7. Ряды комплексных функций и их свойства. Примеры.
Напомним простейшие понятия, связанные с рядами.
Ряд из комплексных чисел
с₀+с₁+…+cn
+…=
cn
, (1)
где cn =an + ibn , называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм
n
=
ck
имеет конечный предел . Этот предел называется суммой ряда (1) .
Ясно, что ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся ряды
n
и
bn
.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей
|cn|.
Ряды n , bn и |cn|.
являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается
при помощи известных признаков сходимости рядов с действительными членами.
Функциональный ряд
fn(z), (2)
где функции fn(z), n = 0, 1 , 2, . . . , определены на некотором множестве S комплексной
плоскости, называется сходящимся в точке z этого множества, если для любого
ɛ
>
О найдется номер N такой, что для всех n
N
выполняется неравенство
|Rn (z)| <ɛ,
где
Rn
(z) =
fk(z).
Функциональный ряд (2) называется равномерно сходящимся на множестве S, если
1) он сходится в каждой точке множества S и
2) для всякого ɛ > О найдется номер N = N(ɛ) , не зависящий от z и такой, что
для всех n N и для всех z из S остатки этого ряда удовлетворяют неравенству
| fk(z)| < ɛ.
Точно так же, как и в случае одного действительного переменного, доказывается
важный для практических вычислений достаточный признак равномерной сходимости.
T. Признак Beйepштрасса. Пусть всюду на множестве S ряд (2) мажорируется абсолютно
сходящимся числовым рядом,
|fn(z) |cn|.
Тогда ряд (2) сходится, на множестве S абсолютно и равномерно.
На ряды функций комплексного переменного без изменений переносятся доказательства
непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами,
теоремы о том, что равномерная сходимость функционального ряда не нарушится,
если все его члены умножить на ограниченную функцию, а также доказательство того,
что равномерно сходящийся на кусочно-гладкой кривой ряд из непрерывных функций
можно почленно интегрировать вдоль этой кривой,
n(ζ)dζ=
n(ζ)dζ. (3)