Тема 3.4 Числовые характеристики графа

Определение: Цикломатическое число. Пусть G – неориентированный граф, имеющий n – вершин, m– ребер и r – компонент связности. Цикломатическим числом графа называется

(G)=m-n+r

Это число имеет интересный физический смысл – оно равно наибольшему числу независимых циклов в графе. При расчете электрических цепей цикломатическим числом можно пользоваться для определения числа независимых контуров. Еще одно свойство – это число показывает, какое наименьшее число ребер надо удалить, чтобы получить граф без циклов.

Определение: Множество внутренней устойчивости. Множество С  Х графа G = (Х,Г) называется внутренне устойчивым, если никакие две вершины из С несмежны, т.е. для х  С  Г_х С = .

Определение: Множество внутренней устойчивости, содержащее наибольшее число элементов, называется числом внутренней устойчивости графа G.

Определение: Множество внешней устойчивости. Множество С  Х графа G = (Х,Г) называется внешне устойчивым, если

х  С  Г_х С = .

Определение: Множество внешней устойчивости, содержащее наименьшее число элементов, называется наименьшим внешне устойчивым множеством, а число элементов этого множества называется числом внешней устойчивости графа.

Тема 3.5 Обход графа

Определение: Маршрут, содержащий все ребра или все вершины графа, и обладающий определенными свойствами называется обходом графа.

Определение: Эйлеровой цепью называется замкнутый маршрут, если он содержит все ребра графа и проходит каждое ребро по одному разу.

Существует критерий существования эйлеровый циклов в графе.

Теорема Эйлера: Связный граф имеет эйлеров цикл  когда каждая его вершина имеет четную степень.

Определение Гамильтоновой цепью называется замкнутый маршрут, если он содержит все вершины графа и через каждую проходит по одному разу.

Известен ряд достаточных условий существования гамильтонова цикла в графе. Но неизвестен критерий существования Гамильтонова цикла в графе.

Определение Граф называется гамильтоново связным, если любые две его вершины соединены гамильтоновой цепью.

Известная задача о коммивояжере состоит в том, чтобы найти в графе, ребрами которого приписаны неотрицательные числа (веса ребер), гамильтонов цикл, имеющий наименьшую сумму весов ребер. До сих пор неизвестен алгоритм решения этой задачи, отличный от перебора всех возможных вариантов. Равно как не доказана невозможность существование такого алгоритма.

Тема 3.6 Изоморфизм графов

Это отношение эквивалентности на множестве графов.

Определение Изоморфным отображением одного неориентированного графа на другой называется взаимооднозначное отображение вершин и ребер одного графа – соответственно на вершины и ребра другого графа, при котором сохраняется отношение инцидентности.

Пример

Графы {U1…U6}{V1…V6} – неизоморфны, а Графы {U1…U6}{W1…W6} – изоморфны.

Обычно изоморфные графы не различают. Число попарно неизоморфных графов с данным числом вершин и ребер конечно. Подобным же образом определяется изоморфизм ориентированных графов. Установление отношения изоморфности является важной проблемой теории графов. Для некоторых классов графов существуют эффективные алгоритмы, позволяющие установить изоморфизм.