Параметрическая форма

Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций

заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле:

, где:

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. Монотонность:

   • если , то

   • для если , то

4. Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :

.

Поверхностный интеграл второго рода Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

или .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от , определенные в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

, где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.

Свойства

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

Определитель Грама Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти расстояние от до .

Минимум расстояний по всем векторам из достигается на ортогональной проекции вектора на . При этом , где вектор перпендикулярен всем векторам из , и расстояние от до равно модулю вектора . Для вектора решается задача о разложении (см. выше) по векторам , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

где  — определитель Грама системы. Вектор равен:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по получается следующее утверждение:

• Определитель Грама системы векторов равен квадрату -мерного объёма параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.