Теорема о вычислении криволинейного интеграла второго рода в r3

Теорема о вычислении поверхностного интеграла второго рода

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Теорема сформулирована без доказательства.

Следствие 1. Если поверхность допускает представление как в виде , так и в виде и в виде , то при условиях теоремы 1 , где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.

Следствие 2. Если представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, , каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то и для вычисления используется следствие 1.

Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции и .

Тогда для непрерывным на функций и выбранной нормали , где, напоминаем, , , . При этом выбор знака "+" или "-" перед интегралом производится в соответствии с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано, что нормаль составляет с осью острый угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком .

Теорема Гаусса – Остроградского в r3

Формула Кельвина — Стокса

Пусть  — кусочно-гладкая поверхность ( ) в трёхмерном евклидовом пространстве ( ),  — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность , ограниченную контуром:

или в координатной записи:

Независимость криволинейного интеграла от пути.

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что

В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки B выражается формулой

(Здесь можно увидеть аналогию с формулой Ньютона-Лейбница для определенных интегралов.)

Признак потенциальности поля

Криволинейный интеграл II рода от функции не зависит от пути интегрирования, если

Предполагается, что каждый компонент функции имеет непрерывные частные производные по переменным x, y и z.