Тема 3.2 Операции над графами Одноместные операции

1. Удаление ребра графа – при этом все вершины графа сохраняются

2. Добавление ребра графа между двумя существующими вершинами.

3. Удаление вершины (вместе с инцидентными ребрами).

4. Добавление вершины (которую можно соединить с некоторыми вершинами графа).

5. Стягивание ребра – отождествление пары вершин, т.е. удаление пары смежных вершин, и добавление новой вершины, смежной с теми вершинами, которые были смежны, хотя бы одной из удаленных вершин)

6. Подразбиение ребра с- удаление ребра и добавление новой вершины, которая соединяется ребром с каждой из вершин удаленного ребра.

Двуместные операции

1. Объединение графов

Пусть G1=(Х1,Г1) и G2=(Х2,Г2) такие, что Х1  Х2= и Г1  Г2=  Объединением графов называется граф, со множеством вершин Х1  Х2 и ребер Г1  Г2.

2. Сложение по модулю 2

Пусть G1=(Х1,Г1) и G2=(Х2,Г2). Объединением графов называется граф, со множеством вершин Х1  Х2 и ребер (Г1  Г2)\( Г1  Г2).

Тема 3.3 Отношения порядка и эквивалентности на графе

Граф дает удобное геометрическое представление отношений на множестве. Будем считать, что на графе G введено отношение порядка, если для любых двух вершин х и у, удовлетворяющих условию х<=у, существует путь из х в у. В этом случае говорят, что вершина х предшествует вершине у, или что у следует за вершиной х. Покажем, что данное определение отражает на графе все свойства отношения порядка.

Рефлексивность: Условие Х<=Х – истинно. Это означает эквивалентность вершины самой себе. Однако, при желании, это условие можно рассматривать как наличие петли в вершине Х.

Транзитивность: Условие Х<=У, У<=Z  Х<=Z означает, сто вершины последовательно встречаются на одном и том же пути.

Антисимметричность Х<=У, У<=Х  Х  У. Левая часть этого выражения говорит о том, что существует путь из Х в У и путь из У в Х. Т.о. в графе существует контур, на котором лежат вершины Х и У. Из правой части свойства вытекает, что вершины лежащие на одном контуре – эквивалентны. Будем рассматривать этот вывод, как определение отношения эквивалентности на графе и покажем, что такое определение удовлетворяет всем условиям отношения эквивалентности.

Рефлексивность: Условие Х=Х – вытекает из определения отношения эквивалентности. Всегда можно считать, что существует путь из Х в Х длины 0.

Транзитивность: Условие Х=У У=Z  Х=Z так же очевидно, так как если в графе есть контур, содержащий вершины Х и У, и есть контур, содержащий У и Z, то существует контур, содержащий вершины Х и Z.

Симметричность: Условие Х=У  У=Х так же очевидно и вытекает из определения отношения эквивалентности и понятия контура графа.

Таким образом, отношения порядка и эквивалентности определяют некоторый связный граф.

На графе может быть также введено отношение строгого порядка. В этом случае для любых двух вершин Х и У, удовлетворяющих условию Х<У, существует путь, идущий из Х в У. В этом случае условие антирефлексивности означает отсутствие петель, а условие несимметричности говорит об отсутствии контуров. Т.о. отношение строгого порядка определяет граф без петель и контуров.