2. Виды графов.

2.1 Деревья.

Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом.

Деревом некоторого графа называется его связный подграф без циклов. Дерево графа, содержащее все его вершины, называется остовом графа или его покрыва­ющим деревом.

Кодеревом Т* остова Т графа называется такой под­граф, который содержит все его вершины и только те ребра, которые не входят в Т.

На рис. 3 представлены граф G, его дерево G₁, остов Т₁ и кодерево Т₁*.

Рис. 3

Теорема 3. Граф G с n вершинами является тогда и только тогда, когда G -связный граф и число его ребер равно (n - 1).

Ребра остова Т называются ветвями графа G, а ребра кодерева - Т* -связями.

Теорема 4. Граф G является деревом тогда и только тогда, когда G не содержит циклов и при соединении ребром произвольных двух его несмежных вершин полу­чается граф, имеющий ровно один цикл.

2.2 Лес.

Граф, не содержащий циклов и состоящих из k компонентов, называется k - деревом; k - дерево графа G, содержа­щее все его вершины, называется остовным.

Подграф G, содержащий все его вершины и только те ребра, которые не входят в остовное k - дерево Т графа G, называется k - кодеревом Т*.

Если граф G содержит k компонент, то его остовное k – дерево Т называется лесом, а k - кодерево Т* в этом случае называется КО – лесом.

На рис. 4 изображены остовное 2 – дерево Т и 2 – кодерево Т* графаG, представленного на рис. 3.

Рис. 4

На рис. 5 представлен граф G, содержащий две компоненты, его лес Т и КО - лес Т*.

Рис. 5

Рангом графа G, имеющего n вершин и состоящего из k компонент, называется число r (G) = n - k.

Цикломатическим числом графа называется число µ (G) = m – n + k, где m - число ребер графа G.

Очевидно, что ранг и дипломатическое число связаны следующим соотношением;

r (G) + µ (G) = m

Теорема 5. Ранг r (G) графа G равен числу ребер леса, а цикломатическое число µ (G) равно числу ребер КО - леса.

2.3 Разрезы.

Ранг и цикломатическое число являются числовыми характеристиками графа, определяющими размерность под­пространств циклов и разрезов.

Пусть есть некоторый связный граф G, множество вер­шин которого разбито на два непустых непересекающихся подмножества Р = Р₁ U Р₂. Тогда множество всех ребер G, имеющих одну концевую вершину в Р₁, а другую - в Р₂, называется разрезом графа G.

3. Пути (циклы) графов.

3.1 Эйлеровы графы.

Эйлеровым путем (циклом) графа называется путь (цикл), содержащий все ребра графа ровно один раз.

Граф, обладающий эйлеровым циклом, называется эй­леровым графом.

На рис. 6 граф G не является эйлеровым, так как вершина р₃ инцидентна только одному ребру. Если путь приведет в вершину р₃, то не будет ребра, по которому можно было бы выйти из р₃ .

Рис. 6 Рис. 7

Теорема 6. Граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда G -связный и все его вершины имеют четную степень.

Граф G, изображенный на рис. 7, является эйле­ровым. Последовательность ребер (а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆, а₇, а₈, а₉, а₁₀) образует эйлеров цикл.

Теорема 7. Граф G обладает эйлеровым путем с концами р₁, р₂ тогда и только тогда, когда G - связный и р₁, р₂ - единственные его вершины нечетной степени.

На рис. 6 изображен граф G, обладающий эйлеро­вым путем (а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆) с концевыми вершинами р₅, р₆.