Методическое указание к выполнению курсовой работы

множество P. Метка начальной вершины (вершины v1) неизменна и равна нулю (D1 = 0).

Алгоритм работает следующим образом.

Вначале P = {1}, Dj = d1j для всех j ≠1.

Шаг 1 – Поиск следующего ближайшей вершины. Необходимо найти такую вершину i P, что

Di = min [Dj ] ,

j P

после чего включить найденную вершину в множество Р:

P:= P {i}.

Если множество P содержит все вершины графа, то работа алгоритма закончена.

Шаг 2 – Обновление меток. Для всех j P принять:

D j = min [Dj , Di +dij ] .

После этого следует вернуться к шагу 1.

В качестве примера рассмотрим отыскание кратчайших путей из вершины v1 во все остальные вершины графа G, приведенного на рис. 5.3.

41

число наборов для n переменных равно 2n, то любую ФАЛ можно задать конечной таблицей с 2n строками. При этом переменные xi являются

аргументами ФАЛ. Всего для n переменных можно записать 22n различных ФАЛ.

Для одной логической переменной x0 можно записать два набора x0 = 0 и x0 = 1 и получить четыре ФАЛ:

•f0 = 0 – константа нуль;

•f1 = x0 (функция равна значению переменной x0);

•f2 = x0 (функция равна отрицанию переменной x0);

•f3 = 1 – константа единица.

Втаблицах 5.1 и 5.2 показано, что для двух логических переменных можно составить 4 различных набора x1 , x0 и записать 16 логических

функций (эти функции называют элементарными ФАЛ).

Таблица 5.1

Существуют различные способы задания или представления ФАЛ:

• Словесное представление – отражает словесную взаимосвязь аргументов со значениями ФАЛ (например, функция трех аргументов принимает

43

значения единицы, если два или более ее аргументов равны единице, а во всех остальных случаях функция равна нулю).

• Задавая значения ФАЛ на всех возможных наборах логических переменных (обычно в порядке возрастания их номеров) можно построить таблицу истинности ФАЛ. В этом состоит табличный способ задания логической функции. В таблице 5.3 представлена функция, словесно описанная в предыдущем примере.

Таблица 5.3

• Аналитический способ задания ФАЛ заключается в том, что функция f задается в виде алгебраического уравнения, в котором переменные xi связаны между собой знаками логических операций. В предыдущем примере

• Числовой способ задания ФАЛ используется для сокращения ее записи. При этом функция записывается в виде логической суммы десятичных номеров двоичных наборов, на которых функция равна единице. Например, для рассмотренной выше функции

44

Рассматривая каждую из функций (см. табл. 5.1 и 5.2) совместно с наборами переменных получаем таблицы истинности для всех элементарных ФАЛ. Каждая из элементарных функций имеет свое название:

•f0 – константа нуль;

•f1 = x0 & x1 = x0 x1 = x0x1 – функция конъюнкции (логическое умножение, И);

•f2 = x1 → x0 = x1 a x0 - отрицание импликации x1 в x0 (ЗАПРЕТ по x0);

•f3 = x1 (функция несущественно зависит от x0);

•f4 = x0 → x1 = x0 a x1 - отрицание импликации x0 в x1 (ЗАПРЕТ по x1);

•f5= x0 (функция несущественно зависит от x1);

•f6 = x0 x1 – функция сложения по модулю 2 (неравнозначность, исключающее ИЛИ);

•f7 = x0 x1 = x0 + x1 - функция дизъюнкции (логическое сложение, ИЛИ);

•f8 = x0 x1 = x0 o x1 = x0 + x1 – отрицание дизъюнкции (функция Вебба,

ИЛИ-НЕ);

•f9 = x0 ≡ x1 = x0 x1 = x0 ↔ x1 – функция равнозначности (функция эквивалентности);

•f10 = x0 (функция несущественно зависит от x1);

•f11 = x0 → x1 – функция импликации x0 в x1;

•f12 = x1 (функция несущественно зависит от x0);

•f13 = x1 → x0 – функция импликации x1 в x0;

•f14 = x0 & x1 = x0 | x1 = x0 x1 – отрицание конъюнкции (функция Шеффера,

И-НЕ);

•f15 – константа единица.

45

Функции двух переменных занимают в алгебре логики особое место, поскольку, имея набор функций двух переменных, на основании принципа суперпозиции можно образовать ФАЛ любого числа переменных.

Используя таблицы истинности, определяющие элементарные функции, можно задать в виде таблицы истинности любую ФАЛ, являющуюся суперпозицией этих функций. При этом следует учитывать приоритеты логических функций. Наивысшим приоритетом обладает функция логического отрицания, затем в порядке понижения приоритета следуют: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сложение по модулю 2, эквивалентность. При необходимости изменить порядок вычислений можно при помощи скобок.

Пример: построить таблицу истинности для логической функции

Таблицу истинности целесообразно строить последовательно выполняя логические операции с учетом их приоритета (см. табл. 5.4):

Таблица 5.4

Логические функции для удобства записи выражают в виде суммы произведений логических переменных или в виде произведений их сумм. Первая запись называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), а

46

вторая – конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Для каждой логической функции может существовать несколько равносильных дизъюнктивных и конъюнктивных форм, однако существует только один вид ДНФ или КНФ, в котором функция может быть записана единственным образом (совершенные нормальные формы СДНФ и СКНФ). В СДНФ функция записывается в виде логической суммы конститутиент единицы (минтермов), а в СКНФ – в виде логического произведения конститутинет нуля (макстермов). Конститутиенты единицы и нуля – это комбинации переменных, при которых функция соответственно обращается в единицу или нуль.

Набор элементарных логических функций, позволяющий строить на их базе ФАЛ любой сложности, называется базисом. Например, базис образуют функции логического умножения, сложения и отрицания (И, ИЛИ, НЕ). Именно эти функции (и реализующие их логические элементы) играют основную роль при синтезе электронных схем. Кроме того, довольно часто используются элементы, реализующие функции И-НЕ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ.

Аналитическая форма записи ФАЛ позволяет сформулировать основные законы алгебры логики, доказательство справедливости которых получают путем подстановки всех возможных комбинаций переменных xi (при этом левая и правая части уравнений должны быть тождественны).

(x0 x1 )x2 = x0 x2 x1 x2 ; x0 (x1 x2 )=(x0 x1 )(x0 x2 ) ;

47

Применение приведенных законов позволяет упрощать логические функции и выражения.

5.2.2 Анализ функции алгебры логики на принадлежность к классам. Среди всего множества логических функций можно выделить пять классов. При анализе ФАЛ можно определить ее принадлежность (или не

принадлежность) к каждому из этих классов.

Логическая функция f (xn-1, …, x1, x0) принадлежит к классу ФАЛ, сохраняющих константу нуля K0, если при всех xi = 0, где i = 0, 1, …, (n-1), выполняется равенство f = 0.

Логическая функция f (xn-1, …, x1, x0) принадлежит к классу ФАЛ, сохраняющих константу единицы K1, если при всех xi = 1, где i = 0, 1, …, (n- 1), выполняется равенство f = 1.

Логическая функция f (xn-1, …, x1, x0) принадлежит к классу линейных

где , Σ2 – знаки операции сложения по модулю 2.

Логическая функция f (xn-1, …, x1, x0) принадлежит к классу самодвойственных ФАЛ KС, если для нее справедливо выражение

48

Логическая функция f (xn-1, …,x1, x0) принадлежит к классу монотонных ФАЛ KМ, если при увеличении (или сохранении) значения каждой из переменных xi, значение функции не убывает.

Пример: Задана функция трех переменных:

f (x2 , x1 , x0 ) = [(x1 → x0 ) | x2 ]& (x1 x0 ).

Необходимо проанализировать эту функцию на принадлежность к классам ФАЛ.

Решение примера будем вести поэтапно:

1) Строим таблицу истинности для заданной функции (табл. 5.5)

4) Анализируем функцию на принадлежность к классу КЛ. Предположим, что заданная функция линейна, тогда в соответствии с (5.4) найдем неизвестные коэффициенты С и Сi. Коэффициент С находится на наборе

0, 0, 0 :

f (0, 0, 0) = C C2 0 C1 0 C0 0 = C = 1.

49

Коэффициент С0 находится на наборе 0, 0,1 :

f (0, 0, 1) = C C2 0 C1 0 C0 1 = C C0 = 1.

Следовательно C0 = 0.

Коэффициент С1 находится на наборе 0,1, 0 :

f (0, 1, 0) = C C2 0 C1 1 C0 0 = C C1= 0.

Следовательно C1 = 1.

Коэффициент С2 находится на наборе 1, 0, 0 :

f (1, 0, 0) = C C2 1 C1 0 C0 0 = C C2= 0.

Следовательно C2 = 1.

Если предположение о линейности анализируемой функции верно, то ее значения должны совпадать со значениями линейной функции, которую с учетом коэффициентов можно записать в виде fЛ (x2, x1, x0) = 1 x0.

50