2. Предел функции комплексной переменной. Свойства пределов. Два подхода к определению предела. Примеры.

Пусть функция w = f(z) определена в некоторой окрестности точки z₀ = х₀ + iy₀ кроме, может быть, самой точки z₀.

Определение1 . (на языке последовательности). Комплексное число A называется пределом функции w = f ( z ) в точке z = z₀, если для любой последовательности {z }, ( n =1,2 ...), z_n z₀, сходящейся к z₀, соответствующая последовательность {f (z_n)} значений функции f ( z ) сходится к A. Обозначение: = A.

Определение2 . Комплексное число A называется пределом функции w = f ( z ) в точке z = z₀ , если для любого ɛ > 0 найдётся δ > 0 , такое, что для всех точек из δ – окрестности z₀ (кроме, может быть, самой точки z₀ ) соответствующие точки w лежат в ɛ - окрестности A, т.е. из неравенств 0 < |z - z₀| < δ вытекает |f( z ) - A|< ɛ.

Определения 1 и 2 эквивалентны.

Следует подчеркнуть, что = A независимо от способа приближения точки z к точке z₀ (например, по любой линии или любой последовательности точек z_n z₀).

Комплексное число А называется пределом функции f(z) при z, стремящейся к z₀, если для любого положительного числа ɛ можно указать δ-окрестность точки. z₀ такую, что для всех точек z из этой δ -окрестности, исключая, может быть, саму точку z₀, соответствующие точки w = f(t) лежат в ɛ-окрестности точки А (рис. 7).

Обозначение: A= .

Если z₀ и А - конечные точки комплексной плоскости, то определение предела можно сформулировать и по-другому:

= A, (1)

если для любого ɛ > О можно указать δ = δ (ɛ) > 0 такое, что для всех z , удовлетворяющих условию 0 < |z - z₀| < δ, выполняется неравенство |f(z) – A| < ɛ.

Подчеркнем, что согласно данному определению функция f(z) стремится к своему пределу А независимо от способа приближения точки z к точке z₀.

Существование предела (1) равносильно одновременному существованию пределов действительных функций u(x, у) и v(x, у):

= B, = C,

где А = B + iC.

Ввиду того, что данное определение предела (1) сводится к определению предела для действительных функций двух действительных переменных, для функции комплексного переменного остаются справедливыми основные предельные соотношения:

f(z) ± g(z) = (f(z)+g(z)),

f(z) * g(z) = f(z) *g(z), (2)

= ( g(z) 0).

3. Арифметические свойства пределов. Примеры.

f(z) ± g(z) = (f(z)+g(z)),

f(z) * g(z) = f(z) *g(z), (2)

= ( g(z) 0).

если пределы в правых частях равенств (2) существуют. Аналогично рассматривается случай для несобственной точки z = . Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки z = .

Определение 3. Число A C называется пределом функции w = f( z ) в точке z = , если для любого ɛ > o найдётся δ (ɛ) > 0 такое, что для всех z, удовлетворяющих неравенству |z| > δ , следует |f( z ) – A| < ɛ .

Определение 4. Функция w = f(z) имеет своим пределом при z z₀, если для любого M > 0 найдётся такая δ - окрестность точки z₀, что для всех точек z, удовлетворяющих 0 < |z - z₀| < δ , выполняется неравенство |f (z)| > M .

Определение 5. Функция w = f(z) называется бесконечно малой при z z₀, если = 0.

Определение бесконечно малой функции легко сформулировать на языке определений 1 и 2.