27

Содержание

стр.

Введение 4

1 Двойные и тройные интегралы 4

1. Двойной интеграл 4

1. Двойной интеграл и его приложения 4

2. Замена переменных в двойном интеграле 8

3. Примеры решения задач 10

2. Тройной интеграл 12

1. Тройной интеграл и его приложения 12

2. Замена переменных в тройном интеграле 15

3. Примеры решения задач 18

2 Криволинейные и поверхностные интегралы первого рода 19

1. Криволинейные интегралы первого рода 19

2. Примеры решения задач 21

3. Поверхностные интегралы первого рода 23

4. Примеры решения задач 24

3 Варианты заданий 26

Список литературы 43

Введение

Методические указания предназначены для студентов младших курсов всех специальностей бакалаврской подготовки в качестве руководства к выполнению типовой расчетной работы по теме «Кратные интегралы и теория поля».

Основная цель работы – привитие студентам практических навыков в решении задач по указанной теме. Проводится необходимый минимум теоретического материала, где рассмотрены методы вычисления кратных, криволинейных и поверхностных интегралов первого рода. Каждый раздел сопровождается решениями типовых задач. В конце методических указаний приводится 30 вариантов индивидуальных заданий по указанной теме.

1 Двойные и тройные интегралы

1. Двойной интеграл

1. Двойной интеграл и его приложения

Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой областиплоскостиРазобьем областьпроизвольным образом наменьших областейне имеющих общих внутренних точек, в каждой частивозьмем произвольную точку, вычислим значениеи составим сумму

(1.1)

где ― площадь

Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению областина частии данному выбору промежуточных точек.

Диаметром ограниченного множества назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества:

Пусть ― диаметр,.

Если существует предел интегральной суммы (1.1) при не зависящий от способа дробления областина частии выбора точекв них, то он называется двойным интегралом от функциипо областии обозначается

т. е.

а функция называется интегрируемой в области.

Если функция непрерывна в замкнутой области, то она интегрируема в этой области.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.).

Геометрический смысл двойного интеграла: если в областито двойной интеграл

(1.2)

численно равен объему цилиндрического тела с основаниеми образующей, параллельной осикоторое ограничено сверху поверхностью(рисунок 1.1).

Рисунок 1.1

В частности, когда двойной интеграл (1.2) равен площадиобластит. е.

. (1.3)

Физический смысл двойного интеграла: если область ― плоская пластинка, лежащая в плоскостис поверхностной плотностьюраспределения вещества, то массу пластинки находят по формуле

(1.4)

статические моменты пластинки относительно осей инаходят по формулам:

(1.5)

координаты центра масс пластинки:

(1.6)

моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:

(1.7)

Область которая определяется неравенствамигдеи― однозначные непрерывные функции на отрезкеназывается стандартной относительно осиАналогично определяется стандартная область относительно оси

Область стандартную как относительно оситак и относительно осиназывают просто стандартной областью. На рисунке 1.2 показана стандартная относительно осиобласть

В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точкуобластипересекает границу области в двух точках (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Если ― область интегрирования, стандартная относительно осидвойной интеграл вычисляется по формуле

(1.8)

Правую часть формулы (1.8) называют повторным интегралом, а интеграл

называют внутренним интегралом.

Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией откоторая интегрируется затем по отрезкуВ результате получается некоторое число ― значение интеграла (1.8).

Если область является стандартной относительно оси(рисунок 1.3), двойной интеграл вычисляется по формуле

(1.9)

Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (1.8) к формуле (1.9) или наоборот ― изменением порядка интегрирования.

Если область не является стандартной ни относительно оси, ни относительно оси, ее разбивают на конечное число областейстандартных относительно оси(или), и при вычислении двойного интеграла по областииспользуют свойство аддитивности.