Корнимногочлена

ЭлементаизполяFназываетсякорнеммногочленаf(x)нада,если

f(a)=0.

Элемента^Fявляетсякорнемнулевогомногочленаf(x)надFтогдаитолькотогда,когдамногочлен(х-а)являетсяделителемf(x).Еслиf(x)имеетстепеньп,точислоэлементовполяF,являющихсякорнямиf(x),непревосходитn[2].

Еслиf(x)-неприводимыймногочленстепениn≥2надF,тооннеимееткорнейвF[2].

Лекция13 Расширениеполей

Рассмотрим,каковасвязьполейGF(p)иGF(pⁿ⁾.

ПустьF-поле.ПодмножествоКполяР,котороесамоявляетсяполемотносительнооперацийполяР,называетсяподполем.ВэтомслучаеFназываетсярасширениемполяК.ЕслиK≠F,тоК-собственноеподполе.

Пример.ПолесмножествомRдействительныхчиселявляетсярасширениемполясмножествомрациональныхчисел.

ПолеGF(pⁿ⁾содержитединственноеподполе,числоэлементоввкоторомпростоеипоэтомуможетрассматриватьсякакрасширениеполяGF(p)[2].

ПолеGF(p)неимеетсобственныхподполей.Такиеполяназываются

простыми.

Теорема.(осуществованиииединственностиконечныхполей)[11].ДлякаждогопростогочислаqикаждогонатуральногочислаnсуществуетконечноеполеGF(qⁿ)изq^nэлементов.

_ПолеGF(qⁿ_{)являетсярасширениемполяGF(q).q}ⁿ_{называетсяпорядком}

поляGF(qⁿ),натуральноечислоn-степеньюполя,апростоечислоq-

характеристикойполяGF(qⁿ).

КаждоеподполеGF(q^m)поляGF(qⁿ)имеетпорядокq^m,гдеm|nиm>0.Иобратно-еслиm|nиm>0,тодляполяGF(qⁿ)существуеттолькоодноподполеGF(q^m)изq^mэлементов.

_{Пример.ПодполяконечногополяGF(2}³⁰_{)можнонайти,вычисливвсе}

положительныеделителичисла30:1,2,3,5,6,10,15.Представимвзаимосвязиподполейввидеследующегорис.2.3.

_GF(2³⁰₎

GF(2⁶)

_GF(22)

_GF(210) GF(2)

15

_GF(23)

_GF(2⁵₎

GF(2)

Рис.2.3.ВзаимосвязиподполейполяGF(2³⁰)

ЭлементамиконечногополяGF(qⁿ)(поляполиномов),числокоторыхравноqⁿ,

являютсявсеполиномы(многочлены)вида

f(x)=α_n−1xⁿ⁻¹⁺...+α₁x+α₀

-cкоэффициентамиα_iGF(q),

-состепенямиот0доn-1(i0,n1),

-состепеньюdeg(f(x))=n-1.

Данныеполиномыf(x)называютсяполиномаминадполемGF(q).

Для проверкипримитивностиполинома f(x) над полем GF(qⁿ)

достаточноубедиться,чтовыполняютсяусловия:

_qn

_1)x

¹_xmod

_f(x);

2)x

q^n1

^{pi }_

xmod

f(x)

дляi0,k1,

_k1

i

^{гдеpiопределяютсяизканоническогоразложениячислаqn−1=}_^pi

наk

^{простыхсомножителей,α}_i^{-натуральныечисла.}

i0

Вопросыдлясамопроверки.

1.Чтотакоерасширениеконечногополя?Чтотакоеподполе?

2.КакиеполиномынадGF(qⁿ)являютсяэлементамиконечногополя?

3.Пояснитепонятияпорядокполя,степеньполя,степеньполинома.

4.Пояснитепонятиянеприводимыйипримитивныйполиномы.

5.Пояснитепонятиеэквивалентностидвухполиномов.

6.ЧтотакоеНОДотдвухполиномов?Каконвычисляется?

7.Какимобразомможноопределитьпримитивностьполиномаf(x)степениnнадполемGF(q)?

ВычислениеобратногоэлементавконечномполеGF(2ⁿ)

ОбратныйэлементвконечномполеGF(2ⁿ)(n-натуральноечисло)используетсякаквспомогательныйэлементприделениинекоторогомногочленаA(x)намногочленB(x)вполеGF(2ⁿ)пополиному-модулюP(x).РезультирующийполиномC(x)будетполученкакC(x)=A(x)?B^-1(x)modP(x),гдеB^-1(x)-обратныйэлементдлямногочленаA(x).

ОднимизспособовполученияобратногоэлементавполеполиномовявляетсяиспользованиефункцииЭйлера.ПонятиефункцииЭйлерапоаналогиипереноситсяизтеориичиселвполеGF(2ⁿ).

Пустьзаданнеприводимыймодуль-полиномP(x).ФункцияЭйлеравполеGF(2ⁿ)будетзадаватьчисловзаимнопростыхсP(x)полиномов.ТаккакP(x)являетсянеприводимым,тофункцияЭйлераφ(P(x))=2^n-1.

Тогда, применяя функцию Эйлера, обратный элемент будет

_{вычислятьсякак}

_{ Px n}

_A¹_(x)A⁽

⁽⁾⁾¹_{(x)modP(x)A}²

²_(x)modP(x).

ОбратныйэлементвполеGF(qⁿ),гдеq-простоечисло,такжеможно

вычислитьипомодификацииалгоритмаЕвклида,находящейпеременныевыраженияα·a+β·b=НОД(a,b)(раздел1.1),тольковместочиселвформулубудутподставлятьсяполиномы.Длянахожденияобратногоэлементаg⁻¹(x)дляполиномаg(x)пополиному-модулюf(x)вкачестверешаемогоуравненияиспользуетсяg⁻¹(x)g(x)+t(x)f(x)=1,гдеg⁻¹(x),g(x),t(x),f(x)GF(qⁿ).

_{Пример3.11.ПустьзаданыэлементполяA(x)=x}²_{+1иполином-}

модульP(x)=x³⁺x+1вполеGF(2³).НайдемобратныйэлементA^-1(x).

_{Тогда,применяяформулуЭйлера,получим:}

3

A^1(x)A^{(P(x))1(}x)modP(x)(x^21)^22mod(x^3x1)

(x^21)^6mod(x^3x1)(x^21)²⁽x^21)^4mod(x^3x1).

_{Найдем остаток от деления для первого слагаемого}

_(x²_1)²_x⁴_2x²_1x⁴_1

_{(слагаемое 2x}² _{сокращается, так как}

коэффициентыполиномовскладываютсяпомодулю2)намодульP(x),

например,делениемстолбиком.

_x⁴_+0·x²_+0·x+1|x³_+x+1

x⁴⁺x²⁺x |xx²⁺x+1

_Тоесть

_(x²_1)²_mod(x³_{x1)x}²_x1.

Далее найдем остаток от деления для второго слагаемого

((x^21)^2)2(x^2x1)^2x^4x^21намодульP(x).

_x⁴_+x²_+0·x+1|x³_+x+1

x⁴⁺x²⁺x |xx+1

_Тоесть

_(x²_1)⁴_mod(x³_{x1)x1.}

Вычислимитоговоевыражение:

_(x²_1)²_(x²_1)⁴_mod(x³_{x1)(x}²_{x1)(x1)mod(x}³_x1)

_(x³_1)mod(x³_x1)

_{инайдемостатокотделения:}

_x³_+0·x+1|x³_+x+1

_x³_+x+1|1

_x

Тогда,обратнымэлементомявляетсяA^-1(x)=x.

Выполним проверку: должно выполняться сравнение

A(x)?A⁻¹(x)modP(x)≡1.

(x²⁺1)?xmodP(x)=(x³⁺x)mod(x³⁺x+1).

Таккакчастноеимеетстепень,небольшуюмодуля,торезультатможнонайтиарифметическимсложениемкоэффициентовполиномовпомодулю2.

1010

1011

₀₀₀₁

Тоестьрезультатомявляетсяполином1иA(x)?A⁻¹(x)modP(x)≡1.

Ответ:обратнымэлементомдляполиномаA(x)=x²⁺1вполеGF(2³),

гдеполином-модульP(x)=x³⁺x+1,являетсямногочленA^-1(x)=x.

Пример3.12.Рассмотримпредыдущийпримерспомощьювзаимосвязивекторногоистепенногопредставленийэлементов.ПустьзаданыэлементполяA(x)=x²⁺1иполином-модульP(x)=x³⁺x+1вполеGF(2³).НайдемобратныйэлементA^-1(x).

Примитивнымэлементом,спомощьюкоторогоможнополучитьвсеостальныеэлементы,являетсяполиномx(табл.3.8).Остальныеэлементыполучим,умножаяпредыдущийэлементнаx.

Дляэлементов4,6и7необходимовыполнитьнормировкумодулем

_{P(x),например,спомощьюделениястолбиком:}

4-ыйэлемент

_x³ _|x³_+x+1

_x³_+x+1|1

x+1

6-ойэлемент

_x³_+x² _|x³_+x+1

_x³_{+ x+1|1}

_x²_+x+1

7-ойэлемент

_x³_+x²_{+x |x}³_+x+1

_x³_{+ x+1|1}

_x²_{+ 1}

_{Таблица3.8.Элементыполявразныхпредставлениях}

Номерэлемента	Нормальныйбазисξi(степенноепредставление)	Стандартныйбазис(векторное представление)	Полиномиальноепредставление
0	ξ	000	0
1	ξ0	001	1
2	ξ1	010	x
3	ξ2	100	x2
4	ξ3=ξ2ξmodP(x )	011	x3modP(x)=x+1
5	ξ4	110	(x+1)x=x2+x
6	ξ5=ξ4ξ modP(x)	111	(x2+x)x= (x3+x2)modP(x)=x2+x+1
7	ξ6=ξ5ξ modP(x)	101	(x2+x+1)x=(x3+x2+x) modP(x)=x2+1

_{ПрименяяформулуЭйлера,получим:}

3

A^1(x)A^{(P(x))1(}x)modP(x)(x^21)^22mod(x^3x1)

(x^21)^6mod(x^3x1)(x^21)²⁽x^21)^4mod(x^3x1).

Выражение(x²+1)^2modP(x)можновычислить,используявзаимосвязьвекторногоистепенногопредставленийэлементов.Полиномиальнаязаписьx²+1соответствуетвекторнойзаписи101истепеннойξ⁶.Тогда,применяя

_{правилоумножениястепенейпримитивногоэлемента(раздел3.2),получим}

n

_ξ⁶_?ξ⁶_modP(x)=^12mod(21)

_=^12mod7

_=ξ⁵_{.Тоесть6-муэлементуξ}⁵_поля

GF(2³)соответствуетполиномиальноепредставлениеx²⁺x+1(векторное

_111).

Аналогично,(x²+1)^4modP(x)=(ξ⁵)^2modP(x)=^10mod7=ξ³.Тоесть4-муэлементуξ^3поляGF(2³)соответствуетполиномиальноепредставлениеx+1

_{(векторное011).}

_{Витоге,}

_(x²_1)²_(x²_1)⁴_modP(x)

_=ξ⁵_?ξ³_modP(x)=^8mod7_{=ξ.Тоесть}

2−муэлементуξполяGF(2³)соответствуетполиномиальноепредставлениеx

(векторное001).

_{Обратныйэлементможнобылонайтиисразу:}

_(x²_1)⁶_modP(x)

_=(ξ⁶₎⁶_modP(x)=ξ^36mod7_=ξ.

Проверимусловиесуществованиеобратногоэлемента-выполнимостьсравненияA(x)?A⁻¹(x)modP(x)≡1.Получим

_(x²_{+1)?xmodP(x)=ξ}⁶_{?ξmodP(x)=ξ}^7mod7_=ξ⁰_≡1.

Ответ:обратнымэлементомдляполиномаA(x)=x²⁺1вполеGF(2³),

гдеполином-модульP(x)=x³⁺x+1,являетсямногочленA^-1(x)=x.

Пример3.13.Рассмотримпример3.11,оперируяэлементамиполя,заданнымиввекторномпредставлении.ПустьзаданыэлементполяA(x)=x²⁺1иполином-модульP(x)=x³⁺x+1вполеGF(2³).НайдемобратныйэлементA⁻¹(x).Будемиспользоватьтаблицу3.8изпримера3.12.

_{ПрименяяформулуЭйлера,получим:}

3

A^1(x)A^{(P(x))1(}x)modP(x)(x^21)^22mod(x^3x1)

(x^21)^6mod(x^3x1)(x^21)²⁽x^21)^4mod(x^3x1).

_{Полином(x}²_{+1)можнозаписатьввекторномвидекак101(табл.3.8).}

1.Найдем значение (x²⁺1)² ввекторномвиде:

_101

101

_101

101

_10001x⁴₊₁

_{3.Найдемзначение((x}²₊₁₎²₎²₌

_=(x²_+x+1)²_{ввекторномвиде:}

_111

111

_111

111

111

_10101x⁴_+x²₊₁

2.Нормируем полученныйрезультатx⁴⁺1модулемP(x):

_{10001|1011}

1011|1

_111x²_+x+1

4.Нормируем результат x⁴⁺x²⁺1

модулемP(x):

_{10101|1011}

1011|1

_11x+1

5.Вычислимввекторномвиде

(x^21)²⁽x^21)^4(x^2x1)(x1):

111

011

_111

111

_1001x³₊₁

6.Нормируем результат x³⁺1

модулемP(x):

_1001|1011

1011|1

_{10  x}

_{Тогда,обратнымэлементомявляетсяA}^-1_(x)=x.

Выполним проверку: должно выполняться сравнение

_A(x)?A⁻¹_{(x)modP(x)≡1.}

1.Вычислим значение(x²⁺1)?xввекторномвиде:

_101

010

_1010x³_+x

2.Нормируем результат x³⁺x

модулемP(x):

_1010|1011

1011|1

_{1  1}

_{Результатомявляетсяполином1и}

_A(x)?A⁻¹_{(x)modP(x)≡1.}

_{Ответ:обратнымэлементомдляполиномаA(x)=x}²_{+1вполеGF(2}³_),

гдеполином-модульP(x)=x³⁺x+1,являетсямногочленA^-1(x)=x.

Дополнительныепримерыдлярешения.

Вычислитеобратныеэлементыдля:

1)x+1помодулюx⁴⁺x+1вполеGF(2⁴)(ответ:x³+x²+x);

2)x²+xпомодулюx³⁺x+1вполеGF(2³)(ответ:x+1),

спомощьюполиномиальногоивекторно-степенногопредставлений.

Вопросыдлясамопроверки.

1.КакможновычислитьобратныйэлементвконечномполеGF(2ⁿ)?

2.Вчемразницамеждувычислениямивыраженийспомощьюполиномиальногоивекторно-степенногопредставленийэлементов?

3.Каквыполняетсясложениеиумножениеэлементоввстепенномпредставлении?

4.Какимобразомнормируютсярезультатыбольшей,атакжеравнойстепени,чемуполинома-модуля?

5.Какможнопроверить,чтообратныйэлементбылнайденправильно?