Задачи из программы2013_ответы и подсказки

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

Раздел 1. Теория поведения потребителя

1. Пусть доход потребителя составляет m $40 , единица первого блага стоит p1 $10 , а единица второго блага стоит p2 $5 .

(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и приведите графическую иллюстрацию.

(б) Будет ли потребителю доступен набор, состоящий из четырех единиц первого блага и семи единиц второго блага, (4, 7) ?

(в) В каждом из следующих случаев выпишите уравнение бюджетной линии и покажите на графике как изменится положение бюджетной линии:

если цена второго блага снизится до $2 за единицу; если доход потребителя увеличится в 5 раз;

если доход потребителя увеличится до $100 , а цена первого блага снизится на $5 .

Ответ: (а) Уравнение бюджетной линии: 10x1 5x2 40 . (б) Данный набор недоступен. (в) Уравнение бюджетной линии: 1) 10x1 2x2 40 , 2) 10x1 5x2 200 , 3) 5x1 5x2 100 .

2. Студент имеет доход $120 в месяц и часть его тратит на посещение фитнес-центра, а остаток

-на все остальные товары и услуги (никаких других «спортивно-оздоровительных» услуг он не потребляет). Один час занятия в фитнес-центре стоит $5; цена «остальных» товаров и услуг равна $10.

(а) Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.

(б) Предположим, накануне 1-го сентября фитнес-центр раздал своим членам, являющимся студентами, купон на 2 часа бесплатных занятий. Как изменится бюджетное множество? Считайте, что купон не подлежит продаже. Запишите новое уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.

(в) Как изменится ваш ответ на пункт (б), если купон можно продать?

(г) Предположим теперь, что вместо купона фитнес-центр предлагает студентам такую программу: каждый час занятий до 10 часов занятий в месяц стоит $5, а сверх этого времени - $2. Выведите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.

(д) Предположим теперь, что фитнес-центр предлагает студентам такую программу: за абонентскую плату 50$ в месяц студент может заниматься 10 часов в месяц бесплатно, а каждый час занятий сверх этого времени стоит $2. Выведите уравнение бюджетной линии и изобразите бюджетное множество.

(е) Что можно сказать о том, какая из программ, описанных в пунктах (г) и (д), для студента более привлекательна?

Ответ:

Пусть первое благо – это часы занятий в фитнес-центре, второе благо – «все остальное». (а)

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

содержит в себе бюджетное множество из пункта (д), то программа из пункта (г) для студента по крайней мере не хуже. Если студент предпочитает заниматься 10 и более часов, то эти программы эквивалентны, если менее 10 часов, то программа из пункта (г) более привлекательна.

3. В каждом из следующих случаев изобразите бюджетное множество потребителя и выведите уравнение бюджетной линии, считая, что потребитель часть денег тратит на курсы вождения, а остаток - на все остальные товары и услуги. Считайте также, что индивид, исходя из указанной стоимости, может варьировать продолжительность занятия.

(а) Господин М., доход которого m 40 000 ден. ед. в неделю, намеревается ходить на курсы

вождения. Он пришел в офис курсов как раз во время рекламной кампании. Всем пришедшим в этот день в офис предоставляется возможность бесплатно заниматься с инструктором 4 часа. Если индивид решит продолжить заниматься с инструктором, то час занятий стоит 2 500 ден. ед.

(б) Коллега М., г-н Л., доход которого также m 40 000 ден. ед., услышав о столь заманчивом

предложении, пришел на следующий день в офис курсов вождения. Однако, условия изменились. Теперь всем пришедшим в этот день в офис предоставляется возможность, заплатив 5 000 ден. ед. за 4 часа, заниматься с инструктором пробный 1 час. Если занятие не понравится, то клиенту возвращается вся уплаченная сумма. Если клиент решит продолжить заниматься с инструктором свыше 4 часов, то час занятий (сверх уже оплаченных 4-х) стоит 2 500 ден. ед.

(в) Коллега г-д М. и Л., получающий доход m 40 000 ден. ед., господин Н., узнав о

рекламной компании от Л., пришел на следующий день в офис курсов вождения. Условия снова изменились. Теперь всем пришедшим предлагают оплатить 10 000 ден. ед. за 5 занятий, каждое следующее занятие оплачивается по ставке 3 000 ден. ед. за час.

(г) Сын господина Н., К., просит у отца разрешение заниматься на курсах вождения. Его доход m 20 000 ден. ед.. Ему предложили те же условия, что и Н. Отец обещает К., что

если К. самостоятельно оплатит 7 часов занятий, то он за каждый следующий купленный час вернет сыну 1 000 ден. ед.

2

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

4. Рассмотрите предпочтения потребителей относительно двух благ: мясо и салат. В каждом из следующих случаев изобразите кривые безразличия индивидов в пространстве двух благ (количество порций мяса и салата в неделю).

(а) Индивид А считает, что еда есть еда и не заботится о том, как он получает необходимые калории: чем больше еды, тем лучше.

(б) Индивид В, считает, что чем больше еды, тем лучше, но еда должна быть сбалансированной. Поэтому он съедает две порции мяса с одной порцией салата, и не ест одно без другого.

(в) Индивид С любит салат (чем больше, тем лучше) и безразличен к мясу.

(г) Индивид D очень разборчив в еде и всегда старается съесть 20 порций мяса и 15 порций салата в течение недели. Любое отклонение от этого набора крайне расстраивает индивида, причем чем сильнее отклонение, тем в большей степени.

Ответ: Пусть x1 - это количество порций мяса, x2 - количество порций салата (в неделю). (а)

Для данного индивида мясо и салат являются взаимозаменяемыми благами (совершенными субститутами) с пропорцией замещения один к одному: индивид готов обменять одну порцию салата на одну порцию мяса. Таким образом, семейство кривых безразличия описывается

уравнениями вида x1 x2 k . (б) Для данного индивида мясо и салат взаимодополняющие

блага (совершенные комплементы) с пропорцией замещения один к двум: индивид с каждой порцией салата потребляет две порции мяса. Таким образом, семейство кривых безразличия

описывается уравнениями вида min{x1 / 2, x2} k . (в) Поскольку единственное, что приносит удовлетворение данному индивиду – это салат, то кривые безразличия – горизонтальные линии, т.е. семейство кривых безразличия описывается уравнениями вида x2 k . (г) Для данного

3

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

индивида точка (20, 15) является точкой насыщения. Кривые безразличия – окружности с центром в точке (20, 15): чем дальше окружность от центра, тем менее предпочтительны лежащие на ней наборы. Семейство кривых безразличия описывается уравнениями вида

(x1 20)2 (x2 15)2 k .

5. Какие из нижеследующих функций представляют те же предпочтения, что и функция u(x) (считайте, что функция u(x) принимает значения разных знаков)?

Ответ: (а) те же предпочтения; (б) те же предпочтения; (в) данная функция не может представлять те же предпочтения; (г) данная функция не может представлять те же предпочтения; (д) данная функция не может представлять те же предпочтения.

6. Пусть предпочтения индивида описываются функцией полезности Кобба-Дугласа вида u(x1, x2 ) x1x2 2 .

(а) Выведите уравнение кривой безразличия, проходящей через точку (2, 4) . Изобразите

данную кривую безразличия графически. Укажите все наборы, которые для индивида не хуже набора (2, 4) .

(б) Выведите уравнение кривой безразличия, соответствующей уровню полезности, равному 100. Изобразите данную кривую безразличия графически.

значит, предпочтения выпуклы).

7. Предположим, потребитель приобрел набор, содержащий 60 единиц первого блага и 120 единиц второго блага. Предельная норма замещения второго блага первым в этой точке равна 2. Считая, что первое благо стоит в три раза дороже второго блага, покажите как обмен по рыночным ценам может улучшить положение данного потребителя.

меньше первого блага, то сможет себе позволить три дополнительные единицы второго блага. А поскольку предельная норма замещения второго блага первым равна 2, то только две дополнительные единицы второго блага нужны для того, чтобы компенсировать потребителю отказ от одной единицы первого блага и остаться на той же кривой безразличия. Таким образом, приобретая на одну единицу меньше первого блага и три дополнительных единицы второго блага потребитель может улучшить свое положение.

4

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

8. Пусть предпочтения потребителя представимы функцией полезности u(x1, x2 ) . Изобразите на одном рисунке кривые безразличия и бюджетное множество потребителя и определите выбор

5

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

10. Пусть предпочтения потребителя представимы функцией полезности Кобба-Дугласа вида u(x1, x2 ) (x1 )1/ 2 (x2 )1/ 2 , цены благ составляют p (2, 4) , а доход потребителя равен m 80 .

Предположим, первое благо облагается потоварным налогом, величина которого равна 2 за каждую приобретаемую единицу данного блага.

(а) Какова сумма налоговых поступлений, полученных от данного потребителя?

(б) Пусть потоварный налог на первое благо заменен на паушальный налог, причем доходы от паушального налога в точности совпадают с доходами от потоварного налога. Как такое изменение скажется на благосостоянии потребителя? Зависит ли полученный результат от величины налога, дохода, цен и предпочтений потребителя? Приведите графическую иллюстрацию.

(в) Возможна ли ситуация, при которой замена потоварного налога на паушальный налог, превышающий доходы от потоварного налога, повысит благосостояние потребителя? Приведите графическую иллюстрацию.

Ответ:

См. рисунки и соответствующее обсуждение в учебнике Х. Вэриан, глава 5, раздел 5.6.

(а) 20. (б) благосостояние данного потребителя возрастет (а в общем случае, не снизится) и этот результат не зависит от цен, дохода потребителя и величины потоварного налога. (в) Да, такая ситуация возможна (привести графический пример).

11. Рассмотрите потребителя, предпочтения которого описываются функцией полезности

(а) Найдите оптимальный уровень потребления каждого блага.

(б) Предположим теперь, что в силу дефицита товаров правительство ввело следующую схему рационирования: по цене p2 1 руб. потребитель может приобрести не более 30 единиц второго блага, а за каждую последующую единицу второго блага цена устанавливается на уровне p2 6 руб. Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите новое бюджетное множество потребителя.

(в) Предположим теперь, что было решено заменить схему, описанную в пункте (б), следующей: потребитель получает 90 купонов и для приобретения единицы какого-либо блага необходимо не только оплатить его денежную стоимость, но и отдать соответствующее количество купонов. Правительство установило, что за каждую единицу первого блага необходимо отдать один купон, а за единицу второго блага – два купона. Будем считать, что купоны являются бесконечно делимыми, и торговля купонами отсутствует. Выпишите уравнение бюджетной линии и изобразите новое бюджетное множество потребителя.

(г) Какая из схем рационирования более предпочтительна для потребителя?

(д) Найдите оптимальный потребительский набор при схеме рационирования, описанной в пункте (б).

Ответ:

(а) Оптимальный набор: (10, 90). (б) 3x1 x2 120, 0 x2 30 . (в) как в п. (б). (г) Поскольку

x1 2x2 90, 30 x2 45

бюджетные множества совпадают, то схемы эквивалентны. (д) Оптимальный набор (30, 30).

6

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

12. *Пусть потребитель при ценах p ( p1, p2 ) выбрал набор x (x1, x2 ) , а при ценах q (q1, q2 )

– набор y ( y1, y2 ) . Будем считать, что потребитель тратит весь свой доход на оба блага. Рассмотрите следующие случаи:

В каждом из случаев, объясните, согласуется ли подобное поведение со слабой аксиомой выявленных предпочтений. Приведите графическую иллюстрацию. Что можно сказать о том, какой набор x или y для потребителя более предпочтителен?

13. *Рассмотрите менеджера, имеющего доход $100 в неделю, который часть денег тратит на посещение фитнес-центра, а остаток - на все остальные товары и услуги (никаких других «спортивно-оздоровительных» услуг он не потребляет). В сентябре один час занятия в фитнес центре стоил $4 и при этом менеджер проводил в фитнес-центре 10 часов в неделю. Предположим, с октября фитнес-центр решил изменить ценовую политику, введя абонентскую плату $30 в неделю, но снизив цену одного часа занятия до $1. Как отразится такое изменение на благосостоянии менеджера, если его предпочтения согласуются со слабой аксиомой выявленных предпочтений? Приведите графическую иллюстрацию.

14. Рассмотрите потребителя, не имеющего денег, но обладающего первоначальным запасом благ: 1 0 единиц первого блага и 2 0 единиц второго блага. Возможна ли такая ситуация,

при которой повышение цены одного из благ увеличило бы благосостояние этого потребителя? Приведите графическую иллюстрацию.

Ответ: Потребитель, обладающий не фиксированным доходом, а запасами товаров действительно может выиграть от повышения цен. Например, если потребитель до повышения цены товара был чистым продавцом рассматриваемого товара, то подорожание товара влечет рост его дохода (если не происходит резкого сокращения продаж) и позволяет увеличить потребление другого блага. От подорожания товара в некоторых случаях может выиграть и чистый покупатель, если после подорожания он станет чистым продавцом данного товара.

15. Рассмотрите потребителя, потребляющего два блага (1 и 2), который так описывает свои предпочтения: «есть у меня первое благо или второе – мне все равно; я не вижу между ними разницы». Предположим, у потребителя имеется запас, состоящий из 14 единиц первого блага и 6 единиц второго блага. Пусть цена первого блага в четыре раза выше цены второго. Потребитель может торговать имеющимся запасом и не имеет другого источника дохода. Какое количество каждого блага будет потреблять данный индивид? Будет ли он чистым покупателем или чистым продавцом второго блага?

Ответ: Данный потребитель считает блага 1 и 2 совершенными субститутами с пропорцией замещения один к одному, т.е. имеет функцию полезности вида u(x1, x2 ) x1 x2 . Оптимальный

набор не содержит первого блага, x2 62 . Поскольку x2 62 2 6 , то потребитель будет чистым покупателем второго блага.

7

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

Раздел 2. Общее равновесие в экономике обмена

1. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Пусть первоначальные запасы потребителей А и В описываются векторами A (8, 2) и

B (2, 4) соответственно, причем в точке первоначального запаса MRS12A 3 , а MRS12B 1 . (а) Изобразите точку первоначального запаса в ящике Эджворта.

(б) Предполагая, что предпочтения потребителей монотонны, т.е. чем больше благ в наборе, тем потребителю лучше, покажите, что точка первоначального запаса не является Паретооптимальной, построив Парето-улучшение. Приведите графическую иллюстрацию.

Из учебного пособия Левина, Покатович «Микроэкономика: задачи и решения»

2. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Считая, что первоначальные запасы потребителей описываются векторами (i) A (2, 3) и

B (4, 3) ; (ii) A (2, 3) и B (6, 1) , изобразите в ящике Эджворта множество Паретооптимальных распределений в каждом из следующих случаев:

(а) uA (x1A, x2A ) min{x1A, x2A} и uB (x1B , x2B ) min{x1B , x2B} ; (б) uA (x1A, x2A ) min{x1A,2x2A} и uB (x1B , x2B ) min{x1B , x2B} ; (в) uA (x1A, x2A ) max{x1A, x2A} и uB (x1B , x2B ) min{x1B , x2B} .

(г) uA (x1A, x2A ) x1A x2A и uB (x1B , x2B ) x1B x2B , (д) uA (x1A, x2A ) x1A 2x2A и uB (x1B , x2B ) x1B x2B .

Ответ:

При описании рисунков всюду предполагается, что в ящике Эджворта нижний левый угол – это начало координат для А, а верхний правый – это начало координат для В.

Случай (i) A (2, 3) и B (4, 3) :

(а) Диагональ ящика Эджворта.

(б) Треугольник, ограниченный с одной стороны диагональю, а с другой стороны линией x2A x1A / 2 и стенкой ящика Эджворта, где x1B 0 и x2B [0, 3].

(в) весь ящик Эджворта. (г) весь ящик Эджворта.

Случай (ii) A (2, 3) и B (6, 1) :

(а) Параллелограмм, ограниченный биссектрисами под 45 градусов, выходящими из начала координат для потребителя А и для потребителя В, и стенками ящика Эджворта, где ( x2A 0 и

x1A [0, 4] ) и ( x2B 0 и x1B [0, 4]).

(б) Треугольник, ограниченный с одной стороны диагональю, а с другой стороны линией биссектрисой под 45 градусов начала координат для В и стенкой ящика Эджворта, где x2A 0 и

x1A [0, 4] .

(в) Треугольник под биссектрисой для потребителя В. (г) весь ящик Эджворта.

8

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!

«Микроэкономика», МФТИ, 2013-2014 уч. г. Авторы программы: Левина Е.А., Покатович Е.В.

Поскольку в данной экономике выполнены все предпосылки первой теоремы благосостояния, то равновесное распределение Парето-оптимально, в чем можно убедиться проверив, что равновесное распределение удовлетворяет уравнению контрактной кривой.

4. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами A (10, 3) и B (8, 6) .

Пусть функции полезности потребителей имеют вид uA (xA ) x1A x2A и uB (xB ) 3x1B x2B .

Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике или покажите, что равновесия не существует.

Ответ: ~p1 ~p2 32 , ~x1A 6, ~x2A 9 , ~x1B 12, ~x2B 0 .

5. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (А и В),

B (4, 4) .

(а) Найдите равновесие в данной экономике.

(б) Найдите множество Парето-оптимальных распределений и изобразите в ящике Эджворта. Будут ли граничные Парето-оптимальные распределения? Будет ли равновесное распределение Парето-оптимальным?

(в) Рассмотрите распределение x {x A (8, 2), x B (8, 6)} . Можно ли данное распределение

реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Если вы считаете, что можно, то найдите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

распределения. Равновесное распределение является Парето-оптимальным. (в) Данное распределение можно реализовать при ценах p1 1, p2 4 и трансфертах T A 12 , T B 12 .

6. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями (А и В),

каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

(б) Можно ли распределение x {x A (6, 1), x B (14, 7)} реализовать как равновесное при

каких-либо ценах и трансфертах? Если вы считаете, что можно, то укажите соответствующие цены и трансферты. Если – нет, то объясните почему.

10

ВОЗМОЖНЫ ОПЕЧАТКИ!