0	10	10	9
x5	13	10	8	10	10	0	7	12
x6	8	8	6	5	10	7	0	10
x7	∞	∞	∞	∞	9	12	10	0

4	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x3	x3	x3	x3	x3	x3	x7
x1	x3	x1	x2	x2	x2	x2	x2	x7
x2	x3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x3	x0	x2	x2	x3	x2	x2	x6	x7
x4	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x2	x7
x5	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x6	x7
x6	x3	x2	x2	x3	x2	x5	x6	x7
x7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7

6	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x3	x3	x3	x3	x3	x3	x4
x1	x3	x1	x2	x2	x2	x2	x2	x4
x2	x3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x4
x3	x0	x2	x2	x3	x2	x2	x6	x4
x4	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x2	x7
x5	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x6	x7
x6	x3	x2	x2	x3	x2	x5	x6	x7
x7	x4	x4	x4	x4	x4	x5	x6	x7

5	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x3	x3	x3	x3	x3	x3	x4
x1	x3	x1	x2	x2	x2	x2	x2	x4
x2	x3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x4
x3	x0	x2	x2	x3	x2	x2	x6	x4
x4	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x2	x7
x5	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x6	x7
x6	x3	x2	x2	x3	x2	x5	x6	x7
x7	x4	x4	x4	x4	x4	x5	x6	x7

l6	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	7	5	3	9	13	8	18
x1	7	0	2	4	6	10	8	15
x2	5	2	0	2	4	8	6	13
x3	3	4	2	0	6	10	5	15
x4	9	6	4	6	0	10	10	9
x5	13	10	8	10	10	0	7	12
x6	8	8	6	5	10	7	0	10
x7	18	15	13	15	9	12	10	0

l7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	0	7	5	3	9	13	8	18
x1	7	0	2	4	6	10	8	15
x2	5	2	0	2	4	8	6	13
x3	3	4	2	0	6	10	5	15
x4	9	6	4	6	0	10	10	9
x5	13	10	8	10	10	0	7	12
x6	8	8	6	5	10	7	0	10
x7	18	15	13	15	9	12	10	0

7	x0	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x0	x0	x3	x3	x3	x3	x3	x3	x4
x1	x3	x1	x2	x2	x2	x2	x2	x4
x2	x3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x4
x3	x0	x2	x2	x3	x2	x2	x6	x4
x4	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x2	x7
x5	x3	x2	x2	x2	x4	x5	x6	x7
x6	x3	x2	x2	x3	x2	x5	x6	x7
x7	x4	x4	x4	x4	x4	x5	x6	x7

Рис. 46. Выбор кратчайшего пути по алгоритму Флойда.

По матрицам l₇ и ₇ можно найти длину и переход между любой парой вершин исходного графа. Например, между вершинами х₀ и х₇ длина кратчайшего пути равна 18, а переход опирается на вершины (х₀;х₃;х₂;х₄;х₇), между вершинами х₁ и х₆ длина кратчайшего пути равна 8, а переход опирается на вершины (х₁;х₂;х₆) и т.д.

При решении практических задач возникает необходимость поиска нескольких путей линейно упорядоченных относительно кратчайшего пути. Это возможно в силу загруженности канала на определенном участке или неисправности узла.

Для решения подобных задач разработаны алгоритмы двойного поиска, обобщенные алгоритмы Флойда и Данцига. В основе обобщенных алгоритмов лежат те же идеи, которые были использованы в построении исходного алгоритма Флойда. Отличие состоит в том, что в обобщенных алгоритмах обычные операции сложения и сравнения над числами, оценивающими длину пути от вершины х_i к вершине х_j, заменяются обобщенными операциями сложения и сравнения. Суть обобщенных операций сложения и сравнения заключена в операндах этих операций, в роли которых выступают кортежи (l_i,j⁽¹⁾;l_i,j⁽²⁾;...l_i,j^(k)), компоненты которых l_i,j^m есть длина m-го пути между вершинами х_i и х_j, а индекс k указывает число путей, обеспечивающих решение поставленной задачи. Следует обратить внимание на упорядоченность длин, т.е. l_i,j⁽¹⁾<l_i,j⁽²⁾<...<l_i,j^(k). Другая особенность обобщенных алгоритмов заключена в учете возможности возникновения контуров на кратчайших путях. В [7] подробно описаны обобщеные алгоритмы Флойда и Данцига и даны примеры их использования.