3.3 Задачи

3.3.1 А) Пусть четырехугольник вписан в окружность . Известно, что касательные к , проведенные в точках и , пересекаются на прямой или параллельны . Докажите, что касательные к , проведенные в точках и пересекаются на прямой или параллельны .

Рис. 1

Рис. 2

Доказательство:

Рассмотрим 2 случая:

1) Пусть касательные в точках и параллельны, то есть точки и диаметрально противоположны. Из этого следует, что, по условию задачи, касательные в точках и параллельны прямой . Таким образом, точки и симметричны относительно диаметра, поэтому прямая , являющаяся осью симметрии касательных в этих точках, пройдет через точку их пересечения. Что и требовалось.

2) Пусть касательные к окружности в точках и пересекаются в точке . Докажем, что – симедиана в треугольнике (см. основную задачу).

1 Способ:

Рассмотрим рис.1.

Заметим, что – симедиана в треугольниках и . Из второго определения симедианы следует, что , то есть, , следовательно, четырехугольник – гармонический. Его диагонали является симедианами (свойство гармонического четырехугольника), что и требовалось.

2 Способ:

Рассмотрим рис. 2.

1) Пусть – середина отрезка . Проведем и . Достаточно доказать, что . В таком случае будет симедианой треугольника (из задачи №1.2.1).

2) Рассмотрим четырехугольник . , следовательно, – вписанный. Значит, (они вписанные, опирающиеся на одну дугу).

3) Рассмотрим четырехугольник OM₁BP. ∠OBP = ∠OM₁P = 90 , следовательно, OM₁BP – вписанный. Значит, ∠BM₁P = ∠BOP (они вписанные, опирающиеся на одну дугу).

4) Заметим, что , так как или – медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике . Следовательно, .

Таким образом, доказана следующая лемма: если у вписанного четырехугольника одна из диагоналей является симедианой, то он гармонический.

Б) Касательная в точке к описанной окружности треугольника пересекает прямую в точке . Из точки проведена вторая касательная к окружности . Докажите, что содержит симедиану треугольника .

Доказательство:

В четырехугольнике , – симедиана треугольника (из основной задачи).

Таким образом, по лемме, – симедиана в треугольнике .

В) (Всероссийская олимпиада по геометрии 2008) Прямые, симметричные диагонали четырехугольника относительно биссектрис углов и , проходят через середину диагонали . Докажите, что прямые, симметричные диагонали относительно биссектрис углов и , проходят через середину диагонали .

Доказательство:

Если прямые и , симметричные относительно биссектрис углов, являются медианами, значит – симедиана в треугольниках и . Таким образом, задача эквивалентна предыдущей. Значит – симедиана в треугольниках и , следовательно прямые, симметричные ей относительно биссектрис углов, будут содержать медианы в треугольниках и , то есть будут пересекать в середине.

Г) – биссектриса угла треугольника . – симедиана треугольника . Точка – пересечение симедианы с описанной окружностью. Докажите, что – биссектриса угла .

Доказательство: