Задача Парселла о кофе со сливками

Задача Парселла о кофе со сливками: От чего энтропия возрастет больше, когда вы добавляете сливки в кофе: от перемешивания сливок и кофе или от теплообмена между ними? 

В случае, когда мы перемешиваем, надо интегрировать приведенную теплоту с учетом просто теплоемкостей, а во втором там в сливках жир, который плавится при 33 Цельсия, так что в расчет изменения энтропии входит и удельная теплота плавления т.е. при постоянной температуре пока все не расплавится, а удельная теплота плавления может быть поболее чем теплоемкость…

Т.к. никаких численных данных в ней нет, а, следовательно, и посчитать интегралы через приведенное тепло не получится. Не учитывая, что сливки будут плавиться, а просто нагреваться. Тогда нам придется энтропию считать через постоянную Больцмана и логарифм термодинамической вероятности. Для этого случая предлагаю простую модель два слоя шариков - нижний горячий черный, а верхний холодный белые шарики. Тогда в первом случае просто выравниваются температуры, во втором же происходит и перемешивание шариков обоих сортов, т.е. осуществляется создание наиболее вероятного распределения шариков и в больцмановском логарифме термодинамическая вероятность достигает максимального значения, осталось сообразить, как посчитать эти логарифмы.

1. Изменение энтропии за счет теплообмена.

Посчитаем, как меняется энтропия для первого случая, когда обменивается теплом до выравнивания температуры.

На рисунке показана модель, как выглядит в данном случае . Черные «молекулы» есть молекулы кофе, белые «молекулы» - сливки.

Где - теплоемкость при постоянном объему кофе;- теплоемкость сливок; Т0-температура равновесия;T1-начальная температура кофе;T2-начальная температура сливок.

Данная формула следует из того, что в данном случае наши вещества не совершают работы, следовательно, теплообмен идет за счет изменения внутренней энергии.

Найдем температуру T0 из теплового баланса.

2. Изменение энтропии в случае перемешивания

В данном случае задача сводиться к задаче T-12 (Сосуд разделен перегородкой на два различных объема,так что в одном объеме содержится N1 атомов газа, а в другом N2. Температура и давления газов одинаковы. Затем перегородку убирают, и газы перемешиваются. Вычислить изменение энтропии смешения, если газы различны. )

Данная формула следует из того, что по Больцману

Где ;

Распишем N1 и N2 через количество каждого вещества и постоянную Авогадро.

3. Сделаем оценку полученных формул

С1= 4000 Дж/К;

С2 = 3500 Дж/К;

M = 100г; µ1=30 г/моль;

м = 50г; µ2=60г/моль;

R = 8.31 Дж/ К*моль;

Для обмена:

температура кофе возьмем

Температуру сливок возьмем равной комнатной

Тогда Т0 = 65.9°С; ν1 = 10/3моль; ν2 = 5/6моль;

Для перемешивания:

Опираясь на приблизительную оценку отношения ;

Откуда видно, что энтропия больше при теплообмене.