Лекция5

Алгоритмыфакторизации

Разложениечиселна2простыхсомножителя

_{ПустьN-множествонатуральныхчиселивсеоперациипроизводятся}

_{надцелымичислами.Формула}

_ir,k

_{будетопределятьрядцелыхчисел,}

лежащихвдиапазонеотrдоkвключительно,значенияизкоторогоможетприниматьпеременнаяi.]k[-взятиеотдробногочислаkтолькоцелойчасти,

_{безокругления.}

АлгоритмБухштаба

ДанныйалгоритмприведенизкнигиБухштабаА.А."Теориячисел"[4].Пустьзаданонатуральноенечетноечислоn,n≥9,котороенеобходиморазложитьна2простыхсомножителя.ЗададимрядчиселN_s(s-нульинатуральноечисло),гденакаждомшагекN_sприбавляютсячиславпорядке

^{возрастания:длявычисленияN}_s^кN_s−1^{прибавляетсячисло(2s-1).}

ТогдаитеративновычислимэлементыN_sпоформулеN_s=N_s-1+2s-1:

N₀=n

N₁=N₀+1

N₂=N₁+3

N₃=N₂+5

……

N_s=N_s-1+2s-1

……

Прибавляемые к N_s числа являются членами арифметическойпрогрессии:

-начальныйэлементравенa₀=1,

-последний-a_s=2s-1,

-числочленов-m=s

-шагпрогрессииравен2.

Тогдасуммачиселприбавленныхкnравна(поформулесуммыарифметическойпрогрессии)S_{прогрес}=(a₁₊a_s)m/2=(1+2s-1)s/2=2s²/2=s².

^{ВрезультатеэлементN}_s^равенN_s^=N₀^+S_{прогрес}^=n+S_{прогрес}^=n+s2.

Предположим,чтоизN_sизвлекаетсянацелоквадратныйкорень,тоестьN_s=t²,гдеt-некотороенатуральноечисло,тогдаN_s=t²=n+s^2n=N_s−s²⁼t²⁻s².

Такимобразом,еслипринекоторомsбудетвозможноизвлечениенацелоквадратногокорняизN_s=t²,тоисходноечислоnраскладываетсякак

_n=(t²_−s²_{)=(t−s)(t+s).}

_{n9 2 2}

^{Есливдиапазонедляs:1≤s≤}_{ 6}

_^{небудетнайденоt,гдеизt}

нацелоизвлекаетсяквадратныйкорень,топроцесспоискадвухсомножителейчислаnзавершается-числоnявляетсяпростымилиалгоритмнеприменимдлянего.

Описаниеалгоритма.

Навходподаетсянатуральноечислоn.

Навыходе:2сомножителячислаnилиответонеприменимостиалгоритмадлячислаn.

1.Вводчислаn.Еслиn<9,тозадачаданнымалгоритмомнерешается.Выход.

_2.N=n.

_n9

^{3.Дляs1,}_

₆ ^_

выполнить:

3.а.N=N+2s-1.

3.б.t]N[.

3.в.Еслиt²=N,то

выводчисел(t-s)и(t+s);Выходизалгоритма.

4.Разложитьчислоnнеудалось.Выходизалгоритма.

Пример1.4.Пустьn=69.

_{Таблица1.4.Трассировочнаятаблица}

Шаг,s	n9 Условие:s 6 ?	N=N+2s-1	t]N[	2 Условие:t=N?
1	да:1≤10	70	8	нет:64≠70
2	да:2≤10	73	8	нет:64≠73
3	да:3≤10	78	8	нет:64≠78
4	да:4≤10	85	9	нет:81≠85
5	да:5≤10	94	9	нет:81≠94
6	да:6≤10	105	10	нет:100≠105
7	да:7≤10	118	10	нет:100≠118
8	да:8≤10	133	11	нет:121≠133
9	да:9≤10	150	12	нет:144≠150
10	да:10≤10	169	13	да:169=169

_{n9}

^N₀^{=n=69;максимальноечислошагов:}

^s_{ 6}

^_^{10.Шагиработы}

алгоритмапредставимввидетрассировочнойтабл.1.4.

ИзчислаN₁₀=169можноизвлечьквадратныйкорень:t²=13.Тогда

n=(t²⁻s²)=(t−s)?(t+s)=(13-10)?(13+10)=3?23.

_{Т.е.число69раскладываетсянадвачисла:3и23.}

Пример1.5.Пустьn=23.

_{n9}

^{N0=n=23;максимальноечислошагов:s≤}_{ 6}

_^=2.

Шагиработыалгоритмапредставимввидетрассировочнойтабл.1.5.

_{Таблица1.5.Трассировочнаятаблица}

Шаг,s	n9 Условие:s ? 6	N=N+2s-1	t]N[	Условие:t2=N?
1	да:1≤2	24	4	Нет:16≠24
2	да:2≤2	27	5	Нет:25≠27
3	нет:3>2	-	-	-

Такимобразом,число23нераскладываетсяалгоритмомБухштабана2

простыхсомножителя.