1.2.2 Замена переменных в тройном интеграле.

Пусть в тройном интеграле прямоугольные координатыпреобразуются к новым координатамкоторые связаны ссоотношениями

(1.21)

которые однозначно разрешимы относительно :

. (1.22)

Обозначим через область в пространстве, в которую отобра-жается областьпространствас помощью формул (1.22).

Если функции (1.21) имеют в области непрерывные частные произ-водные первого порядка и якобиан преобразования

в области , то ограниченная замкнутая областьпространствавзаимно однозначно отображается на областьпространстваи для тройного интеграла имеет место следующая формула замены переменных:

(1.23)

Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными координатамисоотношениями:

(1.24)

где (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

При переходе от прямоугольных координат к цилиндрическим координатампо формулам (1.24)поэтому формула (1.23) принимает вид

Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты, то сферическими координатами точкиназывают тройку чисел, где― расстояние от точкидо начала координат,― угол между лучом(― проекция точкина плоскость) и осью,― угол между положительным направлением осии лучом(рисунок 1.11).

Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется соотношениями гдеПри этоми формула (1.23) принимает вид

Обобщенными сферическими координатами называют переменные , связанные с прямоугольными координатамиформулами

где

Для обобщенных сферических координат и формула (1.23) имеет вид

3. Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить интеграл если областьограничена поверхностямии

Решение. Уравнение конической поверхности, ограничивающей область , можно записать в виде, а саму областьпредставить следующим образомгде― круг радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 1.12). Перейдем к цилиндрическим координатамгде

Подынтегральная функция в цилиндрических координатах равна

Рисунок 1.12

якобиан перехода к цилиндрическим координатам равен Поэтому

Задача 2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего в каждой точке плотность

Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его каноническое уравнение полуоси

Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела, занимающего область ,Перейдем к обобщенным сферическим координатамследовательно, уравнение эллипсоида имеет видПоэтому для областикоординатаизменяется от 0 до 1, угол― от 0 до, а угол― от 0 доСледовательно,

2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода

1. Криволинейные интегралы первого рода

Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая, гладкая или кусочно-гладкая, функцияопределена и ограничена на кривойРазобьем кривуюначастейне имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точкуи составим интегральную сумму

(2.1)

где ― длина-й частичной дуги

Пусть Если существует предел интегральной суммы (2.1) прине зависящей от способа дробления кривойна частии от выбора промежуточных точекто этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функциипо кривойи обозначается

т.е. (2.2)

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую

Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ

Если ― длина кривой, то из формулы (2.2) приследует, что

Если функция неотрицательна в точках кривой, то значение интеграларавно площади куска цилиндрической поверхности, которая образована перемещением перпендикуляра к плоскостипо кривойи имеющего переменную длину(рисунок 2.1).

Если кривая - материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностьюнекоторая массато

Рисунок 2.1

С помощью криволинейных интегралов первого рода можно, как это делалось в случае двойных и тройных интегралов, находить моменты инерции материальной кривой относительно координатных осей, координаты центра масс кривой и т.д.

Если кривая задана параметрически:то

(2.3)

если кривая задана уравнениемто

(2.4)

если кривая задана уравнением в полярных координатахто

(2.5)

Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой, заданной параметрическипроизводится по формуле

. (2.6)