3.2 Гамильтоновы графы.

Гамильтоновым путем (циклом) графа G называется путь (цикл), проходящий через каждую вершину G в точности по одному разу.

Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамильтоновым.

Критерий существования гамильтонова цикла в произ­вольном графе G еще не найден. Достаточным условием существования гамильтонова цикла является полнота графа G.

Граф, изображенный на рис. 6, не является гамиль­тоновым, а граф, представленный на рис. 8, содер­жит гамильтонов цикл (а₁, а₂, а₄, а₅, а₆).

3.3 Ориентированные графы.

В ориентированных графах на ребрах задано направ­ление, т. е. у каждого ребра фиксируются начало и ко­нец. Такие направленные ребра называются дугами.

Цепью в ориентированном графе называется такая последовательность дуг, ведущих от вершины р₁ к вер­шине р_п, в которой каждые две соседних дуги имеют общую вершину и никакая дуга не встречается более одного раза. Если направление цепи совпадает с направ­лением всех принадлежащих ей дуг, то цепь называется путем.

В ориентированных графах циклом называется путь, начало и конец которого совпадают. На рис. 9 дуги (а₁, а₄, а₅) образуют цепь, а дуги (а₁, а₂, а₅) - путь. Последовательность дуг (а₁, а₂, а₃) составляет цикл, а последовательность (а₁, а₂, а₄) не является циклом.

Рис. 8 Рис. 9

Цепь, путь, цикл в произвольном графе G называются простыми, если они не проходят ни через одну свою вер­шину более одного раза,

Длиной цепи, пути, цикла называется число содержа­щихся в них дуг.

4. Матрицы графов.

Граф может быть задан разными способами: рисунком, перечислением вершин и ребер (или дуг) и т. д. Одним из самых удобных способов является задание графа с помощью матрицы. Пусть некоторый граф G имеет п вершин р₁, р₂, ……. р_n и т ребер а₁, а₂, ……. a_m. Построим матрицу, имеющую п строк и m столбцов. Каждая строка матрицы будет соответствовать вершине, а столбец - ребру графа. В столбце a_j все элементы, кроме двух, будут равны нулю. Для ориентированного графа в строке, соот­ветствующей начальной вершине дуги a_j, ставят число +1, а в строке, соответствующей конечной вершине, - число -1. Для неориентированного графа в строчках матрицы, соответствующих концевым вершинам ребра a_j, ставят 1, а в остальных строчках - 0. Для графов, изо­браженных на рис. 9 и 6, матрицы имеют соответ­ственно следующий вид:

	а1	а2	а3	а4	а5			а1	а2	а3	а4	а5	а6
р1	1	0	-1	1	0		р1	1	1	0	0	0	0
р2	-1	1	0	0	0		р2	0	1	1	0	1	1
р3	0	-1	1	-1	1		р3	0	0	0	0	0	1
р4	0	0	0	0	-1		р4	0	0	0	1	1	0
							р5	1	0	1	1	0	0

Построенные матрицы называются матрицами инциденций графа.

Матричное представление графа является наиболее удобной формой задания графа при вычислениях на машине.